- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова основы численных методов Учебное пособие
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Действия над приближенными числами
- •1.1. Основные источники погрешностей
- •1.2. Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешности
- •1.3. Правила записи приближенных чисел
- •Решение. В нашем случае и . Следовательно,
- •Решение. Имеем .
- •2. Интерполирование функции
- •2.1. Постановка задачи интерполирования
- •2.2. Вычисление значений многочлена по схеме Горнера
- •2.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Сопоставление интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции
- •2.6. Интерполирование функции кубическими сплайнами
- •Методы численного решения систем
- •3.1. Метод Гаусса
- •3.2. Метод итерации
- •3.3. Метод Зейделя
- •4. Методы численного решения
- •4.1. Отделение корней
- •Метод половинного деления
- •4.3. Метод хорд
- •4.4. Метод Ньютона
- •Комбинированный метод
- •4.6. Метод итерации
- •4.7. Метод Ньютона для системы двух уравнений
- •Метод итерации для системы двух уравнений
- •5. Численное дифференцирование
- •5.1. Постановка вопроса
- •5.2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона
- •5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
- •6. Среднеквадратичное приближение функций
- •6.1. Метод наименьших квадратов
- •7. Численное интегрирование
- •Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •8.1. Понятие о численном решении задачи Коши
- •8.2. Метод Эйлера
- •8.3. Методы Рунге-Кутта
- •8.4. Численные решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
- •9. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных
- •Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
- •Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток
- •9.3. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности типа методом
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •1. Действия над приближенными числами ..……………...4
- •2. Интерполирование функций ……………………….…... 9
- •3. Методы численного решения систем линейных
- •4. Методы численного решения нелинейных уравнений
- •10. Библиографический список …….…….……..……… 110
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.3. Конечно-разностные аппроксимации производных
Пусть отрезок разбит на ( ) равных частей точками : .
Разность между соседними значениями аргумента постоянна, т.е. шаг , ( ). Далее, пусть на отрезке определена функция , значения которой в точках равны ( ).
Запишем выражения для первой производной функции в точке с помощью отношения конечных разностей:
а) аппроксимация с помощью разностей вперед (правых разностей)
, ,
( ); (5.7)
б) аппроксимация с помощью разностей назад (левых разностей)
, ,
( ) ; (5.8)
в) аппроксимация с помощью центральных разностей
(точка является центром системы точек , , )
, ,
( ). (5.9)
Аппроксимация производной с помощью центральных разностей представляет собой среднее арифметическое соотношений (5.7) и (5.8) в точках ( ).
Отметим, что соотношения (5.7) и (5.9) не позволяют вычислить производную в точке , а (5.8) и (5.9) - в точке .
Можно показать, что для функции , имеющей непрерывную производную до второго порядка включительно, погрешность аппроксимации производных разностями вперед и назад имеет один и тот же порядок , а погрешность аппроксимации центральными разностями (5.9) для функции , имеющей непрерывную производную до третьего порядка включительно, имеет порядок .
Приближенное значение производной второго порядка в точке выразим через значения функции , , . Для этого представим вторую производную с помощью правой разности:
, ,
а производные первого порядка и - с помощью левых разностей:
и окончательно получим
(5.10)
Погрешность последней аппроксимации имеет порядок для функции , имеющей непрерывную производную до четвертого порядка включительно на отрезке . Естественно, что представление (5.10) с помощью конечных разностей позволяет вычислять значения второй производной только во внутренних точках отрезка.
6. Среднеквадратичное приближение функций
Пусть для неизвестной функции в точках экспериментальным путем получены значения . Интерполяция позволяет аппроксимировать таблично заданную функцию с помощью более простой функции . При этом требуется выполнение в узлах интерполяции равенства ( ). В ряде случаев выполнение этого условия затруднительно или даже не целесообразно. При большом числе узлов интерполяции степень интерполирующего многочлена получается высокой. Поэтому точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка несколько шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. В практических приложениях желательно иметь единую приближенную формулу ( ), пригодную для большего отрезка . При этом точность приближения может оцениваться по разному. В основу обычно берется рассмотренное отклонение
( ).
Если требуется малая величина отклонения одной функции от другой во всех точках отрезка, то за меру близости принимают их максимальное отклонение
( ),
требуя, чтобы оно было меньше заданного . В этом случае близость между функциями и называется равномерной.
Часто вместо равномерной близости рассматривают их близость “в среднем”. В качестве меры близости берут среднее квадратическое отклонение
.
Требование прохождение графика аппроксимирующей функции через все заданные точки не всегда разумно по крайне мере по двум причинам:
1. Если узлов интерполяции много ( велико), то с аппроксимацией трудно обращаться как при ручном счете, так и при машинном.
2. Часто табличные значения ( ) находят из опыта и содержат ошибки измерений. Построение интерполирующего многочлена в этом случае означало бы сознательное повторение допущенных при измерениях ошибок. В этом случае достаточно потребовать, чтобы график функции отклонялся от точек ( ) по ординате на величину, не превышающую погрешность измерений.
В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции многочленом , который имеет не слишком высокую степень и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации.