II. Точность оценки, доверительная вероятность

(надежность), доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объема точечная оценка неизвестного параметра может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам: по этой причине следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют устанавливать точность и надежность.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство

.

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице (0,95; 0,999; 99)

Пусть или .

Последнее соотношение следует понимать так:

Вероятность того, что интервал «покрывает неизвестный параметр , равна . Этот интервал называют « доверительным».

Поскольку случайной величиной является не оцениваемый параметр , а доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности попадания в доверительный интервал, а о вероятности того, что доверительный интервал покроет .

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестном имеет вид

с надежностью, равной , t определяем из равенства , точность оценки равна .

Из этой формулы можно сделать выводы:

1. при возрастании объема выборки «n» число убывает и точность оценки увеличивается ;

2. увеличение надежности оценки ведет к увеличению t, т.к. – возрастающая функция, а следовательно и к возрастанию , т.е. увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение точности.

Пример 1. Случайная величина Х имеет нормальное распределение . Найти доверительные интервалы для оценки по выборочным средним , если объем выборки n =36 и задана надежность оценки .

Решение: Из соотношения 2Ф(t)=0,95 имеет Ф(t)=0,475 по таблице t=1,96, тогда .

Доверительный интервалы будут иметь вид

, Например, если , то 3,12<γ<5,08.

Поясним смысл, который имеет заданная надежность. Надежность указывает , что если будет произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр будет действительно заключен и лишь в 5% случаев оцениваемый параметр, может выйти за пределы доверительного интервала

Методы получения точечных оценок. Метод максимального правдоподобия

Допустим, что известна модель закона распределения случайной величины, но неизвестно значение входящего в эту модель параметра. Найдем его оценку, если известны результаты независимых проводимых в одинаковых условиях наблюдений случайной величины. Используем метод максимального правдоподобия. Рассмотрим этот метод на двух примерах: в первом примере случайная величина дискретна, во втором – непрерывна.

Случайная величина X распределена по закону Пуассона.

Это означает, что вероятность

(*)

Параметр этого закона , его значение неизвестно. Обозначим через – возможные результаты независимых наблюдений случайной величины Х, проводимых в одинаковых условиях (закон распределения любой из величин совпадает с законом распределения величины Х, т.е.

……………………………………….

Введем функцию , которую назовем функцией правдоподобия. Ее значение

=

Это вероятность произведения событий

; ; …; ; или совместная вероятность появления чисел .

Чем больше значение , правдоподобнее или более вероятно появление в результате наблюдений чисел .

Отсюда и название функции – функция правдоподобия результатов наблюдений.

,

Учитывая формулу (*) получаем

За оценку неизвестного параметра примем такое число, при котором функция правдоподобия , рассматриваемая как функция от , достигает максимума, т.е. определяется из условия .

Найденная этим методом оценка называется оценкой максимального правдоподобия.

Логарифм функции правдоподобия имеет вид

Найдем точку максимума этой функции, рассматривая ее как функцию параметра . Для этого найдем производную

.

Найдем

Определим знак второй производной в критической точке

– точка максимума функции и значит и функции .

.

Пример 2 . Случайная величина распределена по показательному закону, т.е. функция плотности

параметр этого закона , его значение неизвестно. Пользуясь методом максимального правдоподобия, доказать

.