- •Фгбоу впо «Воронежский государственный технический университет» г.Е. Шунин с.А. Кострюков в.В. Пешков
- •Воронеж 2014
- • Шунин г.Е., Кострюков с.А., Пешков в.В., 2014
- •1 Современное состояние разработок сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.1 Основные типы сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •1.2 Методы расчёта и компьютерного моделирования сверхпроводящих подвесов
- •1.3 Компьютерные системы конечно-элементного анализа
- •2 Основные положения метода
- •2.1 Сущность метода конечных элементов
- •2.2 Вариационные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.3 Проекционные методы дискретизации
- •Упражнения
- •2.4 Конечные элементы и аппроксимация
- •Упражнения
- •2.5 Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Упражнения
- •2.6 Решение дифференциальных уравнений с частными производными
- •Упражнения
- •3 Физико-математическое моделирование конструктивных элементов сверхпроводящих электромагнитных подвесов
- •3.1 Физико-математическая модель
- •3.2 Конечно-элементная дискретизация уравнений
- •Упражнения
- •3.3 Особенности решения задач для открытых многосвязных систем
- •Упражнение
- •3.4 Моделирование экранов
- •Упражнения
- •Упражнения
- •Упражнение
- •4 Конечно-элементный комплекс программ fempdesolver
- •4.1 Структура и возможности комплекса программ fempdeSolver
- •4.2 Препроцессор
- •4.3 Процессор
- •4.4 Постпроцессор
- •5 Моделирование сверхпроводникового гравиинерциального датчика
- •5.1 Геометрическая модель датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.2 Моделирование распределения магнитного поля в рабочем объеме датчика
- •А) Цилиндрический подвес с плоской катушкой
- •Б) Цилиндрический подвес с катушкой квадратного сечения
- •5.3 Моделирование распределения электростатического поля в емкостном датчике смещений пробного тела
- •Лабораторная работа № 1 Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
- •Задания
- •Лабораторная работа № 2 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа
- •Задания
- •Лабораторная работа № 3 Решение краевой задачи для уравнения Лапласа с дополнительными условиями
- •Задания
- •I. Задачи с плоской геометрией
- •II. Осесимметричные задачи
- •Лабораторная работа № 4 Решение краевой задачи для уравнения Пуассона
- •Задания
- •Лабораторная работа № 5 Решение краевой задачи при наличии физически неоднородных сред
- •Задания
- •Лабораторная работа № 6 Решение уравнения Лапласа в области с разрезами
- •Задания
- •Лабораторная работа № 7 Решение краевой задачи для уравнения Лондонов
- •Задания
- •Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
- •Задания
- •Лабораторная работа № 9 Сверхпроводниковые подвесы
- •Описание интерфейса препроцессора
- •«Выход»
- •Горячие клавиши препроцессора
- •Программа appl_fem
- •Процессор
- •Описание интерфейса постпроцессора
- •Меню «Файл»
- •Меню «Вид»
- •Меню «Поле»
- •Меню «График»
- •Меню «Таблица»
- •Меню «Печать»
- •Меню «Вычислить»
- •Меню «Опции»
- •Меню «Помощь»
- •«Выход»
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задания
27. Для следующих сверхпроводниковых областей найти распределение поля с учетом лондоновского проникновения.
1) Бесконечная пластина
b = 1, a = 2; 5; 10 |
2)
|
3) Неровности на поверхности сверхпроводника: а) б)
a = 6; b = 4; c = 0.8; d = 1. Граничные условия: . |
|
4) Пластина с отверстием
|
5) Цилиндр со сквозным отверстием
|
Указание. В заданиях 4) и 5) использовать следующую формулировку: 2B = (1/2)B в сверхпроводнике, 2B = 0 в воздухе; В = Ве на внешней границе сверхпроводника. |
28. Найти распределение магнитного поля для бесконечного цилиндра, помещенного во внешнее однородное поле , перпендикулярное его оси.
Указание. Использовать формулировку для векторного потенциала:
А = 0 вне сверхпроводника;
внутри сверхпроводника.
Расчетную область следует выбрать в виде прямоугольника, при этом граничные условия на его сторонах легко формулируются на основе соотношения .
29. Найти распределение магнитного поля для шара, помещенного во внешнее однородное поле.
Указание. Использовать формулировку функции потока:
вне сверхпроводника;
внутри сверхпроводника.
Граничные условия определяются из соотношений
30. Решить задачу о распределении поля для системы кольцо+шар (см. задание 24 п. 5), считая, что в кольце протекает сверхток I и оно находится в чисто мейсснеровском состоянии (в него поле не проникает совсем), а шар имеет отличную от нуля глубину проникновения.
Лабораторная работа № 8 Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности
В этой работе требуется найти распределение функции u(x,y,t), удовлетворяющей нестационарному уравнению теплопроводности
,
заданного в области , граничным условиям 1–3-го рода и начальному условию
u(x, y, 0)=u0(x, y).
Помимо задачи распределения тепла (u – температура), такой постановке удовлетворяет, например, задача распределения магнитного поля внутри проводника, на который действует внешнее поле Hе (в квазистационарном приближении). Действительно, в случае трансляционной симметрии в направлении z, требуется решить уравнение внутри проводника
, (*)
где = (0)–1 (0 = 410–7 Гн/м – магнитная постоянная, – удельная проводимость: 107 Ом–1м–1) с соответствующими начальными и граничными условиями.
Задания
3 1. Затухание магнитного поля в прямоугольной бесконечно длинной пластине.
Пусть прямоугольная пластина со сторонами a и b=a/2 имеет бесконечное направление вдоль оси z, а магнитное поле, направленное вдоль этой же оси, в начальный момент времени внутри пластины имеет распределение H0(x, y). Тогда изменение магнитного поля Hz(x, y) в последующие моменты времени определится уравнением (*) с учетом граничных и начальных условий
Hz(0, y, t) = Hz(a, y, t) = Hz(x, 0, t) = Hz(x, b, t) = 0, 0 < t < ,
Hz(x, y, 0) = H0(x, y), 0 x a, 0 y b.
Найти конечно-элементное решение для b=1, a=2; 5; 10, =0.1, H0 = 1, H0 = sin(x/a) sin(y/b).
Сравнить с аналитическим решением:
Указания по решению задачи в пакете FEMPDESolver. Рекомендуется вместо одной зоны, образующей область задачи (прямоугольник), ввести 2 или лучше 4 зоны. Разбивать область следует достаточно плотно. Например, вдоль большей стороны число треугольников как минимум 49. При задании уравнения следует в соответствующем окне указать «Уравнение диффузии» и, перейдя на «More», задать все коэффициенты уравнения. Постоянное начальное условие (в этой задаче есть такое) можно задать как в соответствующем пункте меню «Файл», так и нажатием Alt+B из основного окна. В последнем случае просто следует ввести число H0. Также в препроцессоре обязательно следует задать параметры счета для нестационарной задачи: dt (шаг по времени), Nlays (общее число временных слоев), dl (параметр, определяющий через какое число слоев будет сохраняться в файле информация о поле u). Для этого нужно ввести комбинацию клавиш Alt+0 (ноль) из основного окна. Действия по запуску задачи на счет выглядят так же, как при решении стационарных задач. В постпроцессоре при выводе картины поля или графика функции переход к следующему временному слою осуществляется нажатием комбинации Alt+Plus (Plus – это «+» на дополнительной клавиатуре).
32. Проникновение переменного магнитного поля в прямоугольную бесконечно длинную проводящую пластину.
Рассмотрим ту же пластину, что и в предыдущей задаче, но помещенную во внешнее переменное поле с частотой . Тогда для определения поля внутри пластины требуется решить уравнение (*) при следующих условиях
Hz(0,y,t) =Hz(a,y,t) = Hz(x,0,t) = Hz(x,b,t) = H0 sint, 0 < t < ,
Hz(x, y, 0) = 0, 0 x a, 0 y b.
Таким образом, имеем задачу с периодическими граничными условиями. Размеры пластины взять, как в задании 1, а частоту = 10, 20, 100, 200. Определить глубину скин-эффекта.
33. Для следующих областей решить задачи в условиях заданий 31 и 32.
1) Бесконечный цилиндр
|
|
2) Пластина с отверстием
|
3). Полый цилиндр
|
34. Найти изменение распределения температуры со временем в тонком однородном стержне. На концах стержня задаются температурные режимы. Начальная температура всего стержня постоянная.
Задача сводится к решению уравнения теплопроводности
, 0 t t1, 0 x a,
u(x, 0) = u0, u(0, t) = 0(t), u(a, t) = 1(t), где u(x, t) – температура стержня в точке x в момент времени t. k принять равным 1.
Номер варианта |
а |
t1 |
u0 |
0(t) |
1(t) |
1 |
1.2 |
2 |
10 |
u0 + 0.2t |
u0 – 0.3t |
2 |
1.1 |
2.2 |
12 |
u0 – t |
u0 + sin2t |
3 |
0.8 |
2.4 |
15 |
u0 |
u0 – 4t |
4 |
0.6 |
2.6 |
18 |
u0 et |
u0 e–t |
5 |
1.4 |
2.8 |
22 |
u0 + sint |
u0 |
35. Найти изменение температуры u(x,y,t) во времени для однородной квадратной пластины. Начальное распределение температуры задано: u(x,y,0)=x+y. Краевые условия: u(x,0,t) = = xe–at; u(x,1,t)=(1+x)e–at; u(0,y,t) = ye–at; u(1,y,t)=(1+y)e–at. Задача сводится к решению уравнения теплопроводности u/t = ku в области {0x1, 0y1, 0 t t1}. Коэффициент k принять равным 1, t1 и a взять из таблицы задания 34.