- •1. Производная. Правила дифференцирования
- •2. Таблица производных
- •3. Правила дифференцирования
- •4. Производные высших порядков
- •5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически
- •6. Уравнения касательной и нормали
- •7. Дифференциал первого порядка
- •8. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
- •9. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя
- •Задание 1
- •Задание 8
- •Задание 13
- •Задание 14
- •Задание 15
- •Задание 16
- •Задание 17
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически
Говорят, что уравнение F(x, y) = 0 неявно задаёт функцию
y = f(x) в интервале (a, b), если для любого уравнение F(x0; y)=0 имеет единственное решение y0 = f(x0).
Для нахождения производной функции y = f(x), заданной неявно уравнением F(x, y) = 0, следует продифференцировать обе части равенства , считая y функцией от x; затем полученное уравнение, в которое будут входить x, y и , следует разрешить относительно . Для нахождения равенство
F(x, y) = 0 дифференцируется дважды, в результате чего получается уравнение, содержащее x, y, , , которое следует разрешить относительно , затем вместо подставить функцию от x и y, найденную указанным выше способом.
Пример 6. Найти значения , , если функция y задана неявно уравнением .
Решение. Считая y функцией от x, продифференцируем обе части равенства:
; ; .
Отсюда находим ; .
Для нахождения y(0) в равенстве положим x = 0:
; ; y(0) = 1.
Таким образом, . Найдём , для чего продифференцируем равенство :
;
; .
Подставив в последнем равенстве вместо выражение , получим , откуда находим
.
Если функция y = y(x) задана параметрическими уравнениями
то при условии существования производных , и существует производная и при этом .
Вторая производная находится по формуле
, или (что то же самое) .
Пример 7. Найти , , если
Решение. Имеем:
; ;
;
6. Уравнения касательной и нормали
Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x0, y0) на графике имеет вид
,
а уравнение нормали в той же точке
,
где y0 = f (x0).
Пример 8. Найти площадь треугольника, образованного прямой y = y0 +1, касательной и нормалью, проведёнными к графику функции y = x3 + 2x2 – x + 1 в точке с абсциссой
x0 = 1 и ординатой y0 .
Решение. Найдём ординату y0 точки касания и :
;
; .
Уравнением касательной является y = 3 + 6(x – 1) или
6 x – y – 3 = 0. Уравнение нормали имеет вид или
x + 6y – 19 = 0. Найдём координаты точек А и В (см. рис.).
Вычислим длины катетов АС и ВС прямоугольного треугольника АВС:
,
.
По этим данным найдём искомую площадь
7. Дифференциал первого порядка
Придадим аргументу x в точке x0 приращение , функция получит приращение . Если существует число А, такое, что , то говорят, что f( ) дифференцируемая в точке 0 ; линейная часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке 0 и обозначается или (или просто df , dy).
Если – независимое переменное (т.е. не зависит от других переменных), то полагают .
Теорема 2. Функция f( ) дифференцируема в точке 0 в том и только в том случае, если f( ) имеет производную в этой точке. При этом .
Если в равенстве отбросить бесконечно малую величину , то получим приближённое равенство
,
которое применяется для нахождения приближённого значения функции.
Пример 9. Найти приближённое значение .
Решение. Рассмотрим функцию . Положим x0 = 16 ; тогда . Имеем
;
; , , ; .
Отсюда находим ,
.