- •Методические указания
- •Методические указания
- •1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план)
- •2. Содержание разделов дисциплины
- •Раздел 1. Теория вероятностей (12 часов).
- •Раздел 2. Элементы математической статистики (6 часов).
- •Раздел 3. Интегральные преобразования Фурье (4 часа).
- •Раздел 4. Уравнения математической физики (дополнительные главы) (6 часов).
- •Раздел 5. Вариационное исчисление и оптимальное управление (4 часов).
- •Раздел 6. Введение в дискретную математику.
- •4. Методические рекомендации по
- •5. Рекомендуемый перечень тем практических занятий
- •6. Календарный план чтения лекций
- •Стационарные случайные процессы
- •Марковские случайные процессы
- •Процесс Пуассона
- •Случайные процессы с независимыми приращениями
- •Тема 2 Понятие нелинейной регрессии
- •Контрольные вопросы и задания
- •Задачи и упражнения для самостоятельной работ
- •Тема 3 Статистическая проверка статистических гипотез
- •Тема 4 Решение неоднородных уравнений с частными производными гиперболического типа методом Фурье
- •Тема 5 Основы вычислительного эксперимента
- •Контрольные вопросы и задания
- •9. Обработка и интерпретация результатов.
- •Тема 7 Постановка задачи оптимального управления. Формулировка необходимого условия оптимального управления в форме принципа максимума Понтрягина
- •Заключение
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
Стационарные случайные процессы
В приложениях теории вероятностей часто встречаются так называемые стационарные случайные процессы.
Определение 4. Случайный процесс называется стационарным, если для всех его n конечных функций распределения при любом t0 справедливо равенство
(1.9)
Свойство стационарного процесса, выраженного формулой (1.10), означает инвариантность, т.е. независимость конечных распределений относительно сдвига во времени на величину . В частности, это означает, что все сечения случайного процесса X(t) одинаково распределены и ковариационная функция cov(s, t) обладает следующим свойством: для любых таких, что справедливо равенство . Из последнего условия следует, что cov(s, t) будучи функцией двух переменных s и t, фактически зависит от разности (s - t), т.е. существует функция , обладающая свойством cov(s, t) = , где = .
Если X(t) – случайный процесс, описывающий отклонение управляемого объекта от расчетной траектории, то этот процесс является стационарным тогда, когда факторы, вызывающие отклонение, не меняются со временем (установившийся режим полета).
Определение 5. функция - математическое ожидание произведения случайных величин и ,называется корреляционной функцией случайного процесса .
Рассмотрим также корреляционную функцию пары случайных процессов и . По определению: . (1.10)
Приведем свойства корреляционной функции пары случайных процессов.
Корреляционная и ковариационная функции связаны соотношением:
(1.11)
Если X=Y, то равенство (1.11) примет вид:
.
Для стационарного случайного процесса корреляционая функция является функцией одной переменной = , при этом употребляют обозначение . Тогда , где - это математическое ожидание случайной величины , не зависящее от .
Среди всевозможных случайных процессов естественно выделить те, для которых -е конечномерные функции распределений имеют простой вид. Иногда все -е конечномерные функции определяются -ми функциями ( > ). Говорят, что случайный процесс имеет порядок , если все его конечномерные функции распределения выражаются через n - мерные функции, но не выражаются через (n - 1)-мерные функции распределения. Рассмотрим, например, процесс, который определен семейством попарно независимых случайных величин. Он называется чисто случайным процессом. Первая конечномерная функция распределения совпадает с функцией распределения сечения ; вторая конечномерная функция распределения . Аналогичное утверждение справедливо и для n – ой дифференциальной функции распределения:
Таким образом, чисто случайный процесс является процессом первого порядка. Замети, что реализации (траектории) такого процесса не могут быть непрерывными функциями. Поэтому для всякого чисто случайного процесса, характеризующего какое-либо физическое явление, случайные величины должны быть дискретными.
Марковские случайные процессы
Марковские случайные процессы характеризуются следующими свойствами: их основные конечномерные функции распределения
(1.11)
т.е. условное и не зависит от остальных условий при любых . Марковский процесс определяется своей второй конечномерной функцией или первой конечной функцией распределения совместно с “вероятностями перехода” . Марковский случайный процесс это процессом 2-го порядка.