Примеры решения задач
Пример. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение.
Это уравнение Бернулли с
.
Полагаем
.
Получаем уравнение
или
.
Подберем такую функцию
,
чтобы выражение в скобках было равно
нулю, т.е. решим дифференциальное
уравнение
.
Находим
.
Решаем затем уравнение
и получаем его общее решение
.
Следовательно, общее решение исходного
уравнения
.
Нетрудно заметить, что
является особым решение исходного
уравнения.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи №№ 4038, 4039, 4041, 4043, 4044 [2].
Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет.
Занятие № 20
Уравнения первого порядка,
не разрешенные относительно
производной (Клеро, Лагранжа)
Литература: [1], c. 47-50.
Основные понятия
Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка приходится решать методом введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся уравнение Лагранжа
(3.1)
и уравнение Клеро
,
(3.2)
где
и
– известные функции от
.
Уравнение
(5.1) интегрируется следующим образом:
обозначая
,
запишем уравнение в виде
.
Дифференцируя полученное уравнение по
,
имеем
,
откуда
получим
– линейное уравнение относительно
и
.
Если его решение будет
,
то общее решение уравнения (5.1) записывается
в виде
.
Уравнение
(5.1) может иметь особое решение, вида
,
где
– корень уравнения
.
Уравнение
Клеро (5.2) является частным случаем
уравнения Лагранжа при
.
Его общее решение имеет вид
,
особое решение получается путем
исключения параметра
из уравнений
и
.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие уравнения называются уравнениями Клеро?
2. Какая вспомогательная замена вводится при решении уравнений Клеро?
3. Что такое особое решение уравнения Клеро и каким свойством оно обладает?
4. Каков общий вид уравнений Лагранжа?
5. Какой вид уравнений более общий Клеро или Лагранжа?
6. Какой заменой решается уравнение Лагранжа?
7. Что такое особое решение уравнения Лагранжа?
8. Как ищется общее решение уравнения Лагранжа?
Примеры решения задач
Пример
1. Решить
уравнение
.
Решение.
Уравнение имеет вид (5.2), т.е. это уравнение
Клеро. Положим
.
Тогда заданное уравнение принимает вид
.
Продифференцировав его по
,
имеем
,
или
с учетом
.
Если
,
то
и общее решение данного уравнения есть
.
Если
,
то получаем
.
Особое решение данного уравнения
.
Исключая параметр
,
находим особое решение в явном виде
.
Пример
2. Решить
уравнение
.
Решение.
Уравнение имеет вид (5.1), т.е. это уравнение
Лагранжа. Положим
.
Тогда заданное уравнение принимает вид
.
Продифференцировав его по
,
имеем
,
откуда
.
Из этого уравнения получаем
– линейное относительное
и
уравнение. Решим его методом Бернулли.
Полагая
,
получаем
или
.
Находим
,
приравнивая скобку к нулю, разделяя
переменные и интегрируя:
,
,
,
.
Тогда уравнение примет вид
.
Отсюда
.
Учитывая, что
,
получим
.
Таким образом, общее решение уравнения
имеет вид (в параметрической форме)
.
Особого решения данное уравнение не имеет.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Форма отчетности: устный опрос, самостоятельная работа.