Учебное пособие 800297
.pdfRes f
Итак,
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
||
z0 |
lim z z0 |
|
|
lim |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z z0 |
|
z |
|
z z0 z z0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z0 |
|
|
|
||
|
Res |
|
|
|
, z0 |
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
z |
|
|
|
|
z0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
z0 .
z0
(5.5)
|
|
1 |
|
|
Пример. Найти вычеты функции |
f z |
|
в особых |
|
z2 4 |
||||
точках z1 2i и z2 |
2i . |
|
|
|
Точки z1 2i |
и z2 2i являются простыми полюсами |
функции |
f z . Следовательно, в соответствии с (5.5) имеем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Res f 2i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
z2 |
4 |
|
|
|
2z |
z 2i |
4i |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Res f 2i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
2z |
|
z 2i |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Если точка |
|
является полюсом |
|
кратности n для |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
f z , то лорановское разложение функции |
|
f z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки z0 |
имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c 1 |
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c n |
|
|
|
|
|||||||||
f z ck z z0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
z |
z0 |
|
z z |
|
|
|
2 |
|
z z |
|
|
n |
||||||||||||||||||||||
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Умножим обе части этого равенства на z z |
0 |
|
n : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 n f z ck z z0 k n c 1 z z0 n 1 c 2 z z0 n 2 ... c n
k 0
.
61
Дифференцируя последнее равенство n 1 раз, получим:
d n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
n f z |
|
|
c |
k n k n 1 |
||
|
n 1 |
|
||||||
dz |
|
0 |
|
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 2 z z0 k 1 n 1 !c 1.
Переходя в этом равенстве к пределу при z z0 , получаем:
|
|
Res f z |
|
1 |
|
|
|
lim |
d n 1 |
z z |
|
n |
f z . |
|
(5.6) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
n 1 ! z z0 |
dzn 1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Найти вычеты функции f z |
|
|
ez |
|
в |
||||||||||||||||||||||||
z 1 3 z 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
особых точках z1 1 и z2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Точка z1 1 для функции |
|
|
f z является |
полюсом |
||||||||||||||||||||||||||
третьего порядка. Согласно формуле (5.6) имеем: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
e |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Res f 1 |
lim |
|
|
|
z 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2! z 1 dz2 |
|
|
|
z 1 3 z 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
d 2 |
|
|
ez |
|
|
1 |
|
z2 |
6z 10 ez |
|
|
17 |
|
|
|||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
z 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54e |
|
|||||||||||||||
|
2 z 1 dz |
|
z |
2 |
|
2 z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка z2 2 –простой полюс, поэтому по формуле (5.4):
Res f 2 lim |
ez |
|
e3 |
. |
z 1 3 |
|
|||
z 2 |
27 |
|
4. Если точка z0 – существенно особая точка для функции f z , то для вычисления вычета функции в этой точке обычно непосредственно находят коэффициент c 1 в разложении функции в ряд Лорана.
1
Пример. Найти вычет функции f z e z в особой точке z 0 .
62
Лорановское разложение данной функции в окрестности точки z 0 было найдено в разделе 4.3:
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
ez |
1 |
|
|
|
... |
... |
|||||
|
|
|
3!z3 |
n!zn |
|||||||
|
|
|
|
z 2!z2 |
|
|
|
||||
Отсюда находим c 1 |
1 , т.е. |
Res f 0 1. |
|
5.3. Применение вычетов для вычисления интегралов
Основная теорема о вычетах (5.3) часто используется для вычисления интегралов от функции комплексного переменного по замкнутому контуру.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez 1 |
|
||||||||
Пример 1. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
dz . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z2 z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|||||
В круге |
|
z |
|
4 функция |
f z |
|
|
ez |
имеет две особые |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z2 z |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
точки z1 0 и z2 |
1 . По основной теореме о вычетах |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ez |
1 |
dz 2 i Res f 0 Res f 1 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
z2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точка z1 0 – устранимая особая точка функции |
f z , так |
|||||||||||||||||||||||||||||
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez 1 |
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 0 |
|
|
z 0 |
2z 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
Поэтому Res f 0 0 . Точка |
z2 |
1 – простой полюс, следо- |
||||||||||||||||||||||||||||
вательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ez 1 |
|
|||||
Res f 1 lim |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
1 e 1 . |
|||||||||||||||||
z z 1 |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
Таким образом,
63
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez 1 |
|
dz |
|
2 i 1 e 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пример 2. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
dz . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
В круге |
|
z |
|
2 подынтегральная функция имеет две осо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бые точки z1 1 и z2 |
0 . По основной теореме о вычетах |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
dz 2 i Res f 1 Res f 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точка z1 1 есть простой полюс, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
sin1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
z |
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
z2 |
0 напишем ряд |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для установления характера особой точки |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лорана для функции |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
в окрестности этой точки: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z 1 |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
1 z z2 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z 1 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
3 |
5!z |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
3!z |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
c 2 |
|
|
c 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... правильная часть, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
5! |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как ряд Лорана содержит бесконечное число членов с отрицательными степенями z, то точка z 0 является существенно особой точкой. Вычет подынтегральной функции в этой точке равен
Res f 0 c |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
... |
|
sin1. |
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
3! 5! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
64
Следовательно,
sin 1
z 1z dz 2 i sin1 sin1 0 .
z 2
5.4. Вычисление интегралов от рациональных функций с помощью вычетов
Пусть f x – |
рациональная |
функция действительной |
|||||
переменной x, |
f x |
|
Pm x |
, где |
P |
x и Q x |
– многочле- |
|
|
||||||
|
|
|
Qn x |
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ны соответственно степеней m и n. Если функция |
f x непре- |
||||||
рывна на всей |
действительной оси |
Qn x 0 |
и n m 2 , |
т.е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то
|
|
|
|
|
f x dx 2 i , |
|
|
|
(5.7) |
|
|
|
z |
|
где означает сумму вычетов функции |
f z |
Pm |
во всех |
|
Q |
z |
|||
|
|
n |
|
|
полюсах, расположенных в верхней полуплоскости.
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||
Пример. Вычислить интеграл |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x2 |
1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Особыми точками функции |
f z |
|
|
|
1 |
|
являются |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
z2 |
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
полюсы второго порядка z i и z i , |
из них только первый |
находится в верхней полуплоскости. Тогда в соответствии с
(5.6):
65
Res f i lim |
d |
|
|
z i |
|
2 |
|
|
|
|
|
d |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
z i dz |
|
z |
|
|
|
2 |
|
|
z i |
dz |
|
z i |
|
2 |
|
|
z i |
|
z i |
|
3 |
|
8i3 |
4 |
|
||||||||||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 i |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5. Вычисление интегралов вида R x cos x dx ,
R x sin x dx с помощью вычетов
|
|
При вычислении интегралов вида R x cos x dx , |
|
|
|
|
|
R x sin x dx , где |
R x – правильная рациональная дробь, |
0 – любое вещественное число, удобно пользоваться следующей леммой Жордана:
Лемма Жордана. Пусть g z – функция, аналитическая в верхней полуплоскости 0 arg z , за исключением конечного числа особых точек, и стремится в этой полуплоскости к нулю при z . Тогда при 0
lim g z ei z dz 0 ,
R
CR
где контур CR – полуокружность в верхней полуплоскости с
центром в точке 0 и радиусом R (рис. 5.2).
Лемма Жордана приводится здесь без доказательства.
66
Y
CR
|
|
|
–R |
|
O |
R X |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.2. |
|
|
|
|
Пусть C – контур, состоящий из отрезка R; R |
и дуги |
|||||
C |
R |
. Если |
z , z |
,..., z |
n |
– особые точки функции |
f z g |
z ei z , |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
лежащие в верхней полуплоскости, то при достаточно большом R
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
f z dz |
|
|
f z dz |
|
f |
x dx 2 i |
|
|
Res f z , zk . |
|||||||||||
C |
|
|
|
CR |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Переходя к пределу при R , получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
f x dx 2 i |
|
Res f z |
, zk . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Вычислить интеграл |
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||||
x2 |
2x 10 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
z eiz |
||||
Введем |
вспомогательную функцию |
|
. |
||||||||||||||||||
z2 2z 10 |
|||||||||||||||||||||
Она удовлетворяет условиям леммы Жордана. Здесь |
1 и |
||||||||||||||||||||
g z |
z |
|
|
|
. Особыми точками функции |
f z |
являют- |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
z2 2z 10 |
|||||||||||||||||||||
ся простые полюсы z 1 3i |
|
и z 1 3i . В верхней полуплос- |
67
кости имеется единственная особая точка |
z 1 3i . Найдем |
|||||||||||||||||||||||||
вычет функции f z в этой точке: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Res f 1 3i |
|
|
z eiz |
|
|
|
|
|
|
z eiz |
|
|
|
|
|
1 3i e 3 i . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2z 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 2z 10 |
|
|
|
|
z 1 3i |
6i |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 1 3i |
|
|
|
|||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x e |
ix |
|
|
|
|
|
|
e 3 i |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 3i |
|
3 e 3 1 3i cos1 i sin1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
dx 2 i |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 |
2x 10 |
|
|
6i |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3 |
cos1 3sin1 i |
e 3 3cos1 sin1 . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая в обеих частях этого равенства действитель- |
||||||||||||||||||||||||
ные и мнимые части и учитывая, что |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x eix |
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
x sin x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dx i |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx , |
|||||||||||||||||||
|
|
x2 |
2x 10 |
x2 |
2x 10 |
x2 2x 10 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим
|
x cos x |
|
||||
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
||
x2 |
2x 10 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
x sin x |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
|||
x2 |
2x 10 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
e 3 cos1 3sin1 ,
e 3 3cos1 sin1 .
2
5.6. Вычисление интегралов вида R cos x,sin x dx с
0
помощью вычетов
2
Вычисление интегралов вида R cos x,sin x dx , где R –
0
рациональная функция аргументов cos x и sin x , ограниченная
68
внутри промежутка интегрирования, также можно свести к вычислению интегралов по замкнутому контуру от функции комплексного переменного.
|
Сделаем замену переменной |
|
eix z , |
тогда x |
ln z |
, |
||||||||||||||
i |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx |
dz |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
eix e ix |
|
z |
|
|
|
|
z2 1 |
|
|
|
||||||
|
|
cos x |
z |
, |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
eix e ix |
|
|
z |
|
|
|
|
z2 1 |
. |
|
|||||||
|
|
sin x |
|
z |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2i |
|
|
2i |
|
|
|
2iz |
|
|
|
Очевидно, в этом случае z 1, 0 x 2 . Искомый интеграл при этом принимает вид f z dz , где C – окружность еди-
C
ничного радиуса с центром в начале координат. Следовательно,
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
z |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R cos x,sin x dx |
|
R |
z |
, |
|
dz |
|
f z dz . |
|||||||
2z |
|
|
2iz |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
z |
1 |
|
|
z |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате получили интеграл, который можно вычислить с помощью основной теоремы о вычетах.
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример. Вычислить интеграл |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 2 cos x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сделаем замену переменной, положив |
eix z . |
Тогда |
||||||||||||||
dx |
dz |
|
, |
cos x |
z2 |
1 |
. При изменении x |
от 0 |
до 2 точка z |
||||||||
iz |
|
2z |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
опишет |
|
в положительном направлении |
окружность |
|
z |
|
1. |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
69
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 2 cos x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
1 |
2 |
|
i |
z |
2 |
|
|
3z 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 iz |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В круге |
|
|
|
|
z |
|
1 функция |
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
имеет полюс |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
второго порядка z |
5 |
|
. По формуле (5.6) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Res f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1! z |
3 |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
5 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z 3 5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z dz |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 i |
|
|
3 |
|
|
|
|
6 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
1 z |
|
|
|
3z 1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
5 5 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70