- •Магнитное поле линейных и пространственных проводников с током методические указания
- •Магнитное поле линейных и пространственных проводников с током
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •1. Магнитное поле линейных проводников с током Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Магнитное поле соленоида и тороида Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции к расчёту полей Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Магнитное поле вращающихся заряженных тел
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Содержание
Примеры решения задач
1. Найти магнитную индукцию создаваемую витком в форме квадрата со стороной а в точке Р, находящейся на расстоянии а от вершин квадрата (рис.1.2). По витку идет ток I.
Решение.
Индукция поля, создаваемая одной стороной квадрата
.
В соответствии с принципом суперпозиции
.
Учитывая, что , , , получим
,
.
Из чертежа следует, что
, , ;
Окончательно
.
2. Ток I=5 А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 1.3). Радиус изогнутой части проводника R=120мм, угол 2𝜑=. Найти магнитную индукцию в точке О.
Решение.
В соответствии с принципом суперпозиции
,
где индукция создается током, текущим по элементу окружности, а - по отрезку прямой. Найдем численные значения :
.
Проведем преобразование
,
.
.
Так как векторы и направлены в одну сторону, то
3. Найти магнитную индукцию в точке О, если проводник с током I имеет вид показанный на рис.1.4а. Радиус изогнутой части проводника R, прямолинейные участки проводника очень длинные.
Решение.
,
где создаются соответствующими проводниками с токами .
Частные значения индукции найдем по формулам
, где I1=I
, где I2= I. .
, где . .
.
Векторы и направлены в противоположные стороны и численно равны, поэтому их сумма равна нулю (см рис.1.4б). Численное значение результирующего вектора определяется по теореме Пифагора, т.к и образуют прямой угол.
.
4. Ток I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при .
Решение.
Как следует из рис.2.5 , , .
Индукция в центре многоугольника
,
где .
Проведем преобразования
.
,
где .
При и
Таким образом, при
5. По тонкому проводящему кольцу радиуса R течет ток I. Вывести приближенную формулу расчета магнитной индукции в точке А, лежащей в плоскости кольца на расстояние r<R от центра кольца.
Решение.
Применим закон Био-Савара
где - единичный вектор вдоль ВА (рис.1.6).
С учетом , , получим
.
Найдем и ВА. Из чертежа следует
, ,
.
Из теоремы косинусов .
Значение индукции поля определяется интегралом
где .
.
Воспользуемся разложением функции в бесконечный ряд Ньютона и ограничимся первыми тремя членами:
…
В соответствии с этим
.
В результате интегрирования получим
.
Если , то .
6. По тонкому проводящему кольцу радиуса R течет ток I. Определить аксиальную Bx и радиальную Ву составляющие магнитной индукции в точке N, расположенной на перпендикуляре MN (MN=r) к оси кольца. Точка М лежит на оси на расстоянии х от центра кольца (рис 1.7)
Решение.
Построим замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r и длиной dx с осью, проходящей через точку N, и воспользуемся теоремой Гаусса для поля
, Ф1-Ф2+Ф3=0,
где - поток через боковую поверхность.
- входящий поток через основание цилиндра.
- выходящий поток через основание цилиндра.
.
Проведя преобразования, установим связь между аксиальной и радиальной составляющими магнитной индукции
.
Аксиальную составляющую получим, используя формулу для магнитной индукции на оси кольца
.
Дифференцируя Bx по dx, получим
.
С учетом этого
.
7. Имеется круговой виток с током I. Найти интеграл вдоль оси витка в пределах от до . Объяснить полученный результат.
Решение.
Произведем замену
.
Интеграл можно рассматривать как , т.к. пределы интегрирования позволяют заключить, что обход производится по контору, замыкающемуся в бесконечности, и полученное выражение рассматривать, как результат использования теоремы о циркуляции вектора
8. Постоянный ток I течет по длинному прямому проводу и далее растекается радиально - симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной к проводу. Найти индукцию магнитного поля во всех точках пространства.
Решение.
Ток, текущий по длинному прямому проводу создает магнитную индукцию в пространстве над проводящей плоскостью. В пространстве проводящей плоскости В=0, т.к. магнитные поля соседних токов направлены в противоположные стороны (рис. 2.8) и взаимно компенсируются.
9. Тонкий провод (с изоляцией) образует плоскую спираль из N=100 плотно расположенных витков, по которым течет ток I=8мА (рис. 1.9). Радиусы внутреннего и внешнего витков а=50мм, в=100мм. Найти: а) индукцию магнитного поля в центре спирали; б) магнитный момент спирали при данном токе.
Решение.
Применим формулу для расчета магнитной индукции в центре проводника с током .
Плоскую спираль можно рассматривать как ленту, где линейная плотность тока равна . Ток, проходящий по элементу ленты шириной dr, равен .
С учетом этого .
Интегрируя, получим
.
Аналогичный результат для индукции магнитного поля дает использование закона Био-Савара-Лапласа
,
где dl-элемент спирали, создающий dB. , .
.
Магнитный момент спирали находится следующим образом
,
.