- •1. Растяжение (сжатие)
- •1.1. Статически определимые системы
- •1.2. Статически неопределимые системы
- •1.3. Экспериментальное исследование растяжения (сжатия)
- •2. Кручение валов круглого сечения
- •2.1. Статически определимые системы
- •2.2. Статически неопределимые системы
- •2.3. Экспериментальное исследование кручения
- •3. Геометрические характеристики
- •3.2. Несимметричные сечения
- •4. Изгиб
- •4.2.2. Статически – неопределимые рамы и кривые брусья малой кривизны.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2. Кручение валов круглого сечения
2.1. Статически определимые системы
2.1. К ведомым шкивам стальных валов (рис. 2.1) приложены заданные моменты ; ; . Подобрать для каждого из этих валов диаметр сплошного кругового сечения, если ; ; ; .
Примечание: решение подобных задач приведено в [5].
Рис. 2.1
2.2. Вал трубчатого сечения жестко защемлен в левом сечении и нагружен скручивающими моментами и (рис. 2.2). Внешний диаметр сечения равен , а внутренний . Рассчитать величину диаметра , если , , .
2.3. Вал трубчатого сечения с внешним диаметром и внутренним диаметром жестко защемлен с левой стороны и нагружен скручивающими моментами и (рис. 2.3). Определить допускаемые значения и , если , , .
Рис. 2.2 |
Рис. 2.3 |
Решение
В данной задаче требуется провести расчет грузоподъемности вала работающего на кручение. Исходя из условия прочности расчет грузоподъемности проводится по соотношению
, (2.1)
где – значение крутящего момента в опасном сечении вала; – допускаемое касательное напряжение для материала вала, заданное в условии задачи; – полярный момент сопротивления сечения вала. Для трубчатого сечения определяется по соотношению
, где .
По известным значениям и рассчитываем
.
Из предыдущего неравенства (2.1) получим
.
Для определения положения опасного сечения и значения крутящего момента в этом сечении в функции заданных моментов и строим эпюру крутящих моментов. С этой целью разбиваем вал на два участка (рис. 2.4), нумеруя их, начиная от свободного конца вала, и записываем уравнения для на каждом из этих участков.
Рис. 2.4 |
I участок: ; II участок: . По этим данным строим эпюру крутящих моментов . Принимая во внимание, что сечение вала постоянно по его длине, на основе эпюры |
приходим к выводу, что опасным является любое из сечений второго участка, где действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент . Приравнивая значение в опасном сечении , рассчитанному из условия прочности, получим
.
Следовательно, допускаемые значения скручивающих моментов будут следующими:
; .
Проверим теперь, удовлетворяется ли при найденных значениях и условие жесткости вала. В задаче дано , следовательно, условие жесткости вала будет иметь вид
.
Размеры сечения и материал постоянны по длине вала, поэтому жесткость будет также постоянной. Это говорит о том, что максимальный относительный угол закручивания соответствует , т.е.
.
Для трубчатого сечения полярный момент инерции определяется по формуле
.
Подставляя числовые данные получим:
,
т.е. условие жесткости удовлетворяется и окончательно принимаем , .
2.4. Для валов, расчетные схемы которых приведены на рис. 2.5, рассчитать необходимую величину диаметра сплошного кругового сечения и определить угол поворота сечения , если дано , , , , .
Рис. 2.5
2.5. Ступенчатый вал с диаметрами ступеней и жестко защемлен в левом сечении и нагружен сосредоточенным моментом и распределенным моментом интенсивностью (рис. 2.6). Проверить вал на прочность и жесткость, если ; ; , материал вала – сталь, .
Решение
В данной задаче требуется провести проверочный расчет вала, работающего на кручение, т.е. проверить выполнение условий прочности и жесткости.
Рис. 2.6
Проверим вначале выполнение условия прочности:
,
где – допускаемое касательное напряжение, заданное в условии задачи; – полярный момент сопротивления сечения вала, определяемый для сплошного кругового сечения по формуле . Для участков вала с диаметрами и соответственно получим
;
.
Таким образом, для проверки соблюдения условия прочности необходимо установить расчетное значение . С этой целью построим эпюру .
Разбивая вал на два участка ( и ) и нумеруя их, начиная от свободного конца к заделке, запишем уравнения на каждом из них.
I участок ; ; |
II участок ; ; |
Определим значения в граничных сечениях участка II:
; ; ; .
По этим данным строим эпюру (см. рис. 2.6, б), из которой следует, что наибольшее значение наблюдается в сечениях первого участка и в крайнем правом сечении второго участка. Учитывая, что приходим к выводу, что наибольшие по величине касательные напряжения действуют в сечениях первого участка и расчетное значение .
Подставляя в условие прочности и , получим
,
т.е. прочность вала обеспечена.
Проверим теперь выполнение условия жесткости. В задаче задано , следовательно, условие жесткости вала будет иметь вид
.
Для определения построим эпюру углов поворота сечений . Построение эпюры ведут от заделки к свободному концу .
Участок II. Определим угол поворота произвольного сечения, положение которого задано координатой . Угол поворота этого сечения равен углу закручивания участка вала, заключенному между этим сечением и жесткой заделкой, т.е.
.
Подставляя сюда выражение для и учитывая постоянство по длине участка, получим после интегрирования
.
Таким образом, – квадратичная функция координаты .
В крайних сечениях участка получим:
, ; , .
Подставляя сюда , получим
.
Участок I. Угол поворота произвольного сечения этого участка определяется как сумма угла закручивания сечения и угла поворота рассматриваемого сечения относительно сечения . Учитывая, что постоянен во всех сечениях первого участка, получим
.
Подставляя , в крайних сечениях участка получим
, ;
,
.
По этим данным строим эпюру (см. рис. 2.5, в), из которой определяем, что
.
Таким образом, условие жесткости удовлетворяется и необходимая жесткость вала обеспечена.
2.6. Для валов, расчетные схемы которых приведены на рис. 2.7, рассчитать необходимые величины диаметров сплошного кругового сечения, если , , , , .
2.7. Стержень круглого поперечного сечения запрессован в плиту и нагружен моментом (рис. 2.8). Определить наименьшее значение момента , при котором стержень будет проворачиваться, считая что запрессовка создает равномерно распределенный по длине момент сил трения , . Рассчитать угол поворота сечения при , если и известны.
Рис. 2.7
2.8. Бронзовая втулка насажена на стальной стержень с некоторым натягом (рис. 2.9). Определить наименьшее значение момента , который нужно приложить к трубке, чтобы провернуть ее относительно стержня. Построить эпюры крутящих моментов, возникающих в стержне и трубке при этом значении . Давление на поверхности контакта равномерное и равно , коэффициент трения ; ; ; ; ; .
Рис. 2.8 Рис. 2.9
2.9. При каком соотношении моментов и угол поворота сечения будет равно 0 (рис. 2.10).
Рис. 2.10 |
2.10. При каком соотношении между и угол поворота сечения вдвое больше угла поворота сечения (см. рис. 2.10). 2.11. Определить величину крутящего момента, при котором |
расчет вала сплошного кругового сечения из условия прочности даст тот же диаметр, что и расчет из условия жесткости. Найти величину этого диаметра , если , , .
2.12. Сравнить веса двух валов, размеры которых подобраны для одного и того же крутящего момента при одинаковых допускаемых напряжениях. Первый вал сплошной, второй трубчатый с отношением внутреннего диаметра к наружному равным . Длины валов одинаковы.
2.13. Чтобы уменьшить вес сплошного вала на 20 % заменили его трубчатым, наружный диаметр которого в два раза больше внутреннего. Чему будут равны наибольшие касательные напряжения в трубчатом вале, если в сплошном они были равны ?
2.14. Два вала, один из которых сплошной, а другой – трубчатый, имеют одинаковый вес и передают одинаковый крутящий момент. У которого из них наибольшие касательные напряжения будут больше и во сколько раз, если внутренний диаметр трубчатого вала составляет 0,6 его наружного диаметра?
2.15. Стальной вал сплошного кругового сечения передает мощность при частоте вращения . Подобрать диаметр вала, если , , а .
2.16. Определить отношение диаметров двух валов из одинакового материала, передающих одинаковую мощность, если один делает , а другой – .
2.17. Вал диаметром 90 мм передает мощность 900 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если допускаемое касательное напряжение .
2.18. Измерения, сделанные в процессе испытаний двигателя, показали, что вал диаметром и длиной закручивается на угол при частоте вращения . Определить мощность, передаваемую валом, если известно, что .