4.3. Расчет рамы

4.3.1 Основные понятия и зависимости [1]

Рамой называют стержневую систему с жесткими узлами, элементы которой работают в основном на изгиб. Рама называется плоской, если оси всех составляющих ее элементов и действующие на них нагрузки лежат в одной плоскости.

В общем случае в поперечном сечении плоской рамы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила , изгибающий момент и нормальная сила N. Их определяют методом сечений. Нормальная сила N в произвольном сечении какого-либо из стержней рамы численно равна алгебраической сумме проекций на ось этого стержня всех внешних сил, приложенных к раме по одну сторону от рассматриваемого сечения. Растягивающая внешняя сила вызывает положительную нормальную силу.

Численные значения поперечной силы и изгибающего момента для рамы находят также, как и для балки, причем для них сохраняется и правила знаков, и дифференциальные зависимости (4.3), и вытекающие из них следствия. При определении внутренних силовых факторов для рамы выбирают направление обхода. Раму обходят, находясь либо внутри контура рамы, либо вне его.

Построение эпюр N, и начинают с определения реакции опор, за исключением рам, имеющих консольные крепления. В этих рамах внутренние силовые факторы можно определить двигаясь от свободного конца. При построении эпюры изгибающих моментов ординаты эпюры откладывают со стороны сжатых волокон. Построив эпюры N, и , выявляют опасное с точки зрения прочности сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по абсолютной величине значения. Проектный расчет на прочность для рамы проводят также, как и для балки, используя условия прочности (4.4). Подобранное сечение в случае необходимости проверяют на прочность исходя из условия прочности:

, (4.5)

где - нормальная сила, определенная из эпюры нормальных сил для опасного сечении; - площадь поперечного сечения.

4.3.2. Задача. Расчет на прочность статически определимой рамы

Для заданной рамы (рис. 4.9, а) построить эпюры нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты этих эпюр. Принять м,

кН/м, , , , , .

Из условия прочности подобрать размеры коробчатого сечения приняв , . Материал рамы – Ст. 3, предел текучести МПа, а коэффициент запаса прочности .

X

а

б в

Рис.4.9 (начало)

г

Рис. 4.9 (окончание)

Решение.

Рама работает в основном на изгиб. По условию задачи требуется выполнить проектный расчет на прочность. Из условия прочности (4.4) проектный расчет проводится по соотношению:

.

Для определения изгибающего момента в опасном сечении рамы (т.е. наибольшего по абсолютной величине значения изгибающего момента) нужно построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента , а для выполнения проверочного расчета по условию (4.5) еще и эпюру нормальной силы .

1. Определение реакций опор.

Для определения трех реакций опор H, R_A и R_B можно составить три уравнения равновесия. Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось X:

P – H = 0, откуда H = Р = qa = 10 кН.

Уравнение моментов всех сил относительно точки B:

R_Aa₂ – m – qa₂a₂/2 – Pa₁ = 0 , откуда

кН.

Уравнение моментов всех сил относительно точки А:

R_Ba₂ – Pa₃ – m – qa₂ a₂ / 2 = 0, откуда

кН .

Все три реакции получились положительными. Это означает, что их действительное направление совпадает с выбранным. Для проверки правильности определения реакций R_A и R_B спроектируем все силы на ось Y:

- R_B –qa₂ + R_A = 0, - 10 – 10 + 20 = 0.

Уравнение удовлетворяется тождественно, значит реакции определены верно.

2. Построение эпюр нормальных сил N, поперечных сил Q _y и изгибающих моментов М _х. Разбиваем раму на три участка (см. рис. 4.9, а). Положение произвольного поперечного сечения на участках характеризуется координатами z₁, z₂ и z₃. Выбираем направление обхода ( показываем стрелками) и записываем выражения для N, Q _y и М _х по участкам.

Участок 1:

Участок 2:

Q - линейная функция z₂. Определим значения поперечной силы на границах участка: Z₂=0, Q

Изгибающий момент является квадратичной функцией z₂. Для построения параболы необходимо определить как минимум три значения , два из которых определяем на границах участка:

Z₂=0, M = - m = - qa = - 10 кНм;

Z₂ = a, M = R₂a₂ - m – q a / 2 = 20 – 10 – 5 = 5 кНм.

Так как на втором участке Q не меняет знак, то эпюра не имеет экстремума. Третье значение изгибающего момента определим посредине участка: Z₂ = a₂ / 2,

- 1.25 кНм .

Участок 3:

- линейная функция z₃;

z₃=0, M z₃=a₁, = Ha₁=10 5 кНм.

Строим эпюры N, Q _y и M _x, используя в качестве нулевых линий оси стержней рамы. Положительные значения N и Q _y откладываем выше нулевой линии, отрицательные – ниже. Ординаты эпюры изгибающих моментов откладываем со стороны сжатого волокна. Изгибающий момент в опасном сечении M _x =10 кНм ( см. рис. 4.9 б, в, г ).

3.Подбор размеров поперечного сечения рамы.

Подбор сечения рамы ведем из условия прочности (4.4). В соответствии с этим условием расчетный осевой момент сопротивления

см³.

Для коробчатого сечения осевой момент сопротивления

=

Учитывая, что h = 2b и t = 0.2b, получим

Приравняв осевой момент сопротивления коробчатого сечения расчетному значению W _x, получим :

, b= см,

h=2b=2 cм , t=0,2b=1,04 см.

Площадь коробчатого сечения

F ^К bh -( b - 2t )( h - 2t )= =10,4 см².

В данном случае нет смысла проводить дополнительную проверку условия прочности (4.5), так как в сечении с максимальным изгибающим моментом нормальная сила N = 0.

4.4. Расчет кривого бруса малой кривизны

4.4.1 . Основные понятия и зависимости [1]

Кривым называют брус с изогнутой осью. Брус, у которого отношение высоты сечения в плоскости кривизны к радиусу кривизны его оси 0,2, называют брусом малой кривизны. Кривой брус, ось которого является дугой окружности, называют круговым. В дальнейшем рассматривается круговой брус, у которого геометрическая ось – плоская кривая, а действующие на него нагрузки лежат в плоскости его кривизны, которая является плоскостью симметрии. В общем случае в поперечном сечении кривого бруса возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. Их определяют методом сечений.

Нормальная сила N определяется как алгебраическая сумма проекций на касательную к геометрической оси бруса в рассматриваемом сечении всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Поперечная сила Q определяется как алгебраическая сумма проекций на направление радиуса кривизны рассматриваемого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения.

Изгибающий момент M определяется как алгебраическая сумма моментов относительно центра тяжести рассматриваемого сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от сечения. Для кривого бруса радиуса R при отсутствии распределенных нагрузок справедливы дифференциальные зависимости:

dN / dφ = Q, dQ / dφ = - N; (dM / dφ)(1/R) = - Q, (4.6)

где φ – полярная координата.

Правило знаков для продольной и поперечной сил остаются такими же, как и для рамы. Для изгибающих моментов принято следующее правило знаков. Внешний момент, увеличивающий кривизну бруса, дает положительный изгибающий момент и наоборот.

При определении внутренних силовых факторов в кривом брусе удобнее пользоваться фиксированной системой координат (полярной) . Отсчет угла φ целесообразнее вести от горизонтального или вертикального радиуса.

Построение эпюр N, Q и М для кривого бруса начинают с определения реакций опор, за исключением брусьев, имеющих жесткую заделку с одной стороны и свободный второй торец. В этих брусьях можно определить внутренние силовые факторы двигаясь от свободного торца. Построив эпюры N, Q и М, выявляют опасное, с точки зрения прочности, сечение, в котором возникает наибольший (по модулю) изгибающий момент. Для бруса малой кривизны проектный расчет на прочность проводят, используя условие прочности в виде аналогичном (4.4):

. (4.7)

Подобранное сечение проверяют на прочность исходя из условия

M / W_x + N / F , (4.8)

где N – нормальная сила, установленная из эпюры нормальных сил для опасного сечения.

4.4.2. Задача. Расчет на прочность статически определимого плоского кривого бруса малой кривизны

Для заданного кривого бруса (рис. 4.10) построить эпюры нормальных сил, поперечных сил, и изгибающих моментов. Вычислить все характерные ординаты для этих эпюр. Принять

а = 1 м, q = 10 кН/м, R = 1 м, Р =qа, m = qaR = PR, φ₁ = 30 ^º. Из условия прочности подобрать размеры D и d трубчатого сечения. Принять d/D = 0,6 материал – сталь Ст. 3, предел текучести МПа, а коэффициент запаса прочности n = 1,5.

m

P

h

P

R

30°

Р

а

Y

d

X

D

б

Рис.4.10

Решение

1. Определение реакций опор.

Так как рассматриваемый брус имеет свободный от закрепления торец, то реакции опор не определяем.

2. Построение эпюр нормальных сил, поперечных сил и изгибающих моментов.

Разбиваем брус на участки. Границами участков служат сечения, в которых приложены сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты. В нашем случае участков будет два. Положение сечения на каждом из участков будем определять полярным углом φ отсчитывая его от горизонтального радиуса.

Участок1: 30^º≤φ≤90^º,

Так как N, Q и М описаны на первом участке нелинейными функциями, то для построения эпюр нужно определить несколько значений внутренних силовых факторов.

Определим значения N, Q и М на границах участка, посредине его и в сечении, в котором внутренний силовой фактор или равен нулю, или принимает экстремальное значение. Расчет удобно представлять в таблице. Значения N, Q и М для отдельных сечений первого участка представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

φ,º N, кН Q, кН М, кНм

30 0,5Р = 5 -0,866Р = -8,66 0 60 0,866Р = 8,66 -0,5Р = -5 -0,366РR = -3,66 90 Р = 10 0 -0,5РR = -5

Участок2: 90^º ≤ φ ≤180^º.

Так как сосредоточенных сил на втором участке не добавилось, то N и Q будут описываться теми же зависимостями, что и на первом участке, а в уравнении для изгибающего момента следует учесть сосредоточенный момент m:

Расчет значений внутренних силовых факторов на втором участке представлен в табл. 4.3.

Таблица 4.3

φ,º N, кН Q, кН М, кНм

90 Р = 10 0 0,5РR =5 135 0,707Р = 7,07 0,707Р =7,07 0,795РR = 7,95 180 0 Р = 10 1,5РR =15

По установленным значениям внутренних силовых факторов строим эпюры N, Q и М (рис.4.11). Условимся на эпюрах положительные значения N, Q и М откладывать перпендикулярно оси бруса в сторону от центра его кривизны, а отрицательные – к центру кривизны.

Изгибающий момент в опасном сечении М = 15 кН м

3. Подбор размеров сечения.

Подбор сечения кривого бруса производим из условия прочности (4.7). Согласно этому условию расчетный осевой момент сопротивления

см³.

Для кольца осевой момент сопротивления

W_x , откуда

см.

Принимаем D = 105 мм, тогда d = 0,6D =63 мм.

Так как в опасном сечении N = 0, то дополнительную проверку на прочность не производим.

а

10 б

в

Рис. 4.11