14. Скорость и расход газа при течении. Истечение из сужающихся сопел

Преобразование потенциальной энергии газа в кинетическую осуществляется в специально спрофилированных каналах, называемых соплами. Процесс в соплах происходит с понижением давления и увеличением скорости газа. При этом сопла для получения дозвуковой и в пределе звуковой скорости должны быть суживающимися. Впрочем, мы уже знаем, что один и тот же канал в зависимости от скорости газа на входе может работать и как сопло, и как диффузор. Поэтому мы будем рассматривать лишь сопла, считая, что те же рассуждения при определенных скоростях применимы и к диффузорам.

Скорость истечения газа через сопло при условии, что параметры газа на входе , , а на выходе и , может быть найдена в общем случае путем интегрирования уравнения .

Располагаемая работа газа где и - значения скорости газа в начале и в конце процесса.

Если пренебречь начальной скоростью газа, то скорость в конце истечения определяется по формуле .

Подставляя в эту формулу значение располагаемой работы при адиабатном течении газа, получим значение скорости при обратимом адиабатном расширении

, (14.1)

или, используя формулу

. (14.2)

Как видно из формул (14.1) и (14.2), скорость истечения определяется состоянием газа на входе в сопло и его конечным давлением на выходе или разностью энтальпий на входе и выходе из сопла .

При истечении газа в вакуум ( ) скорость истечения должна быть максимальной

. (14.3)

Расход газа через сопло может быть подсчитан по уравнению неразрывности , где - площадь выходного сечения сопла; - удельный объем газа в этом сечении.

Из уравнения адиабаты .

Расход газа через сопло после подстановки в него значения скорости истечения по формуле (14.1) и значения удельного объема

. (14.4)

Как видно из уравнения (14.4), расход газа зависит от площади выходного сечения сопла , параметров газа на входе , и давления в выходном сечении .

Теперь рассмотрим процесс истечения газа из суживающегося сопла, соединенного с газовым резервуаром большого объема. Обозначим параметры газа в резервуаре через , они не меняются с течением времени. Начальную скорость газа в резервуаре примем равной нулю .

Рис. 14.1. Истечение газа из суживающегося сопла

Параметры на выходе (срезе) сопла обозначим через . Давление внешней среды, куда происходит истечение обозначим через . При расчетном режиме истечения , т.е. давление на срезе сопла должно в процессе истечения равняться давлению окружающей среды.

Если в рассматриваемом случае истечение газа является обратимым и адиабатным, то из уравнений (14.1) и (14.4) следует, что

,

. (14.5)

Из этих формул видно, что при данном отношении давлений скорость истечения зависит только от начальной температуры данного газа, т.к. . Массовый расход газа в секунду определяется по формуле Сен-Венана и Вентцеля (15.5).

При истечении газа из резервуара можно получить максимальный расход газа. Его значение определится давлением на срезе сопла. Для определения максимального расхода возьмем первую производную от выражения, стоящего в квадратных скобках, и приравняем ее к нулю

, из последнего выражения

, или ,

откуда .

Это отношение давлений называется критическим, оно соответствует критическому давлению на срезе сопла (давление может изменяться только до этого предела)

(14.6)

зависит только от физических свойств газа, точнее от его показателя адиабаты

Г а з ы
одноатомный	0,485
двухатомный	0,528
многоатомный	0,546

Как видно, зависимость эта довольно слабая. Для разного рода оценочных расчетов можно в первом приближении пренебречь зависимостью от и считать . Встречаются и другие обозначения этого же параметра, например или . Подставляя в общую формулу секундного расхода значение , при котором расход будет ммаксимальным, получим

, или

.

Вынося за скобку выражение и произведя соответствующие преобразования, найдем

. (14.7)

Величине максимального расхода соответствует значение критической скорости , которая наступает только тогда, когда перепад давления будет равен .

Подставляя в формулу для скорости потока значение из формулы (6), получим

. (14.8)

Из приведенных формул следует, что параметры критического течения не являются постоянными величинами, а зависят от начального состояния газа. представляет собой максимальную скорость истечения газа через суживающееся сопло при определенных начальных параметрах газа и равна скорости звука в выходном сечении сопла, т.е. местной скорости звука. Этот термин объясняется тем, что скорость звука в газе будет различной для различных сечений сопла.

Заменим в уравнении (14.8) величины и через параметры газа в выходном сечении сопла и . Из уравнения адиабаты следует, что , заменяя здесь отношение в соответствии с уравнением (14.6), получаем .

Что же касается величины , то она выражается через с помощью того же уравнения (14.6):

.

Подставляя полученные значения и в уравнение (14.7), получаем:

.

При этом каждому сечению сопла должна соответствовать своя местная скорость звука, определяемая величинами и в данном сечении. Для выходного сечения сопла, когда , давление на срезе сопла должно быть равно критическому. В рассматриваемом случае скорость не может превысить критическую, которую нельзя увеличить ни при каком изменении перепада давления до и после сужения. Причем скорость газа, равная скорости звука, может иметь место только в минимальном (выходном) сечении сопла.

Используя формулы (14.5) и (14.6), получим

. (14.9)

Анализ характера зависимости расхода , даваемой уравнением (14.4), от величины отношения давления газа на выходе из сопла к давлению перед соплом показывает, что эта зависимость имеет параболический характер (кривая А-В-0) на рис. 14.2.

Рис. 14.2. Зависимость расхода от величины отношения давления газа на выходе из сопла к давлению перед соплом

Очевидно, что при , т.е. расход газа, равный нулю получается при . При понижении давления расход газа растет до какой-то максимальной величины при и . Насколько естественно увеличение расхода газа по правой ветви параболы А-В, настолько невероятно уменьшение его по левой ветви параболы В-0 при . Причем в точке 0, согласно формуле (14.4) при расход должен быть равным нулю. Опытами был установлен удивительный факт, что при дальнейшем понижении давления расход остается постоянным, равным максимальному (участок В-С). Для того, чтобы объяснить это расхождение теории с экспериментом, в 1839 г. Сен-Венаном была выдвинута гипотеза о том, что при расширении газа в суживающемся сопле невозможно получить давление газа ниже некоторого критического давления истечения , соответствующего максимальному расходу газа через сопло. Эта гипотеза оказалась правильной. При наличии критической скорости, равной скорости звука, никакое уменьшение внешнего давления внутрь сопла не передается, оно как бы сносится потоком газа, движущемся с той же скоростью, с какой распространяются возмущения, т.е. уменьшается давление. Странности в характере зависимости объясняются теорией Лапласа о том, что любое слабое возмущение распространяется в сжимаемой среде со звуковой скоростью. Если в некоторый момент времени давление газа за соплом несколько уменьшить, то волна разрежения распространится вдоль потока в направлении, противоположным направлению истечения потока; вдоль сопла установится новое распределение давлений (при том же ), и скорость истечения возрастет. Следует отметить, что волна разрежения будет распространяться вдоль сопла с относительной скоростью . В случае, когда давление равно и скорость истечения соответственно равна местной скорости звука, при дальнейшем снижении ниже волна разрежения не сможет распространиться вдоль сопла, т.к. ее относительная скорость будет равна нулю. Никакого перераспределения давлений вдоль сопла не произойдет, и, несмотря на то, что давление среды за соплом снизилось, скорость истечения останется прежней, равной местной скорости звука на выходе из сопла. По выражению О. Рейнольдса в этом случае поток «не знает» о том, что давление за соплом снизилось. Поэтому при расход газа через сопло сохраняется постоянным, равным .

При конструировании формы сопла, т.е. величины площади входного и выходного сечения, длины сопла и его профиля, давление на входе в сопло и в среде за соплом обычно бывают заданы заранее. Если величина расхода газа через сопло задается, то и подсчитывают с помощью соотношения . Скорость газа на выходе из сопла подсчитывают по уравнению (14.1) для случая .

Приступая к расчету истечения идеального газа из сопла при заданных значениях и , следует прежде всего сравнить отношение с величиной , определяемой уравнением (14.6).

Если , то и расчет истечения следует вести по уравнениям (14.1) и (14.4).

Если , то или , то , и для расчета следует применить уравнения (14.7) и (14.8). Сопло, предназначенное для реального процесса истечения, имеет длину, обусловленную входным и выходным сечениями и углом конусности; последний выбирается из условий минимальных потерь на трение. Истечение из отверстий в стенке резервуара высокого давления или насадков сопровождается значительными необратимыми потерями на трение, обусловленными завихрениями газового потока. А суживающееся сопло можно рассматривать как трубу, входной участок которой выполнен сглаженным, без острых кромок, а участок постоянного сечения сведен к минимуму.