Учебное пособие 800297
.pdf( k 1)-кратного дифференцирования геометрической прогрессии. При разложении в ряд Лорана иррациональных и трансцендентных функций можно использовать разложения в ряд
Тейлора функций ez , |
sin z , |
|
cos z , |
|
ln 1 z , биномиальный ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и другие известные разложения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
Пример 1. Разложить в ряд Лорана функцию |
|
f z e |
|
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестности точки z0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Воспользуемся известным разложением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eu 1 u |
|
u2 |
|
|
u3 |
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Положив u |
|
1 |
|
|
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3!z3 |
n!zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2!z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Пример |
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
Разложить |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
ряд |
|
Лорана |
|
|
функцию |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в окрестности точки z0 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z2 |
|
z |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Функция имеет две особые точки: |
z1 2 и |
|
z2 3 . Она |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналитична в областях: |
1) |
|
|
0 |
|
z |
|
2 ; 2) |
2 |
|
|
z |
|
3; 3) |
|
|
|
z |
|
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Представим функцию |
|
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
z 3 |
|
|
z |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
1) В круге |
|
|
z |
|
2 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z |
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... (здесь |
|
|
|
|
|
1 , т.е. |
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 3 |
3 |
1 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... (здесь |
|
|
|
|
|
|
1, т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 2 ).
51
Следовательно,
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
|
|
|
|
z |
|
z2 ... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
k 1 |
|
2 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Полученное разложение является рядом Тейлора. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2) В кольце 2 |
|
z |
|
|
3 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
z2 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
3), |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
( |
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z 3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
22 |
|
... ( |
|
|
2 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 z |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
z |
6 |
|
|
5 |
|
k 1 |
|
|
z |
k 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
3 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3) В области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ), |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
( |
z |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
22 |
|
... ( |
|
|
2 ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 2 z |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
z |
k 1 |
|
|
z |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Пример |
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
Разложить |
|
|
|
|
в |
|
|
|
ряд |
|
|
|
Лорана |
|
функцию |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f z sin |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
в окрестности точки |
|
|
z0 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
|
z |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
sin |
|
|
sin 1 |
|
|
|
sin1 cos |
|
|
|
cos1 sin |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z 1 |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|
z 1 |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
cos1 |
|
|
|
|
sin1 |
|
|
cos1 |
|
|
|
|
1 n |
sin1 |
|
|
|||||
sin1 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z 1 |
2! z 1 2 |
3! z 1 3 |
2n ! z 1 2n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n cos1
2n 1 ! z 1 2n 1 ...
4.4.Изолированные особые точки
Как мы уже знаем, особой точкой функции f z назы-
вается точка, в которой функция не является аналитической. Особая точка z z0 называется изолированной, если в некото-
рой окрестности этой точки функция |
f z не имеет других |
||||
особых точек. |
|
|
|
|
|
Если z0 – изолированная особая точка функции f z , то |
|||||
существует такое число R 0 , что в |
кольце 0 |
|
z z0 |
|
R |
|
|
функция f z будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:
|
|
|
c k |
|
|
|
f z ck z z0 |
k |
|
|
|
. |
|
|
z z |
0 |
k |
|||
k 0 |
|
k 1 |
|
|
|
При этом возможны следующие случаи:
1. Все коэффициенты главной части ряда Лорана равны нулю, т.е. в ряде нет членов с отрицательными показателями:
f z ck z z0 k .
k0
Вэтом случае точка z0 называется устранимой особой точкой
функции f z . Если определить функцию f z в точке z0 ,
53
положив f z0 lim f z c0 , то функция f z |
|
станет ана- |
||||||||||||||
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
литической во всем круге |
|
z z0 |
|
R и точка z0 |
становится |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
правильной точкой функции |
|
f z . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Изолированная особая точка z z0 является устранимой, |
||||||||||||||||
если существует конечный предел lim f z A . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
||||||
Пример. Для функции |
|
f z |
|
sin z |
точка z0 |
0 является |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||
особой точкой. Разложение функции |
sin z |
по степеням z имеет |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin z |
1 |
z2 |
|
|
z4 |
|
... |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
z |
3! |
|
5! |
|
|
|
|
|
Все коэффициенты главной части ряда Лорана равны нулю,
поэтому |
точка |
z0 0 является |
устранимой |
|
особой точкой |
|
функции |
f z . Если положить |
f 0 lim |
sin z |
1, то особен- |
||
|
||||||
|
|
|
z 0 |
z |
f z становится |
|
ность в точке z0 |
0 устраняется и функция |
аналитической во всей комплексной плоскости.
2. Все коэффициенты главной части ряда Лорана, кроме конечного числа, равны нулю, т.е. в ряде Лорана есть конечное число членов с отрицательными показателями:
|
|
c n |
|
|
|
c n 1 |
|
|
c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f z |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
ck z z0 |
k |
. |
|||||||
z z |
0 |
n |
z z |
0 |
n 1 |
z z0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
||
В этом случае точка |
z0 называется полюсом кратности n для |
||||||||||||||||||
функции |
f z . |
Если |
n 1 , |
то точка z0 |
называется простым |
||||||||||||||
полюсом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z можно представить |
||||||||
Если аналитическую функцию |
|||||||||||||||||||
в виде f z z z |
n g z , |
где g z 0 , то точка z |
0 |
называ- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54
ется нулем кратности n функции f z . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Запишем разложение функции |
|
f z |
в ряд Лорана в виде |
||||||||||||||
f z |
|
1 |
|
c |
c |
|
z z |
|
... c z z |
|
n ... , |
||||||
z z0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
n |
n 1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
h z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
, |
|
|
|
|
(4.12) |
|||
|
|
|
|
|
z z0 n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где h z – аналитическая функция, причем |
h z0 c n 0. |
||||||||||||||||
Отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
z z0 n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
g z , |
|
|
|
|||
|
|
|
f z |
|
h z |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где g z0 1 h z0 1 c n 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отсюда следует, что если точка z0 |
|
– полюс кратности n |
|||||||||||||||
для функции |
f z , |
то она является нулем кратности n для |
функции 1 f z . Справедливо и обратное утверждение: если
точка z0 – нуль кратности n для функции |
f z . То она явля- |
|||||||
ется полюсом кратности n для функции 1 f z . |
||||||||
Изолированная особая точка |
z z0 |
является полюсом, |
||||||
если lim f z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Для функции |
f z |
sin z |
особой точкой яв- |
|||||
|
z4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляется z0 0 . Найдем предел функции при z 0 : |
||||||||
lim |
sin z |
lim |
sin z |
|
1 |
. |
||
|
|
|
||||||
z 0 z4 |
z 0 |
z |
|
z3 |
|
Следовательно, точка z0 0 является полюсом. Чтобы определить кратность полюса, разложим функцию f z в ряд Ло-
55
рана в окрестности точки z 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
f z |
1 |
|
z |
3 |
|
z |
5 |
|
z |
7 |
|
|
1 |
|
1 |
|
z |
|
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
||||||||||
4 |
3! |
|
|
|
|
|
3 |
3!z |
5! |
|
|
|
|||||||||||
|
z |
|
5! |
7! |
|
z |
|
7! |
|
Главная часть ряда Лорана содержит конечное число членов, причем n 3 . Следовательно, точка z 0 – полюс третьего порядка.
Пример |
2. Для функции f z |
z 3 |
точки |
|
|
||||
z z 2 z 1 2 |
||||
|
|
|
||
z1 0 , z2 2 |
и z3 1 – полюсы, т.к. предел функции во всех |
этих точках равен бесконечности. Для определения кратности
полюсов представим функцию |
f z |
в виде (4.12). Например, |
|||||||||||||
|
|
|
|
z 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f z |
|
|
|
|
. Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z 2 |
z |
|
1 |
, |
n 2 , |
h z |
|
z 3 |
, причем |
||||||
|
|
|
|
|
|
z z 2 |
|||||||||
|
|
|
|
z 1 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
h 1 |
4 |
0 . Следовательно, |
z 1 – |
полюс второго порядка. |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично можно показать, что точки z 0 |
и z 2 – про- |
стые полюсы.
3. Отличны от нуля бесконечное число коэффициентов главной части ряда Лорана, т.е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка
z0 называется существенно особой точкой функции f z .
Можно доказать, что если z0 – существенно особая точка
для функции |
f z , то в достаточно малой окрестности точки |
z0 функция |
f z становится неопределенной. В такой точке |
функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Это означает, что функция f z стремится к различным пределам,
когда точка z стремится к точке z0 по различным путям. Пример. Для функции f z e1 z точка z0 0 является
56
особой точкой. Разложение функции e1 z |
по степеням z имеет |
|||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
e1 z 1 |
1 |
|
1 |
|
... |
1 |
|
... |
|
z2 2! |
|
|
|||||
|
z |
|
|
zn n! |
Главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов, следовательно, точка z0 0 является существенно особой
точкой функции e1 z .
Если z 0 вдоль положительной части действительной оси, то 1 z и e1 z . Если z 0 вдоль отрицательной части действительной оси, то 1 z и e1 z 0 . Следовательно, предел функции f z e1 z в точке z 0 не существует.
Классификацию особых |
точек можно распространить на |
случай, когда особой точкой |
функции f z является беско- |
нечно удаленная точка. Точка |
z является особой точкой |
||
для функции |
f z , если точка |
z 0 является особой точкой |
|
для функции |
f 1 z . Тип особой точки |
z для функции |
|
f z совпадает с типом особой точки |
z 0 для функции |
||
f 1 z . |
|
|
|
57
5.ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
5.1.Вычет функции. Основная теорема о вычетах
Вычетом аналитической функции |
f z |
в изолирован- |
|||||||||||
ной особой точке z0 |
называется комплексное число, равное |
||||||||||||
значению интеграла |
1 |
|
f z dz , взятого в положительном |
||||||||||
|
|||||||||||||
2 i |
|||||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлении по окружности L с центром в точке z0 , |
лежащей |
||||||||||||
в области аналитичности функции |
f z . |
|
|
|
|
|
|||||||
Вычет функции |
f z |
в изолированной особой точке z0 |
|||||||||||
обозначается символом Res f z |
или |
Res f |
z ; z |
. |
Таким |
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f z |
|
1 |
|
f z dz . |
|
|
|
(5.1) |
||||
|
2 i |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
Если в формуле (4.8) положить n 1 , то получим |
|
||||||||||||
c |
1 |
|
f z dz или Res f z c , |
|
(5.2) |
||||||||
2 i |
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. вычет функции f z относительно особой точки z0 |
равен |
||||||||||||
коэффициенту c 1 |
в разложении этой функции в ряд Лорана в |
||||||||||||
окрестности точки z0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (основная теорема о вычетах). Если функция f z является аналитической в замкнутой области D, ограни-
ченной контуром L, за исключением конечного числа особых точек zk ( k 1, 2,..., n ), лежащих внутри области D, то
|
|
n |
|
|
f z dz 2 i |
|
Res f zk . |
(5.3) |
|
L |
|
k 1 |
|
|
58
Доказательство. Окружим особые точки z1 , z2 ,..., zn контурами L1, L2 ,..., Ln так, чтобы эти контуры не пересекались между собой и не пересекали контур L (рис. 5.1).
Y
|
|
L |
|
|
L1 |
|
|
z1 |
|
|
z2 |
|
Ln |
zn |
|
|
|
|
|
L2 |
O |
|
X |
|
|
Рис. 5.1 |
Т.к. функция |
f z аналитична в замкнутой области, ле- |
жащей между внешним контуром L и внутренними контурами L1, L2 ,..., Ln , то по теореме Коши для сложного контура имеем:
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
2 i |
|
|
|
||||
|
f z dz |
|
|
f z dz 2 i |
|
1 |
|
f z dz 2 i |
|
Res f zk . |
L |
k 1 |
Lk |
k 1 |
|
Lk |
k 1 |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема доказана.
5.2. Вычисление вычетов
1. Если z z0 – правильная или устранимая особая точка функции f z , то вычет в этой точке равен нулю, т.к. в разложении в ряд Лорана отсутствует главная часть, поэтому
59
Res f z0 c 1 0 .
2. Если точка z z0 является простым полюсом функции
f z , то ряд Лорана для функции |
f z |
|
в окрестности точки |
|||||||||||||||||
z0 имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f z |
ck z z0 |
k |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
z |
z0 |
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c 1 z z0 f z ck z z0 k 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя в этом равенстве к пределу при z z0 , получим: |
||||||||||||||||||||
|
Res f z |
|
c |
|
lim z z |
|
f z . |
(5.4) |
||||||||||||
|
|
|
0 |
1 |
|
z z0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Вычислить вычет функции |
f z |
z2 |
в осо- |
|||||||||||||||||
z 2 |
|
|||||||||||||||||||
бой точке z 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Точка z 2 является простым полюсом функции |
|
z2 |
||||||||||||||||||
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
z 2 |
|||||||||||||||||||
Следовательно, в соответствии с (5.4) имеем: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Res f |
2 lim z 2 |
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
z 2 |
|
|
z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Иногда для вычисления вычета в простом полюсе более |
||||||||||||||||||||
удобна другая формула. Пусть функция |
|
f z представлена в |
||||||||||||||||||
виде f z |
z |
, где z |
и z |
– |
функции, аналитиче- |
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ские в точке z0 , z0 0 , а z имеет простой нуль в точке
z0 (т.е. z0 0 , |
z0 0 ). Тогда в соответствии с (5.4) |
имеем: |
|
60