Учебное пособие 800201
.pdfРис. 2.2 (окончание) |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
№ |
Номер |
|
Нагрузки, кН |
|
|
Размеры, м |
|
|
|
|
вари |
расчетной |
Р1 |
Р2 |
|
Р3 |
а1 |
а2 |
|
а3 |
|
анта |
схемы |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
10 |
20 |
|
- |
0,5 |
0,7 |
|
0,9 |
|
2 |
2 |
10 |
20 |
|
- |
0,7 |
0,9 |
|
0,5 |
|
3 |
3 |
10 |
20 |
|
- |
0,9 |
0,5 |
|
0,7 |
|
4 |
4 |
10 |
20 |
|
- |
0,6 |
0,8 |
|
1,0 |
|
5 |
5 |
10 |
20 |
|
- |
0,8 |
1,0 |
|
0,6 |
|
6 |
6 |
10 |
20 |
|
- |
1,0 |
0,6 |
|
0,8 |
11 |
7 |
7 |
10 |
20 |
|
- |
0,7 |
0,9 |
|
1,1 |
8 |
8 |
10 |
20 |
|
- |
0,9 |
1,1 |
|
0,7 |
|
|
|
|
||||||||
|
9 |
1 |
- |
20 |
|
30 |
1,1 |
0,7 |
|
0,9 |
|
10 |
2 |
20 |
-30 |
|
- |
0,8 |
1,0 |
|
1,2 |
|
11 |
3 |
- |
20 |
|
30 |
1,0 |
1,2 |
|
0,8 |
|
12 |
4 |
-20 |
40 |
|
- |
0,8 |
0,9 |
|
1,1 |
|
13 |
5 |
- |
20 |
|
30 |
0,9 |
1,1 |
|
1,3 |
|
14 |
6 |
- |
20 |
|
30 |
1,1 |
1,3 |
|
0,9 |
|
15 |
7 |
20 |
-50 |
|
- |
0,7 |
0,8 |
|
1,2 |
|
16 |
8 |
- |
20 |
|
30 |
1,0 |
1,2 |
|
1,4 |
|
17 |
1 |
10 |
- |
|
30 |
0,9 |
1,4 |
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Окончание табл. 2.2 |
|
|
№ |
Номер |
|
Нагрузки, кН |
|
|
Размеры, м |
|
|
|
вари |
расчетной |
|
|
|
|
|
|
|
|
анта |
схемы |
Р1 |
Р2 |
|
Р3 |
а1 |
а2 |
а3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
2 |
-30 |
40 |
|
- |
0,8 |
0,9 |
1,2 |
|
19 |
3 |
10 |
- |
|
30 |
0,5 |
0,8 |
1,0 |
|
20 |
4 |
30 |
-20 |
|
- |
0,8 |
1,0 |
0,5 |
|
21 |
5 |
10 |
- |
|
30 |
1,0 |
0,5 |
0,8 |
|
22 |
6 |
10 |
- |
|
30 |
0,6 |
1,1 |
0,9 |
|
23 |
7 |
-40 |
10 |
|
- |
1,1 |
0,9 |
0,6 |
12 |
24 |
8 |
10 |
- |
|
30 |
0,9 |
0,6 |
1,1 |
25 |
1 |
20 |
-40 |
|
- |
0,5 |
1,0 |
0,7 |
|
|
|
||||||||
|
26 |
3 |
20 |
-30 |
|
- |
1,0 |
0,7 |
0,5 |
|
27 |
5 |
-30 |
20 |
|
- |
0,7 |
0,5 |
1,0 |
|
28 |
6 |
20 |
- |
|
-50 |
0,5 |
0,9 |
1,1 |
|
29 |
8 |
- |
-50 |
|
10 |
0,9 |
1,1 |
0,5 |
|
30 |
1 |
- |
30 |
|
-50 |
1,1 |
0,5 |
0,9 |
|
31 |
3 |
- |
30 |
|
-40 |
0,7 |
1,1 |
1,0 |
|
32 |
5 |
20 |
- |
|
-40 |
1,1 |
1,0 |
0,7 |
|
33 |
6 |
- |
-20 |
|
40 |
1,0 |
0,7 |
1,1 |
|
34 |
8 |
-40 |
20 |
|
- |
0,6 |
1,0 |
0,8 |
2.3. Основные понятия и зависимости [1]
При растяжении (или сжатии) в поперечном сечении стержня возникает только нормальная сила N.
Нормальная сила N определяется методом сечений и равна алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения. При этом сила N считается положительной, если она вызывает растяжение стержня, то есть направлена от сечения стержня в сторону отброшенной части.
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня определяют по формуле
|
N |
, |
(2.1) |
|
|||
|
F |
|
где F- площадь поперечного сечения.
Условие прочности при растяжении (или сжатии) имеет
вид |
|
N |
|
|
|
|
||||
|
σmax |
|
|
|
|
|
|
σ , |
(2.2) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|||
где - допускаемое напряжение для материала стержня. |
|
|||||||||
Если материал стержня по-разному сопротивляется рас- |
тяжению и сжатию, то при растяжении р , а при сжа-
тии с , где р , с- допускаемые напряжения на рас-
тяжение и сжатие соответственно.
Перемещение одного поперечного сечения стержня по отношению к другому можно определить по формуле
|
NdZ |
, |
(2.3) |
EF |
|||
l |
|
|
где l - расстояние между сечениями, взаимное смещение которых определяется; EF – жесткость стержня.
13
Если N = const, EF = const, то |
|
||||||
|
Nl |
|
(2.4) |
||||
EF |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Условие жесткости имеет вид |
|
||||||
|
|
|
, |
(2.5) |
|||
|
|
где - допускаемое перемещение.
2.4. Пример 1. Расчет на прочность и жесткость ступенчатого стержня
Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен двумя сосредоточенными силами Р1, Р2 и распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 2.3). Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении для его материала 160МПа. Проверить жесткость стержня в
сечении I-I, если допускаемое перемещение I I 0,5мм. Собственным весом стержня пренебречь.
Числовые данные:
Р2 10кН; Р2 30кН; q 30 кН ;
м
l1 0,8м; l2 0,2м; l3 0,6м; F1 10см2; F2 5см2;
F3 15см2; E 2 105 МПа .
14
, |
Рис. 2.3 |
15
Решение Стержень защемлен с одной стороны. Поэтому реакции
защемления можно не определять. Тогда, используя метод сечений, необходимо отбрасывать левую часть стержня.
Разобьем стержень на три участка. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, резко (скачком) изменяется площадь поперечного сечения, начинает или заканчивает действовать распределенная нагрузка. На каждом участке запишем выражение для нормальных сил N.
1 участок: 0 Z1 l3; N(1) P2 qz1 30 30Z1.
Как видим нормальная сила изменяется на участке по линейной зависимости.
При Z1 0: N(1) |
30кН; |
при Z1 l3 : N(1) |
48кН . |
2 участок: 0 Z2 l2;N(2) P2 ql3 30 30 0,6 48кН.
3участок:0 Z3 l1;N(3) P2 ql3 P1
30 30 0,6 10 38кН .
По полученным данным в системе координат “N – Z” строим эпюру нормальных сил (рис. 2.3.)
Нормальные напряжения на участках стержня равны:
|
(1) |
|
N(1) |
;при Z1 0: |
(1) |
2 |
кН |
20МПа; |
|
F3 |
|
см2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
при Z1 l3: (1) 3,2 кН2 32МПа.
см
|
(2) |
|
|
N(2) |
|
|
кН |
||||
|
|
|
|
|
9,6 |
|
|
|
96МПа. |
||
|
F2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
см2 |
|||||
|
(3) |
|
|
N(3) |
|
|
кН |
||||
|
|
|
|
|
3,8 |
|
|
|
38МПа |
||
|
|
см |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
F1 |
|
|
|
16
По полученным значениям в системе координат " Z" строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2.3.). Как видим, максимальное нормальное напряжение
max 96МПа< 160МПа, то есть условие прочности (2.2) выполняется.
Определим перемещение сечения I – I (см. рис.2.3.)
|
l2 |
N(2)dZ |
l1 |
N(3)dZ |
|
N(2)l |
2 |
|
N(3) l |
|||||||||
I I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
EF |
|
|
|
|
EF |
|
EF |
|
EF |
||||||||
|
0 |
2 |
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
48 20 |
|
|
|
38 80 |
0,025см 0,25мм. |
||||||||||||
2 104 5 |
2 104 10 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как |
|
I I |
|
|
0,25мм < I I 0,5мм, то условие жест- |
|||||||||||||
|
|
кости выполняется.
2.5. Пример 2. Расчет на прочность стержневой системы
Абсолютно жесткий брус АВ опирается на шарнирную неподвижную опору А и прикреплен при помощи шарнира к стальному стержню круглого поперечного сечения (рис. 2.4,а). Подобрать диаметр поперечного сечения стержня, если допускаемое напряжение для его материала = 160 МПа.
Числовые данные: Р = 50 кН; a = 3 м; b = 2 м; с = 1 м.
Решение В рассматриваемой конструкции брус АВ считается аб-
солютно жестким, то есть недеформируемым, и при нагружении системы силой Р деформируется только стержень ОВ. Собственным весом стержня можно пренебречь по сравнению с приложенной к системе силой Р. Тогда возникающая в по-
17
перечных сечениях стержня нормальная сила N будет постоянной по всей его длине.
О
b
А |
|
450 |
|
В |
а) |
||
|
|||
|
|
ас
Р
Ry |
|
N |
|
|
|
|
|
А |
|
450 |
|
|
|
|
|
|
В |
||
Rx |
|
||
с |
|
б) |
|
а |
|
Р
Рис. 2.4
Подбор диаметра стержня выполняется из условия прочности (2.2). Так как начальная площадь поперечного сечения
стержня F d2 , где d – диаметр стержня, то из (2.2) получим
4
18
d |
4N |
|
. |
(2.6) |
Для расчета диаметра стержня предварительно необходимо найти нормальную силу N. Используя метод сечений, мысленно вырежем брус АВ. Рассекая стержень ОВ, заменим действие его отброшенной части на оставшуюся нормальной силой N (рис. 2.2,б). В шарнирно неподвижной опоре при нагружении системы силой Р возникнут реакции Rx и Rу. Рассматривая равновесие бруса АВ под действием плоской системы сил, можно составить три независимых уравнения равновесия. Однако для определения нормальной силы N в стержне ОВ достаточно записать одно уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира А.
|
mA Nsin 45 a с Ра 0, |
(2.7) |
|||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pa |
|
|
|
|
|
50 3 |
|
|
|
|
|
|
||
N |
|
|
|
|
|
2 |
|
53,03кН . |
|
||||||
a c sin450 |
|
3 1 |
|
|
|
||||||||||
По формуле (2.6) рассчитываем диаметр стержня |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
d |
4 |
N |
|
|
|
|
4 50,03 103 |
|
20мм. |
|
||||
|
|
|
3,14 160 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
19