- •Часть 1
- •О главление
- •Предисловие
- •После изучения дисциплины необходимо знать
- •После изучения дисциплины необходимо уметь
- •Содержание дисциплины
- •Самостоятельная работа студентов и контроль знаний студентов
- •После изучения главы необходимо знать
- •Простейшие интегралы
- •После изучения главы необходимо знать
- •2 Рис. 2.1 Рис. 2.1 .1. Кинематика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.3. Динамика материальной точки
- •Примеры решения задач
- •2.4. Законы сохранения
- •Примеры решения задач
- •2.5. Динамика абсолютно твердого тела
- •Примеры решения задач
- •2.6. Механика деформируемых тел
- •2.7. Механика жидкостей и газов
- •М етоды определения вязкости.
- •2.8. Неинерциальные системы отсчета
- •Пример решения задачи
- •2.9. Специальная теория относительности
- •Примеры решения задач
- •После изучения главы необходимо знать
- •3.1. Гармонические колебания
- •3.2. Свободные незатухающие механические колебания
- •С другой стороны, при малых углах
- •3.3. Затухающие механические колебания
- •3.4. Вынужденные механические колебания. Резонанс
- •3.5. Упругие волны
- •После изучения главы необходимо знать
- •4.1. Основные положения и определения
- •4.2. Уравнение состояния идеального газа
- •4.3. Внутренняя энергия и теплоемкость идеального газа
- •4.4. Кинетическая теория идеального газа
- •4.5. Реальные газы
- •Вопросы для самоконтроля к разделу 1: Элементы векторного анализа
- •К разделу 2: Физические основы механики
- •К разделу 3: Колебания и волны
- •К разделу 4: Молекулярная физика и термодинамика
- •Т олковый словарь
- •Инертность тел – свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивление изменению их скорости (как по модулю, так и по направлению).
- •Кинематика – раздел механики, изучающий движение тел без рассмотрения причин, которые это движение обуславливают.
- •З аключение
- •Б иблиографический список
- •Краткий курс физики
- •Часть 1
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
4.4. Кинетическая теория идеального газа
Основное уравнение кинетической теории идеального газа. С точки зрения молекулярно-кинетической теории, газ считается идеальным, если можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия его молекул (по сравнению с кинетической энергией) и размерами молекул (по сравнению со средним расстоянием между ними). Давление газа на стенку возникает в результате многочисленных упругих соударений молекул между собой и со стенками сосуда. (Удар можно считать в среднем упругим, так как газ находится со стенкой в тепловом равновесии). Вследствие беспорядочного движения молекул и равновероятности всех направлений можно считать, что всех молекул N в объеме V движется вдоль оси х, – вдоль оси у, – вдоль оси z. Основное уравнение кинетической теории идеального газа выражает давление через средний квадрат скорости молекул v2:
р = nv = nm0v2 = nпост = n ,
г
Число молекул ∆N, величину энергии ∆Е и т. д., которые переносятся через площадку ∆S за время ∆t, получают разбиением молекул на группы по скоростям в интервале значений от v до v + dv и по направлению в телесном угле dΩ (рис. 4.9).
П
Рис. 4.9
Рис. 4.9
dn(v, v + dv, dΩ) = dn (v, v + dv) .
Все молекулы в выделенном цилиндре попадут на площадку ∆S за время ∆t. Произведя последовательное интегрирование, можно получить соотношения для числа частиц и для величины энергии, которые переносятся через ∆S за время ∆t, соответственно:
и .
В кинетической теории газов доказывается, что если две подсистемы могут обмениваться энергией, то в состоянии равновесия оказываются равными средние кинетические энергии поступательного движения их молекул. Исходя из этого, кинетическая теория газов определяет температуру как величину, пропорциональную средней кинетической энергии поступательного движения молекулы:
пост = kT,
где k – постоянная Больцмана, которая выражается через универсальную газовую постоянную и число Авогадро. Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы уравнение состояния идеального газа
р = nkT = kT
совпадало с уравнением pV = RT.
Средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул вычисляется по формулам:
vквадр = ,
где = m0n – плотность газа.
Степени свободы молекул. Важной характеристикой идеального газа является число степеней свободы его молекул i. У одноатомной молекулы есть только три степени свободы, соответствующие поступательному движению: i = i = 3. У жесткой двухатомной молекулы, кроме поступательных, есть еще две вращательные степени свободы (полярные углы, задающие ее направление в пространстве): i = i + i = 3 + 2 = 5. У жесткой многоатомной (нелинейной) молекулы – три вращательные степени свободы, поэтому i = 6. В классической статической физике доказывается теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы: на любую степень свободы, которой в выражении для энергии молекулы соответствует член х2 или , приходится средняя энергия kT в расчете на одну молекулу. Средняя энергия одной молекулы и внутренняя энергия всего газа принимают вид:
= iфkT, U = N = iфRT.
Физическое число степеней свободы iф в случае жестких молекул совпадает с математическим i. Однако, когда оказываются возбужденными колебательные степени свободы (при Т ~ 10³ К), то на каждую колебательную степень свободы будет приходиться (с учетом потенциальной энергии колебаний) средняя энергия kT. В результате получим
iф = iпост + iвращ + 2iкол,
где iкол обозначает математическое число колебательных степеней свободы. Для N – атомной молекулы iкол = 3N – ( iпост + iвращ ).
С учетом степеней свободы получим выражения для теплоемкостей идеального газа и его показателя адиабаты:
C = , C = , = .
Закон Дальтона гласит, что давление смеси (двух) идеальных газов равно сумме их парциальных давлений (давление, которое имел бы газ смеси, если бы он один занимал объем смеси):
р = р1 + р2 = (n1 + n2)kT = (1 + 2)RT.
Внутренняя энергия смеси равна сумме внутренних энергий:
U = RT + RT.
Эта формула позволяет вывести следующие соотношения:
- эффективное число степеней свободы: i (1 + 2) = i11 + i22,
- эффективные молярные теплоемкости:(1+ 2)C = 1C + 2C ,
- эффективную молярную массу: (1 + 2) = 11 + 22.
Распределение Максвелла. Распределение молекул по скоростям описывается следующими функциями:
(v )dv = , (v)dv = ,
(v)dv dv dv = .
Определение любой функции распределения основано на утверждении, что доля молекул, попадающих (в среднем) в очень маленький интервал данной переменной (скорости, проекции скорости, энергии), пропорциональна ширине этого интервала (dv обозначает физически, а не математически, бесконечно малый интервал – он должен содержать большое число молекул). Средняя доля молекул, обладающих некоторым признаком (например, попадающих в заданный интервал скоростей), можно трактовать как вероятность того, что произвольная молекула обладает признаком. Поэтому функцию распределения иногда называют плотностью вероятности.
Перечислим свойства функции распределения (на примере (v)):
Доля частиц (вероятность) в конечном интервале (v1, v2):
.
Нормированность:
.
Вычисление среднего от любой функции скорости (v):
(v) = .
Между тремя функциями распределения существует следующие связи:
(v) = (v)4v2,
Функция является четной функцией, то есть можно написать: = (v ).
Функция ( ) зависит только от v2 = vx2 + vy2 + vz2. Связь между и удовлетворяется только функцией . Коэффициенты А и определяются из двух условий а) нормировки функции , б) требования, чтобы vx2 = , v2 = . Ответ выглядит так:
=
(v) = 4v2.
Обычно именно последнюю формулу называют распределением Максвелла (рис. 4.10).
Ф
Рис. 4.10
(vE) = 4e .
Например, при увеличении Т в 4 раза максимальная скорость станет в 2 раза больше, а соответствующее значение функции (vE) – в 2 раза меньше, но площадь под кривой, в данном случае равная единице, не изменится.
Средняя (или среднеарифметическая) скорость молекул вычисляется в соответствии с правилом:
v = .
Распределение молекул по энергиям поступательного движения имеет вид:
()d = .
Распределение Больцмана. Если газ находится во внешнем силовом поле, то концентрация молекул зависит от координат. Из условия механического равновесия газа можно получить:
n( ) = n( 0) exp ,
где ( ) – потенциальная энергия молекулы во внешнем поле (распределение Больцмана). Частным случаем распределения Больцмана является барометрическая формула:
n(h) = n0exp(- , p(h) = n(h)kT = p0exp(- .
Распределение Максвелла-Больцмана. Распределение Максвелла и распределение Больцмана содержат выражение exp(- ). Распределение Максвелла-Больцмана выражает вероятность того, что произвольная молекула из объема содержащего N молекул, находится в области пространства (x, x + dx; y, y + dy; z, z + dz) и имеет скорость в интервале (vx, vx+ d vx; vy, vy + dvy; vz, vz + dvz):
= dn( ) .
Здесь d³ = dxdydz, d³ = dvxdvydvz, = + ( ) – механическая энергия молекулы, А – коэффициент, который можно найти из условия нормировки. Общее распределение Максвелла-Больцмана применимо к любым видам энергии молекулы: энергии вращения, энергии колебаний, потенциальной энергии, зависящей от ориентации молекул, и так далее.