- •М.Е. Семенов, н.Н. Некрасова математическое моделирование физических процессов
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие принципы математического моделирования
- •1.1. Математическое моделирование на основе фундаментальных законов природы
- •1.2. Вариационные принципы и математические модели
- •Контрольные вопросы и задания
- •Классификация уравнений математической физики как моделей атмосферных процессов. Уравнение волновых движений
- •2.1. Понятие об общем решении уравнений в частных производных
- •2.2. Классификация уравнений
- •2.3. Волновые уравнения
- •Продольные колебания стержня
- •Контрольные вопросы и задания
- •Методы решения волновых уравнений
- •3.1. Метод Даламбера
- •3.2. Собственные колебания
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.3. Метод Фурье
- •Контрольные вопросы и задания
- •Уравнение теплопроводности
- •4.1. Вывод уравнения теплопроводности. Первая краевая задача
- •4.2. Решение уравнения теплопроводности методом Фурье
- •4.3. Охлаждение бесконечного стержня
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Хаос в дискретных моделях
- •5.1. Одномерные отображения
- •5.2. Теорема Шарковского
- •5.3. Двумерные отображения, сохраняющие площадь
- •Контрольные вопросы и задания
- •Система лоренца
- •Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое
- •6.2. Вывод уравнений Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Динамика системы лоренца
- •Результаты численного моделирования уравнений Лоренца
- •7.2. Ограниченность и диссипативность системы Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Неподвижные точки. Устойчивость. Бифуркация
- •. Неподвижные точки
- •Устойчивость неподвижных точек
- •Бифуркации в системе Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Обобщенные размерности
- •9.1. Информационные размерности
- •Величину d1 называют информационной размерностью.
- •9.2. Корреляционная размерность
- •Контрольные вопросы и задания
- •Обработка реализаций. Характеристики хаотической динамики
- •10.1. Реконструкция фазового пространства. Оценка корреляционной размерности по наблюдаемой
- •10.2. Вычисление ляпуновских показателей
- •Контрольные вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Контрольные вопросы и задания
6.1. Может ли возникать хаос в реалистических моделях?
6.2. Что представляет собой модель Лоренца?
6.3. В каких задачах возможно применение системы уравнений Лоренца?
6.4. Что называют числом Прандтля и числом Рэлея?
Динамика системы лоренца
Система трех нелинейных уравнений первого порядка
(7.1)
описывает динамику нескольких физических систем – конвекцию в слое, конвекцию в кольцевой трубке и др. Ее называют моделью Лоренца по имени исследователя, обнаружившего в численных расчетах возможность хаотического поведения, а также глубоко и проницательно интерпретировавшего наблюдаемый режим непериодических колебаний. Данный раздел посвящен обсуждению динамики модели Лоренца.
Результаты численного моделирования уравнений Лоренца
Если взять выбранные Лоренцем в исходной работе значения параметров σ = 10, b = 8/3, r = 28 и провести численное решение уравнений (7.1) на компьютере, то обнаруживается, что в системе устанавливается хаотический автоколебательный режим. На рис. 7.1 приводятся зависимости динамических переменных х, у, z от времени. Показанную на верхней диаграмме зависимость х(t) можно интерпретировать наглядно, имея в виду модель водяного колеса. Именно участки процесса, отвечающие осцилляциям в области х > 0, отвечают вращению колеса в одну сторону, а участки х < 0 – в другую. Видно, что направление вращения время от времени меняется на противоположное, причем число оборотов (осцилляций) в определенном направлении от раза к разу меняется хаотически.
Рис. 7.1. Зависимости динамических переменных х, у, z от времени,
полученные численным интегрированием уравнений
Лоренца при σ = 10, b = 8/3, r = 28
На рис. 7.2 показан фазовый портрет системы Лоренца. Как можно видеть, фазовая траектория вырисовывает в пространстве состояний (х, у, z) некий объект сложной структуры, который похож на моток ниток, причем не перепутанных, а аккуратно уложенных одна вдоль другой. Это образование называют странным аттрактором или, в контексте данной конкретной системы, аттрактором Лоренца.
Рис. 7.2. Фазовый портрет аттрактора Лоренца для «классического»
набора параметров: σ = 10, b = 8/3, r = 28
Как можно проверить, при указанных «классических» значениях параметров σ, b, r один и тот же установившийся режим (по крайней мере, в смысле усредненных статистических характеристик и в смысле стационарности внешнего вида аттрактора) возникает в системе Лоренца независимо от выбора начальных условий.
В своей работе Лоренц вскрывает динамическую природу наблюдаемого хаотического поведения при помощи замечательно простого и эффектного приема. Рассмотрим зависимость переменной z от времени и занумеруем ее максимумы в порядке следования во времени. Далее обработаем результаты численного решения уравнений, построив график зависимости величины очередного максимума от предыдущего, (рис. 7.3, а).
Совсем не очевидно, что эта процедура приведет к какому-то разумному результату, но это так! Оказывается, что точки хорошо ложатся на определенную кривую с острой вершиной. Но тогда мы можем заменить исследование динамики исходных уравнений Лоренца гораздо более простой задачей – анализом динамики одномерного отображения !
Это отображение очень похоже на отображение «тент» (рис. 7.3, б), которое демонстрирует хаотическую динамику и для которого множество возможных траекторий допускает кодирование всевозможными последовательностями двух символов.
Можно показать, что такими же свойствами обладает и отображение . Это веский довод в пользу динамической природы хаоса, наблюдаемого в модели Лоренца. Оговоримся, однако, что отсюда еще довольно далеко до строгого математического доказательства, поскольку связь между исходной системой и одномерным отображением более тонка, чем это может показаться на первый взгляд.
Рис. 7.3. Отображение, полученное численно для системы Лоренца (а),
и показанное для сравнения отображение «тент» (б)
К диаграмме рис. 7.3 можно прийти из следующих рассуждений. Условие появления экстремума переменной z(t) отвечает равенству нулю ее производной, которая, согласно третьему уравнению (7.1), равна ху – bz. Уравнение ху – bz = 0 определяет в фазовом пространстве некоторую поверхность Н (гиперболический параболоид). Выделим на этой поверхности область H такую, что выполняется дополнительное условие наличия именно максимума: . Поток фазовых траекторий системы Лоренца задает на этой части поверхности отображение Пуанкаре. Выпустив траекторию из произвольной точки А области дождемся ее следующего пересечения с – это и будет образ точки А. Говоря формально, отображение Пуанкаре двумерное и к одномерному отнюдь не сводится. Более тщательный анализ показывает, однако, что точки на графике в действительности не ложатся на определенную кривую, а имеют некоторый разброс, связанный с присущей аттрактору Лоренца фрактальной поперечной структурой.