7.2. Условные числовые характеристики

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). В соответствии с результатами предыдущего параграфа можно определить условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение у. Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами обычного (безусловного) распределения, то по нему можно определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики, которые естественно назвать условными. Начнем со случая дискретной случайной величины (X, Y). Пусть случайная величина X принимает значения случайная величина Y — значения и пусть

условные вероятности случайной величине X принять значение при условии .

Определение 7.3. Для дискретной двумерной случайной величины (X, Y) значением условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии , называют число

.

Далее для краткости будем писать вместо

.

По аналогии с (безусловным) математическим ожиданием M(Х) случайной величины X значение условного математического ожидания при условии задает „среднее" значение случайной величины X, но при условии, что случайная величина Y приняла значение .

Таким же образом интерпретируют значение условного математического ожидания случайной величины Y при условия .

Согласно определению 7.3, значение условного математического ожидания зависит от значения случайной величины Y, и только от него. Вспоминая понятие функции от случайной величины, приходим к следующему определению условного математического ожидания.

Определение 7.4. Условным математическим ожиданием М(Х|Y) дискретной случайной величины X относи­тельно дискретной случайной величины Y называют функцию

M(X|Y)=g(Y)

от случайной величины Y, где область определения функции g(у) совпадает с множеством значений случайной величины Y, а каждому значению аргумента у поставлено в соответствие число

g( ) = M(X| ).

Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание М(Х|Y) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной.

Приведем примеры.

Пример 7.1. Пусть и — числа успехов в первом и втором испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Найдем M( | ).

,

.

Таким образом, значения M( |0) и M( |1). условного математического ожидания совпадают для обоих значений 0 и 1 случайной величины и равны р. Поэтому

.

Пример 7.2. Найдем условное математическое ожидание М(Х|Y) случайной величины X — числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, относительно случайной величины Y — числа очков, выпавших на нижней грани (см. пример 7.2).

Полученный результат в терминах условного математического ожидания можно записать в виде

M(X|Y) = 7-Y.

Определение 7.5. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, У) значением М(Х|Y),Y=у) условного математического ожидания непрерывной случайной величины X при условии Y = у называют число

,

где

является условной плотностью распределения случайной вели­чины X при условии Y = у.

Определение 7.6. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) условным математическим ожиданием М(Х|Y) непрерывной случайной величины X относительно случайной величины Y называют функцию g(Y) = M(X|Y) от случайной величины Y, принимающую значение g(у) = M(Х|у) при Y = у.

Определение 7.7. Функцию g(у) называют функцией регрессии, или просто регрессией, случайной величины X на случайную величину Y, а ее график — линией регрессии случайной величины X на случайную величину Y, или просто

X на Y.

Линия регрессии графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины X от значения случайной величины Y.

Совершенно аналогично определяют значение М(Y|х) условного математического ожидания случайной величины Y при условии X = х и условное математическое ожидание М(Y|Х) = h(X). При этом функцию h(x) называют функцией регрес­сии, или просто регрессией, случайной величины Y на случай­ную величину X, а ее график — линией регрессии Y на Х. Линия регрессии Y на X графически изображает зависимость

“среднем” случайной величины Y от значения случайной величины X.