- •Часть 2
- •Справочный материал и принципы решения задач Занятие № 6. Законы распределения и числовые характеристики случайных величин
- •Примеры дискретных распределений
- •Примеры непрерывных распределений
- •Примеры для самостоятельного решения.
- •Занятие № 7. Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин, принимающих целочисленные значения методом производящей функции. Распределение Пуассона. Нормальное распределение.
- •Простейшие свойства интеграла вероятностей
- •Занятия № 8-10. Многомерные случайные величины (случайные векторы).
- •Свойства функции и плотности распределения вероятности
- •Теорема умножения плотностей
- •Занятие № 11-12. Функции случайных величин
- •Примеры для самостоятельного решения.
- •Занятие № 13. Центральная предельная теорема и следствия из нее. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
- •Теорема Чебышева
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Занятия № 8-10. Многомерные случайные величины (случайные векторы).
Вектор , координаты которого есть случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называется случайным вектором, а функция называется функцией распределения
случайного вектора или двумерной случайной величины .
Если координаты вектора дискретные случайные величины, то называют дискретным случайным вектором.
Законом распределения дискретного случайного вектора называется перечень всех возможных значений пар компонент {(xi,yj)|(xi,yj) G(x,y)} и соответствующих каждой паре вероятностей pij=P(X=xi,Y=уj), удовлетворяющих условию где суммирование распространяется на все возможные значения индексов i и j.
Закон распределения двумерного случайного вектора часто задается таблицей вида
X Y |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
y1 |
p11 |
p21 |
… |
pi1 |
… |
y2 |
p12 |
p22 |
… |
pi2 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
yj |
p1j |
p2j |
… |
pij |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Зная закон распределения двумерного случайного вектора, можно получить закон распределения его компонент
, и ФР ,
где множество индексов U определяется следующим образом:
U={(i,j)|(X<xi, Y<yj)}.
Если функцию распределения вероятности вектора можно представить в виде , то случайную величину называют непрерывной двумерной случайной величиной, а – ее плотностью распределения вероятности.
Всюду в дальнейшем будем считать, что – непрерывная функция по обоим аргументам.
Свойства функции и плотности распределения вероятности
1) .
2) .
3) 0.
4) .
5) , , где и – функции распределения случайных величин и .
6) .
7) .
8) .
9) .
10) , ,
где и – плотности распределения случайных величин и .
Условной плотностью распределения случайной величины при условии называют отношение плотности совместного распределения системы ( , ) к плотности распределения составляющей :
Аналогично определяют
Теорема умножения плотностей
.
Случайные величины и называются независимыми, если для любых чисел x,y случайные события и независимы.
Случайные события независимы, если выполняется любое из условий:
1)
2) .
3) или .
Условным математическим ожиданием называют выражение
для дискретного случайного вектора
для непрерывного случайного вектора.
Величина называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин и .
Если – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то
,
где .
Для дискретного случайного вектора
.
Величина называется коэффициентом корреляции случайных величин и .
Если , то случайные величины и называются некоррелированными.
Свойства корреляционного момента и коэффициента
корреляции
1) .
2) Если и независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.
3) Если , то
4) .
5) .
6) .
7) .
Свойства математического ожидания и дисперсии
случайного вектора
1) , где – постоянная.
2) .
3) .
4) .
Если , то .
Случайная величина называется неотрицательной , если она принимает только неотрицательные значения.
5) Если , .
6) , где С – постоянная.
7) .
8) .
Если , то .
9) . С – постоянная.
10) .
11) .
Двумерная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения
.
Здесь , , , ,
– коэффициент корреляции случайных величин и . Для нормальной случайной величины понятия независимости и некоррелируемости эквивалентны.
Двумерная случайная величина распределена равномерно в области , если ее плотность распределения
Здесь – площадь области .
Пример 1. Дискретная двумерная случайная величина распределена по закону, приведенному в таблице
-
–1
0
2
–1
0,2
0,1
0,3
1
0,1
0,1
0,2
Определить:
1) Законы распределения составляющих и ;
2) Условный закон распределения случайной величины при условии, что ;
3) ;
4) Коэффициент корреляции .
Решение. Имеем
|
–1 |
1 |
|
0,6 |
0,4 |
|
–1 |
0 |
2 |
|
0,3 |
0,2 |
0,5 |
, ,
- ,
.
|
–1 |
1 |
|
2/3 |
|
.
.
Сравнивая (*) и (**), видим, что зависимые случайные величины:
;
+ =
= .
.
Пример 2. Двумерная случайная величина имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области АВС, то есть
Найти постоянную , одномерные плотности , случайных величин и , коэффициент корреляции , условную плотность и условное математическое ожидание .
т. , т. , т. .
1) Постоянную найдем из условия нормировки
, ,
где – площадь треугольника . Обозначим область, ограниченную треугольником через . Тогда
2) Уравнение прямой . Тогда область можно задать аналитически следующим образом:
или .
3)
.
.
.
.
4) .
.
5)
.
Пример 3. Случайная точка распределена равномерно внутри круга радиуса . Найти математическое ожидание случайной величины .
Решение. Плотность распределения вероятности
=
=
.
Пример 4. Пара случайных величин и имеет совместное нормальное распределение с вектором математических ожиданий и ковариационной матрицей
.
Известно, что . Найти .
Решение. Совместная нормальность пары случайных величин и обеспечивает нормальность каждой из них и любой их линейной комбинации, в частности величина нормальна с параметрами
, .
Подставляя в последнее соотношение элементы ковариационной матрицы:
получим , , ,
.
По условию , откуда, используя нормальность ,
.
Искомые дисперсии равны, соответственно,
, .
Пример 5. Случайный вектор имеет вектор математических ожиданий и корреляционную матрицу
. , .
Вычислить вектор математических ожиданий случайного вектора и корреляционную матрицу вектора .
Решение. .
. .
.
.
=
.
Ответ: , .
Примеры для самостоятельного решения
1. Дискретные случайные величины и независимы и имеют распределения:
У |
4 |
5 |
|
0,4 |
0,6 |
|
2 |
3 |
|
0,3 |
0,7 |
Найдите закон распределения случайной величины и ее математическое ожидание.
2. Случайные величины и независимы и каждая имеет показательный закон распределения с плотностью распределения при и при . Найдите плотность вероятности суммы этих величин.
3. Найдите математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины , если , , , , а случайные величины и независимы.
4. Случайные величины и независимы и обе равномерно распределены на отрезке [0, 2]. Найдите функцию плотности вероятности случайной величины .
5. Пусть и - независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие показательное распределение с параметром . Найти распределение случайной величины .
6. Случайные величины и независимы и каждая равномерно распределена на (0, 1). Найдите плотность вероятности случайной величины .
7. Каждая из случайных величин и равномерно распределена в интервале . Полагая величины и независимыми, найдите функцию распределения, математическое ожидание и дисперсию для каждой из величин и .
8. Закон распределения двумерной случайной величины задан таблицей
|
1 |
2 |
4 |
|
0,2 0,05 |
0,3 0,15 |
0,1 0,2 |
Найдите: а) безусловные законы распределения величин и ; б) закон распределения при условии, что .
9. Равновозможны все положения случайной точки в треугольнике с вершинами и . Найти коэффициент корреляции случайных величин и . Найти линию регрессии на .
10. В примере №8 найдите корреляции между и .
11. По известной функции плотности вероятности случайной величины найдите функцию плотности вероятности случайной величины.
12. Система случайных величин имеет функцию плотности вероятности Найдите плотность распределения двумерной случайной величины , если , , , .
Ответы
|
6 |
7 |
8 |
|
|
0,12 |
0,46 |
0,42 |
, ; |
2. при и при ;
3. , ;
4. при , при , при остальных ; 5. ;
6. при , при , при ; 7. при , при , при , , ,
при , при ,
при , , ;
8.
а |
|
1 |
2 |
4 |
, |
|
1 |
3 |
; б |
|
1 |
2 |
4 |
|
0,25 |
0,45 |
0,3 |
|
0,6 |
0,4 |
|
1/3 |
1/2 |
1/6 |
9. , ; 10. ;
11. при , при и ;
12. при , и при остальных и .