- •Двойные интегралы.
- •Основные понятия и свойства.
- •Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования
- •Геометрические приложения двойных интегралов
- •Тройной интеграл
- •Замена переменных в тройном интеграле
- •Тройной интеграл в цилиндрических координатах
- •2. Тройной интеграл в сферической системе координат
- •Приложения тройных интегралов
- •Криволинейный интеграл 2-го рода
- •1. Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла 2-го рода.
- •2. Определение криволинейного интеграла 2-го рода.
- •3. Свойства криволинейного интеграла 2-го рода
- •5.Формула Грина
- •6.Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •7. Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Тройной интеграл
Основные определения и теоремы для тройных интегралов аналогичны соответствующим определениям и теоремам для двойных интегралов.
Пусть - область в трехмерном евклидовом пространстве , ограниченная замкнутой поверхностью, и пусть в области и на ее границе определена непрерывная функция . Разобьем область на частей так, чтобы любые две части не имели общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку и составим интегральную сумму вида где - объем части Пусть - диаметр , , .
Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при , и если предел не зависит ни от способа разбиения области на части , ни от выбора точек , то он называется тройным интегралом от функции по области и обозначается или , то есть
.
Теорема (достаточные условия существования тройного интеграла). Если функция непрерывна в области , ограниченной замкнутой поверхностью, то она интегрируема в этой области.
В дальнейшем будем предполагать, что условия этой
теоремы выполнены.
Из определения тройного интеграла следует, что объем
области :
Физический смысл тройного интеграла - масса тела, занимающего область с объемной плотностью, то есть если - объемная плотность распределения массы в точке тела, то масса тела
.
Тройные интегралы обладают такими же свойствами, как определенные и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
Назовем трехмерную область , ограниченную замкнутой поверхностью правильной, если:
1) всякая прямая, параллельная оси , проведенная через внутреннюю точку области пересекает поверхность в двух точках;
2) вся область проектируется на плоскость в правильную (двумерную) область ;
3) всякая часть области , отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1),2).
Пусть функция определена и непрерывна в области , где и - непрерывные функции в ограниченной замкнутой области . Обозначим .
Назовем повторным интеграл вида
.
Теорема. Тройной интеграл от непрерывной функции
по правильной области равен повторному
интегралу
= .
Если область правильная в направлении оси , то есть , то двойной интеграл в свою очередь можно свести к повторному, тогда
=
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится в этом случае к последовательному вычислению трех определенных (однократных) интегралов:
=
Пример. Вычислить интеграл , где область ограниченная поверхностями
Решение. Область можно представить в виде
,
где . Сводя тройной интеграл к повторному, получим
=