3.5. Уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности)

Прежде всего уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности) можно получить для элементарной струйки на основании свойств струйки и жидкости. Движение рассматривается установившееся. Выделим в потоке жидкости элементарную струйку с произвольным сечением 1-1, 2-2, 3-3 (рис. 9).

П лощади сечений струйки и скорости в них соответственно обозначим dω₁ и U₁; dω₂ и U₂; dω₃ и U₃. За время dt через сечение струйки dω, в отсек 1-2 втечет следующее количество жидкости:

U₁dω₁dt . (3.11)

За тоже время из отсека 1-2 вытечет через сечение dω₂ количество жидкости:

U₂dω₂dt . (3.12)

Поскольку жидкость несжимаема, а форма элементарной струйки не изменяется по времени и стенки ее непроницаемы (жидкость не может втекать и вытекать через боковые поверхности), то можно записать, что количество жидкости, втекшее в отсек 1-2 и вытекшее из него, равно:

U₁dω₁dt= U₂dω₂dt , (3.13)

или в единицу времени это будет:

U₁dω₁=U₂dω₂ . (3.14)

Имея в виду, что Udω=dQ и, что сечения по длине струйки взяты произвольно, можно написать:

U₁dω₁=U₂dω₂= . . . . . . .= U_ndω_n=dQ=const . (3.15)

Выражение (3.15) является уравнением постоянства расхода или уравнением неразрывности для элементарной струйки. Его можно сформулировать следующим образом: через все сечения элементарной струйки протекает одно и то же количество жидкости. Другими словами, расход по длине струйки есть величина постоянная.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, интегрируя уравнение для струйки по всей площади живого сечения потока:

. (3.16)

Соотношение (3.16) можно проинтегрировать, введя средние скорости движения жидкости, тогда получим:

V₁ω₁=V₂ω₂ . (3.17)

Сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, следовательно, можно уравнение (3.17) написать для всех сечений потока:

V₁ω₁=V₂ω₂= . . . = V_nω_n=Q=const . (3.18)

Выражение (3.18) является уравнением постоянства расхода или неразрывности для всего потока жидкости. Оно показывает, что при движении жидкости могут меняться сечения ω и средние скорости V, а расход вдоль потока остается постоянным. Уравнение постоянства расхода является математическим выражением условий сплошности течения при установившемся движении.

Из уравнения (3.17) можно написать соотношение между средними скоростями и живыми сечениями потока:

. (3.19)

Итак, между V и ω существует обратно пропорциональная зависимость.

3.6. Уравнение Бернулли

Для идеально движущейся жидкости гидродинамическое давление по всем направлениям одинаково (P_x=P_y=P_z=P) и уравнение будет иметь вид/6/:

(3.20)

– дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Они устанавливают связь между действительными силами, гидродинамическим давлением, скоростными плотностями.

Смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от сил давления. Уравнения Эйлера справедливы для любого вида движения жидкости.

Существуют дифференциальные уравнения движения реальной жидкости, но они дают очень часто результаты, отличные от действительных соотношений между параметрами движения и вообще интегрируются лишь в немногих частных случаях. Поэтому основой для практических расчетов обычно служат уравнения Эйлера при условиях введения в них экспериментально проверенных и теоретически оправданных поправок на вязкость жидкости. В полученной системе четыре неизвестных и для ее решения обычно добавляется еще уравнение неразрывности.

Преобразуем уравнения Эйлера (3.20) и произведем их интегрирование для некоторых частных случаев. Уравнения Эйлера умножим соответственно на dx, dy и dz и сложим их:

Dx dy (3.21) dz

Имеется в виду, что:

; ; , (3.22)

получим:

.

(3.23)

Учитывая, что давление P – есть функция координат, выражение в скобках является полным дифференциалом давления dP, а:

;

; (3.24)

;

,

уравнение (3.23) согласно выражениям (3.24) запишется в следующем виде:

. (3.25)

Произведем интегрирование полученного уравнения для некоторых случаев движения.

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, например, струйки, если струйка расположена горизонтально и ось ОХ совпадает с осью струйки, ось OZ направлена вертикально вверх и, кроме того, на струйку из массовых сил действует только сила тяжести, что возможно при плавно изменяющемся движении жидкости, когда вектор скоростей имеют очень малый угол расхождения. Тогда силы инерции можно не учитывать. В этом случае проекции единичной массовой силы будут равны:

Х=0; Y=0; Z= - g ,

тогда уравнение (3.25) примет вид:

- , (3.26)

или, учитывая, что γ=ρg, можно записать:

. (3.27)

Проинтегрируем полученное уравнение (3.27):

. (3.28)

Уравнение (3.28) называется уравнением Бернулли, которое связывает скорость U, давление P и геометрическую высоту точек Z. Первоначально оно было получено Коши путем интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера. Бернулли получил свое уравнение в 1788 году исходя из известного закона механики об изменении кинетической энергии (закон живых сил).

Механический смысл уравнения Бернулли вытекает из самого вывода и его можно пояснить так: работа сил тяжести и сил давления расходуется на изменение кинетической энергии движущегося участка струйки:

(Z₁-Z₂) – работа сил тяжести на единицу веса жидкости;

– работа сил давления на единицу веса жидкости;

– изменение кинетической энергии на единицу веса жидкости.

Уравнение Бернулли с геометрической точки зрения можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости сумма высот положения, давления и скоростной есть величина постоянная вдоль данной элементарной струйки.

Эта постоянная величина называется полным или гидродинамическим напором Н_D:

. (3.29)

Энергетический смысл уравнения Бернулли выражается в законе сохранения энергии элементарной струйки.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости записывается следующим образом:

, (3.30)

где – потерянная удельная энергия или потеря напора;

α – коэффициент кинетической энергии или коэффициент Кориолиса.

С физической точки зрения он представляет собой отношение кинетической энергии потока, подсчитанной по действительным скоростям течения в данном сечении, и кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости в этом же сечении:

. (3.31)

Коэффициент α учитывает неравномерность распределения скорости по сечению и для труб он изменяется в диапазоне от 1,04…1,13.

Если для струйки идеальной жидкости уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии, то для потока реальной жидкости оно является уравнением баланса энергии с учетом потерь. Уравнение Бернулли в таком виде справедливо лишь для установившегося движения и его можно применять только для тех сечений, где выполняются условия плавноизменяющегося движения.