Учебное пособие 800201
.pdfСписок литературы приводится в конце КР. Ссылка в тексте на литературный источник указывается порядковым номером по перечню литературы, выделенным двумя квадратными скобками (например [3]). В перечень литературы, составленный в порядке упоминания в тексте, включают только те источники, на которые имеются ссылки в тексте. Не допускается ставить ссылки на источники, использованные в заголовках разделов или подразделов.
Сведения о книгах (учебниках, справочниках и т. п.) должны включать: фамилию (фамилии) и инициалы автора (авторов), полное название книг, место издания, издательство, год издания и количество страниц.
Листы КР должны быть сброшюрованы в тетрадь. Выполненная КР после ее проверки руководителем
должна быть защищена в установленный им срок. Защита КР является формой проверки выполнения работы, она должна научить студента всестороннему обоснованию выполненного решения и прояснить глубину понимания им выполненной работы.
Защита КР проводится в форме собеседования со студентом по вопросам работы и решения студентом типовых задач на тему КР. Студент должен дать все необходимые объяснения по существу КР и решить предложенные ему задачи.
Задаваемые вопросы должны соответствовать теме КР и относиться к выяснению сущности и особенностей, применяемых в КР методов расчета, области их приложения, анализу полученных результатов. При необходимости более глубокой проверки знаний студента ему могут быть заданы вопросы по теоретическому курсу, связанные с содержанием КР.
Вариант задания на курсовую работу выбирается студентом в соответствии с его номером в журнале группы. Задание выдается на установочной лекции или на ежемесячных консультациях.
50
2. ЧАСТЬ 1. РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ
ИЖЕСТКОСТЬ БАЛОК И РАМ
2.1.Задача № 1. Расчет на прочность и жесткость двухопорной балки
Для заданной стальной двухопорной балки постоянной жесткости (рис. 2.1) подобрать из расчета на прочность поперечное сечение в форме двутавра.
Определить методом Мора и проверить способом Верещагина угол поворота θ опорного сечения и прогиб у крайнего сечения на одном из консольных участков балки (номера сечений указаны в табл. 2.1).
Проверить жесткость балки в указанных сечениях, если допускаемые значения угла поворота и прогиба соответственно равны 0,02рад/м; y 0,002l , где l – длина балки. Если жесткость балки не обеспечена, подобрать номер прокатного двутавра из расчета на жесткость.
Используя рассчитанные значения перемещений и эпюру изгибающих моментов, изобразить (приближенно) вид изогнутой оси балки.
|
Принять q 10кН ; |
a 1м; |
160МПа; |
||
E |
2 105 МПа. |
м |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Значения нагрузок и размеров взять из табл. 2.1. |
||||
|
|
|
q2 |
q3 |
|
|
P1 |
q1 |
P3 |
||
|
|
|
|||
m1 |
1 |
2 |
m2 |
3 |
4 |
P2 |
|
|
m3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 |
a2 |
|
a3 |
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
|
|
|
|
51 |
|
Таблица 2.1
|
№ |
|
|
|
Н А Г Р У З К И |
|
|
|
Р А З М Е Р Ы |
|
№ сечений |
|||||
|
вари- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q1 |
q2 |
q3 |
P1 |
P2 |
P3 |
m1 |
m2 |
m3 |
a1 |
a2 |
|
a3 |
|||
|
анта |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
q |
|
|
qa |
|
|
qa2 |
|
|
а |
0,9а |
|
0,9а |
3 |
1 |
|
2 |
q |
|
|
qa |
|
|
|
2qa2 |
|
1,2а |
а |
|
0,8а |
2 |
4 |
|
3 |
q |
|
|
qa |
|
|
|
|
3qa2 |
1,3а |
0,2а |
|
0,7а |
3 |
1 |
|
4 |
q |
|
|
|
2qa |
|
qa2 |
|
|
1,4а |
0,3а |
|
0,6а |
2 |
4 |
|
5 |
q |
|
|
|
2qa |
|
|
2qa2 |
|
1,5а |
0,4а |
|
0,5а |
3 |
1 |
|
6 |
q |
|
|
|
2qa |
|
|
|
3qa2 |
а |
0,5а |
|
0,4а |
2 |
4 |
52 |
7 |
q |
|
|
|
|
3qa |
qa2 |
|
|
1,2а |
0,6а |
|
0,3а |
3 |
1 |
8 |
q |
|
|
|
|
3qa |
|
2qa2 |
|
1,3а |
0,7а |
|
0,2а |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
9 |
q |
|
|
|
|
3qa |
|
|
3qa2 |
1,4а |
0,8а |
|
а |
3 |
1 |
|
10 |
|
2q |
|
qa |
|
|
qa2 |
|
|
1,5а |
0,9а |
|
0,9а |
2 |
4 |
|
11 |
|
2q |
|
qa |
|
|
|
2qa2 |
|
1,3а |
а |
|
0,8а |
3 |
1 |
|
12 |
|
2q |
|
qa |
|
|
|
|
3qa2 |
1,2а |
0,2а |
|
0,7а |
2 |
4 |
|
13 |
|
2q |
|
|
2qa |
|
qa2 |
|
|
1,3а |
0,3а |
|
0,6а |
3 |
1 |
|
14 |
|
2q |
|
|
2qa |
|
|
2qa2 |
|
1,4а |
0,4а |
|
0,5а |
2 |
4 |
|
15 |
|
2q |
|
|
2qa |
|
|
|
3qa2 |
1,5а |
0,5а |
|
0,4а |
3 |
1 |
|
16 |
|
2q |
|
|
|
3qa |
qa2 |
|
|
а |
0,6а |
|
0,3а |
2 |
4 |
|
17 |
|
2q |
|
|
|
3qa |
|
2qa2 |
|
1,2а |
0,7а |
|
0,2а |
3 |
1 |
Окончание табл. 2.1
|
№ |
|
|
|
Н А Г Р У З К И |
|
|
|
Р А З М Е Р Ы |
№ сечения |
|||||
|
вари- |
q1 |
q2 |
q3 |
P1 |
P2 |
P3 |
m1 |
m2 |
m3 |
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
|
анта |
|
|
||||||||||||
|
18 |
|
2q |
|
|
|
3qa |
|
|
3qa2 |
1,3а |
0,8а |
а |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
3q |
qa |
|
|
qa2 |
|
|
1,4а |
0,9а |
0,9а |
3 |
1 |
|
20 |
|
|
3q |
qa |
|
|
|
2qa2 |
|
1,5а |
а |
0,8а |
2 |
4 |
|
21 |
|
|
3q |
qa |
|
|
|
|
3qa2 |
а |
0,2а |
0,7а |
3 |
1 |
|
22 |
|
|
3q |
|
2qa |
|
qa2 |
|
|
1,2а |
0,3а |
0,6а |
2 |
4 |
|
23 |
|
|
3q |
|
2qa |
|
|
2qa2 |
|
1,3а |
0,4а |
0,5а |
3 |
1 |
53 |
24 |
|
|
3q |
|
2qa |
|
|
|
3qa2 |
1,4а |
0,5а |
0,4а |
2 |
4 |
25 |
|
|
3q |
|
|
3qa |
qa2 |
|
|
1,5а |
0,6а |
0,3а |
3 |
1 |
|
|
26 |
|
|
3q |
|
|
3qa |
|
2qa2 |
|
а |
0,7а |
0,2а |
2 |
4 |
|
27 |
|
|
3q |
|
|
3qa |
|
|
3qa2 |
1,2а |
0,8а |
а |
3 |
1 |
|
28 |
q |
|
|
-qa |
|
|
qa2 |
|
|
1,3а |
0,9а |
0,9а |
2 |
4 |
|
29 |
q |
|
|
-qa |
|
|
|
2qa2 |
|
1,4а |
а |
0,8а |
3 |
1 |
|
30 |
q |
|
|
-qa |
|
|
|
|
3qa2 |
1,5а |
0,2а |
0,7а |
2 |
4 |
|
31 |
q |
|
|
|
-2qa |
|
qa2 |
|
|
а |
0,3а |
0,6а |
3 |
1 |
|
32 |
q |
|
|
|
-2qa |
|
|
2qa2 |
|
1,2а |
0,4а |
0,4а |
2 |
4 |
|
33 |
q |
|
|
|
-2qa |
|
|
|
3qa2 |
1,3а |
0,5а |
0,3а |
3 |
1 |
|
34 |
q |
|
|
|
|
-3qa |
qa2 |
|
|
1,4а |
0,6а |
0,2а |
2 |
4 |
|
35 |
q |
|
|
|
|
-3qa |
|
2qa2 |
|
1,5а |
0,7а |
а |
3 |
1 |
2.2. Основные понятия и зависимости [1]
При прямом изгибе балки ее ось, искривляясь, остается в силовой плоскости. Изогнутая ось балки, представляющая собой геометрическое место центров тяжести поперечных сечений деформированной балки, называется упругой линией. Деформация балки в плоскости yz характеризуется двумя перемещениями (рис. 2.2):
y Θ
y z
Θ
z |
P |
Рис. 2.2
1)прогибом (y) – линейным перемещением точек оси балки по нормали к ее первоначально прямой оси;
2)углом поворота сечения (Θ) – углом, на который поворачивается поперечное сечение балки относительно его первоначального положения (поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным изогнутой оси балки).
2.2.1. Определение перемещений методом Мора. Порядок расчета
Метод Мора представляет собой универсальный метод определения линейных и угловых перемещений. Для того чтобы определить методом Мора перемещение i (прогиб или угол поворота) в некотором сечении бруса, необходимо:
54
1)рассмотреть «грузовое» состояние (“Р”), представляющее балку под действием заданных нагрузок;
2)рассмотреть «единичное» состояние (“i”), представляющее ту же балку, освобожденную от заданных нагрузок и нагруженную единичным силовым фактором (единичной силой, когда определяется прогиб, или единичным моментом, когда определяется угол поворота), приложенным в сечении, перемещение которого определяется, в направлении искомого перемещения;
3)«грузовое» и «единичное» состояния разбить на одинаковые участки;
4)на каждом k - м участке записать аналитические выражения изгибающих моментов, соответствующих «грузово-
му» состоянию Mxp(k) и «единичному» состоянию Mxi(k) ;
5) определить искомое перемещение, как сумму интегралов Мора по участкам балки
|
m |
|
M (k)M |
(k) |
|
|||
i |
|
|
xp |
|
|
xi |
dz, |
(2.1) |
EI |
|
|
|
|||||
|
k 1 |
x |
k |
|
||||
|
|
lk |
|
|
|
где m – число участков; k – номер участка; lk – длина участка;
EIx k – изгибная жесткость участка.
Если i > 0, то направление искомого перемещения совпадает с направлением единичного силового фактора, если
i < 0, то противоположно ему.
2.2.2.Определение перемещений способом Верещагина. Порядок расчета
Если стержневая система состоит из прямолинейных участков с постоянной в пределах каждого из них жесткостью, то интегралы Мора можно вычислять по способу Верещагина.
55
Определение способом Верещагина перемещения i
(прогиба или угла поворота) некоторого сечения балки ведут в следующей последовательности:
1) строят независимо друг от друга эпюру изгибающих моментов Mxp для «грузового» состояния и эпюру изгибаю-
щих моментов Mxi для «единичного» состояния, соответст-
вующего искомому перемещению;
2)обе эти эпюры разбивают на одинаковые участки, в пределах каждого из которых эпюра изгибающих моментов «единичного» состояния является регулярной функцией (непрерывной и не имеющей точек излома), а изгибная жесткость бруса постоянна;
3)площадь эпюры изгибающих моментов «грузового» состояния разбивают на простые площади. При этом можно ограничиться тремя вариантами простых площадей – прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сег-
мент. Далее определяют площадь k каждой простой фигуры
и показывают положение ее центра тяжести. Значения площадей и положения их центров тяжести для перечисленных простых фигур приведены в табл. 2.2;
4)под центром тяжести каждой площади ωk определяют ординату Mki на эпюре изгибающих моментов “единичного” состояния;
5)искомое перемещение определяют по формуле
|
m |
|
M |
ki |
|
|
i |
|
k |
|
, |
(2.2) |
|
|
|
|
||||
|
k 1 |
EIx k |
|
где k – номер площади; m – число простых фигур, на которые разбита эпюра изгибающих моментов “грузового” состояния. Произведение ωkMki считается положительным, если часть эпюры изгибающих моментов “грузового” состояния, имеющая площадь ωk, и соответствующая ей ордината Mki расположены по одну сторону от нулевой линии.
56
Положительное значение перемещения δi получается в случае, если его направление совпадает с направлением единичного силового фактора (единичных силы или момента).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зависимость |
Площадь |
Координата |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Эпюра Mxp |
|
центра тя- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y f (z) |
|
|
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жести zk |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y прямоугольник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y h |
|
|
|
|
k bh |
zkc |
b |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zkc |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yпрямоугольный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
h |
|
|
треугольник |
|
y h |
h |
z |
|
k |
|
bh |
|
zkc |
2 |
b |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zkc |
z |
b |
|
|
2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
параболический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сегмент |
|
|
4h |
b |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
bh |
|
|
|
b |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
h |
|
|
c |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
z |
|
b2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
zk |
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
Заметим, что если интенсивность q распределённой нагрузки, действующей на балку, постоянна или распределённая нагрузка отсутствует, то эпюру Mxp “грузового” состояния всегда можно разбить на площади, представленные в табл. 2.2. Для доказательства рассмотрим, например, балку, изображённую на рис. 2.3, а, эпюра изгибающих моментов которой пред-
57
ставлена на рис. 2.3, б. Тогда выражение для изгибающего момента Mxp можно записать в виде
|
|
|
z |
|
q |
|
|
b |
b2 |
|
|
|
M |
xp |
m P z qz |
|
m Pz |
|
z2 |
2 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qb |
|
qb2 |
|
|
|
|
qb |
|
|
q |
b |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
m P |
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
qb2 |
|
|
f1(z) f2(z) f3(z), |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где f1(z) m const (площадь 1 |
– прямоугольник, |
рис. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
qb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.3, в); f |
2 (z) P |
|
|
|
|
z (площадь 2 – прямоугольный тре- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
b |
2 |
|
|
|
qb2 |
|
|
|
|
||
угольник, рис. 2.3, г); |
|
|
f3(z) |
|
z |
|
|
|
|
|
|
(площадь 3 – |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
||||||
симметричный параболический сегмент, |
|
рис. 2.3, д). |
|
При этом высота h параболического сегмента (табл. 2.2) в случае равномерно распределённой нагрузки интенсивностью
q всегда равна qb2 . Таким образом, площадь ω эпюры изги- 8
бающего момента Mxp равна 1 2 3 (площадь 3 параболического сегмента отрицательна, если распределённая нагрузка направлена вверх (рис. 2.3, д) и положительна, если распределённая нагрузка направлена вниз).
2.2.3. Расчет на жесткость при изгибе
Расчет на жесткость при изгибе балок выполняют исходя из условий жесткости [3]:
ymax y ,max ,
58
где |
[y] |
– |
допускаемое |
значение прогиба, [y]=(0,001-0,003)ℓ. |
||
(Здесь ℓ - длина балки). [θ] – допускаемое значение угла пово- |
||||||
рота сечения ([θ]=(0,001-0,003) рад). |
|
|
||||
|
P |
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
m |
|
|
z |
|
|
|
|
|
b |
|
qb2 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m Pb |
2 |
|
|
y |
|
Mxp |
|
||
|
|
|
|
|||
m |
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
m |
|
|
f1(z) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
qb2 |
|
|
|
|
f2(z) |
Pb |
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
3 |
г) |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
3 |
qb2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
д) |
|
|
|
|
f3(z) |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|