- •2. Приведенные характеристики механизмов 27
- •Введение
- •Силовой анализ манипуляционных механизмов
- •1.1. Задачи силового анализа мм
- •1.2. Силы инерции и их моменты
- •1.3. Mеханические характеристики двигателей
- •Приведение сил и моментов сил к главному вектору и главному моменту
- •1.5. Кинетостатический метод расчета мм
- •1.6. Алгоритм определения обобщенных сил
- •Статическая жесткость и податливость мм
- •Вопросы для самопроверки
- •2. Приведенныехарактеристики механизмов
- •2.1. Кинетическая энергия звена и механизма
- •2.2. Приведенные массы и моменты инерции звеньев
- •2.3. Приведенные силы и моменты сил
- •3.2. Задачи и цели динамики мм
- •Кинетостатический метод составления дифференциальных уравнений динамики
- •Построение уравнений динамики мм на основе принципа возможных перемещений
- •Описание динамики мм на основе уравнений Лагранжа II рода
- •3.6. Постановка задачи динамики мм на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса
- •3.7. Сравнение методов динамического анализа мм
- •3.8. Интегрирование уравнений динамики мм
- •Влияние относительного вращения роторов приводных двигателей на динамику мм
- •4.1. Требования к захватным устройствам
- •Классификация зу.
- •4.3. Конструкции механических зу
- •4.4. Вакуумные и электромагнитные зу
- •4.5. Зу с эластичными камерами
- •4 .6. Проектирование зу
- •Вопросы для самопроверки
- •Список Литературы
Описание динамики мм на основе уравнений Лагранжа II рода
Уравнения Лагранжа II рода часто используются для получения уравнений динамики систем с несколькими степенями подвижности, к которым можно отнести и манипуляционные механизмы.
Пусть m - число подвижных звеньев механизма, без учета базового звена, а n=m+1 общее число подвижных звеньев
= { } (i=0,1,2, …, m) –
блочная матрица размерности n;
= { , , , , , }T –
матрица - столбец квазискоростей звена i; , (k=1,2,3) – компоненты векторов угловой скорости звена i и линейной скорости центра масс звена i, определенные в главной центральной системе звена Zi . Тогда кинетическая энергия звена i примет вид
Ei =0,5( Ji +mi ),
где = { } (k=1,2,3); ={ }3;
Ji = -
тензор инерции звена i, определенный в системе Zi; mi – масса звена i.
Вводя диагональную матрицу инерционных характеристик звена порядка 6 6 в главной системе координат звена Zi
= diag{ , , , mi , mi , mi},
можно записать кинетическую энергию звена i в виде
Ei =0,5 ,
а кинетическую энергию всего механизма – в виде
E =0,5 =0,5 Ф ,
где
Ф = diag { , , , …, } –
блочная диагональная матрица инерционных характеристик механизма порядка 6n 6n.
Пусть обобщенные координаты механизма в каждой кинематической паре являются угловыми или линейными перемещениями и образуют вектор обобщенных перемещений
={q0 , q1 , q2 , …qr}T,
где р=r+1 – число приводов механизма, совпадающее с его числом степеней подвижности. Связь матрицы с матрицей можно записать в виде
= С , (5.1)
где С – матрица порядка 6n р.
Соотношения (1) связывают обобщенные скорости и квазискорости звеньев манипулятора и называются системой уравнений связей манипуляционного механизма.
С учетом системы уравнений связей (1), кинетическая энергия ММ преобразуется к виду
E=0,5 Ф =0,5(С )ТФ(С )=0,5 СТФС =0,5 А ,
где А =СТФС – матрица порядка р р, зависящая непосредственно от времени и матрицы обобщенных координат манипулятора , также зависящих от времени.
Система дифференциальных уравнений динамики относительно обобщенных координат ql (l=0,1,2,…,p) в форме уравнений Лагранжа II рода имеет вид
=Ql (l= 0,1,2,…,p), (5.2)
где Ql – обобщенная сила (сила или момент), совершающая работу на обобщенном перемещении ql.
Подстановка в (2) выражения для Е дает
А + ( Ds ) = ,
где - р -мерная матрица, компонент которой с номером s равен единице, прочие компоненты равны нулю; Ds – матрица порядка р р, элементами которой являются символы Кристофеля первого рода
=[j, l, s]= , (j=0,1,2,…r).
Для построения матрицы С матрицу удобно представить в блочной форме в виде
= { , }T ,
где ={ }Т3 , ={ }3.
Для этих же целей матрицу С также удобно представить в блочной форме
С = { U0 , L0 , U1 , L1 , L2 , …, Um , Lm}T ,
Ui , Li , - матрицы порядка 3 р , такие, что =Ui , =Li .
Структура матриц Ui и Li определяется рекуррентными соотношениями для матриц угловых и линейных скоростей звеньев ММ.
Для вращательной i-1, i кинематической пары, согласно соотношениям (2.6.4 - 2.6.5) [7],
=Ki + ,
=Ki ( + ) - ,
где Ki матрица перехода Zi-1Zi.
Тогда
Ui = KiU(i-1) + Mi ,
Li =Ki( + U(i-1) )- Ui ,
где Mi – матрица порядка 3 р, у которой = (k=1,2,3), а все прочие элементы – нулевые. Отсюда следует
Ui =Ki Ui-1+ Mi , (5.3)
Li = Ki [ + U(i-1)]- Ui .
Если , - матрицы, характеризующие кинематику базового звена, то для звена 1
=К1 + =К1( + )- .
Матрицы , не зависят от компонентов матрицы с номерами, превышающими 0 и поэтому матрицы Uo и Lo строятся формально. Можно положить, например, что элементами этих матриц являются безразмерные величины
= / (k=1,2,3),
если базовое звено движется вращаясь и
= / ,
если базовое звено движется поступательно.
Здесь q – номер какого либо из компонентов , отличного от нуля.
Тогда
=U0 , =L0
и формулы (5.3) становятся применимыми для всех i от 0 до m.
Если кинематическая пара, соединяющая первое и базовое звенья ММ, поступательная, то согласно соотношениям (2.6.1 – 2.6.2) [7],
=Ki , и = Ki ( -Dp )+ .
Тогда
Ui =KiU(i-1) ,
Li = Ki[ -DpU(i-1) ]+Mi .
Отсюда следует
Ui =KiUi-1 , Li=Ki[ -DpU(i-1)]+ Mi . (5.4)
Если в этих соотношениях определить Uo и Lo так, как описано выше для вращательных пар, то они становятся применимыми при всех i.
Определение элементов матрицы С по рекуррентным соотношениям (3) и (4) значительно упрощает процесс программирования решения задач динамики ММ на основе рассматриваемого метода.
С учетом блочной структуры матрицы С матрицу А удобно вычислять по формуле
А=СТФС= Фi Сi ,
где Ci = {Ui , Li }T – блок матрицы С первые три строки которого занимает Ui , а три нижние строки – матрицы Li .
Поскольку к звеньям ММ приложены две группы сил: внешние силы и их моменты и силы и моменты сил приводов , можно представить обобщенные силы в виде
= + ,
где ={gG1 , gG2 , …, gGp} – определяется только внешними силами, действующими на механизм.
Если i-1, i кинематическая пара является поступательной, то qGi= , где - сила, приведенная к центру i-1, i пары.
Если i-1, i кинематическая пара является вращательной, то qGi= , где - приведенный к оси i-1, i кинематической пары момент, определенный силами и моментами .
Вектор по определению является вектором обобщенных сил приводов ММ. Тогда система уравнений динамики ММ примет вид
A + ( Ds ) = + .
Следует помнить, что матрица Ds получается дифференцированием матрицы А по времени. Это не только осложняет процесс вычисления Ds при аналитическом дифференцировании А, но и снижает точность получаемого решения на компьютере при численном дифференцировании А.