- •Гидрогазодинамика Учебное пособие
- •Воронеж 2005
- •Введение
- •1. Основы гидростатики
- •1.1. Физические свойства жидкостей
- •1.2. Основные понятия и уравнения гидростатики
- •2. Основные понятия и уравнения гидродинамики
- •2.1. Определения кинематики жидкости. Неразрывность
- •2.2. Уравнения движения идеальной жидкости Эйлера
- •2.3. Уравнение Бернули
- •2.4. Примеры применения уравнения Бернулли
- •2.5. Уравнение количества движения
- •3 Потери напора и гидравлические сопротивления расчет трубопроводов
- •3.1 Режимы движения вязкой жидкости. Потери напора по длине трубы
- •3.2. Местные сопротивления и расчет трубопроводов
- •3.3. Гидравлический удар в трубах
- •4. Движение газа без скачков уплотнения
- •4.1 Исходные уравнения
- •4.2. Примеры применения теории одноразмерного изоэнтропического течения газа
- •4.3. Одномерное течение газа с трением
- •4.4 . Возмущения в дозвуковом и сверхзвуковом потоках. Характеристики
- •5. Скачки уплотнения
- •5.1. Прямой скачек
- •5.2. Косые скачки уплотнения
- •5.3. Взаимодействие сверхзвукового потока с ограничивающими поверхностями
- •6 Основы динамики идеальной несжимаемой жидкости
- •6.1. Кинематический анализ движения жидкости
- •6.2. Функция тока и потенциал скорости
- •6.3. Вихревое движение жидкости
- •6.4. Обтекание тел идеальной жидкостью
- •7.3. Подобие потоков при действии различных сил
- •8.1. Общие понятия и дифференциальные уравнения пограничного слоя
- •8.2. Интегральные соотношения и расчет пограничного слоя
- •8.3. Отрыв пограничного слоя и сопротивление при отрывном обтекании
- •9. Течения газа в диффузорах и эжекторах
- •9.1 Диффузоры
- •9.2. Эжекторы
- •Библиографический список
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
6.2. Функция тока и потенциал скорости
Уравнение линии тока. Вектор скорости частицы w направлен по касательной к линии тока S; для плоского течения это показано на рис. 53. Пусть wx, wy — проекции вектора скорости на координатные оси. Из рис. 53 следует, что
, ,
где ds – элемент дуги линии тока. Составим производные пропорции:
, ,
откуда
. (6.5)
Мы получили уравнение линии тока для плоского течения. В случае трехмерного (пространственного) потока уравнения линии тока выводятся аналогично и имеют вид:
. (6.5а)
Функция тока для двухмерного течения. Дифференциальное уравнение линии тока плоского течения (6.5) может быть представлено в виде:
. (6.5б)
Введем такую «функцию тока» ψ(x, y), полный дифференциал которой равен левой части выражения (6.5б):
. (6.6)
Поскольку на линии тока согласно формуле (6.5б) dψ = 0, очевидно, что функция тока сохраняет вдоль линии тока постоянное значение.
Полный дифференциал функции двух переменных ψ имеет вид:
Рис. 53
Сравнивая это выражение с формулой (6.6), получаем, что производные функции тока определяются зависимостями:
, . (6.7)
Сама функция тока может быть определена интегрированием выражения (6.7).
Рис. 54
Потенциал скорости. Функцией скоростного потенциала или - сокращенно — потенциалом скорости φ (х, у, z) называется такая функция, частные производные которой равны составляющим вектора скорости по соответствующим координатным осям:
, , . (6.8)
Полный дифференциал функции φ равен
. (6.9)
Сама функция скоростного потенциала определяется интегрированием выражения (6. 9).
Рис. 55
Придавая функции φ определенные значения, получаем уравнения поверхностей равного потенциала, или эквипотенциальных поверхностей (в случае двухмерного течения — линий равного потенциала, или эквипотенциалей).
Рассмотрим связь потенциала скорости и функции тока. В случае плоского (двухмерного) течения wz = 0; дифференциал функции тока выражается формулой (6. 6), дифференциал функции скоростного потенциала, из равенства (6. 9), формулой
.
Пусть линия тока ψ = const такого течения представлена на рис. 55 сплошной линией, эквипотенциаль φ = const — пунктирной линией.
Проведем к этим линиям касательные в точке их пересечения А. Угол наклона прямой АВ к оси абсцисс определится согласно уравнению (6. 5б) выражением
;
угол наклона прямой AD выражением
.
Очевидно, что и угол β между касательными равен 90º.
Таким образом, функция тока ψ и потенциал скорости φ взаимно ортогональны; линии тока и эквипотенциали пересекаются всегда под прямым углом. Это позволяет по известным эквипотенциалям строить линии тока и наоборот. Семейства линий ψ (х, у) = const и φ (х, у) = const, нанесенные на один чертеж, называются гидродинамической сеткой течения. Пример такой сетки был приведен на рис. 54.
Сравнивая выражения для составляющих скорости плоского течения wx и wy через функцию тока ψ (6.7) и функцию скоростного потенциала φ (6.8), видим, что функции ψ и φ связаны условиями:
, . (6.10)
В математике эти условия называются условиями Коши—Римана. При их соблюдении оказывается возможным использовать для исследования функций ψ и φ математический аппарат теории функций комплексной переменной, который широко применяется в теории потенциального обтекания геометрически правильных тел.
В § 18 указывалось, что угловая скорость вращения жидкой частицы в плоском потоке определяется формулой (6.6). Если течение потенциально, т. е. существует некоторая функция скоростного потенциала φ, производные которой равны соответствующим компонентам вектора скорости, то согласно выражению (6.8) имеем
.
Равенство нулю угловой скорости вращения свидетельствует о том, что потенциальное течение — безвихревое, т. е. вращение частиц в нем отсутствует. Как будет показано в дальнейшем, у твердых поверхностей, ограничивающих поток, вследствие вязкости всегда формируются зоны вращательных движений, поэтому вблизи стенок теория потенциального обтекания неприменима. Однако для изучения внешнего потока теория потенциала используется с большим успехом.
Применим к потенциальному течению несжимаемой жидкости уравнение неразрывности (2.7):
.
Подставляя в него выражения для компонентов скорости через функцию скоростного потенциала (6.8), получаем
. (6.11)
Это уравнение известно в математической физике под названием уравнения Лапласа. Таким образом, для нахождения функции φ, полностью определяющей кинематику потенциального потока, необходимо решить уравнение Лапласа.
Дифференциальное уравнение в частных производных (6. 11) имеет бесчисленное множество решений, поэтому должны быть заданы дополнительные (граничные) условия для данной конкретной задачи. Как уже говорилось в § 2.2, к таким условиям относятся задание скорости в удалении от обтекаемого тела w∞ и условие равенства нулю на поверхности тела нормальной составляющей скорости. При этом предполагается, что жидкость обтекает тело без отрывов. У поверхности тела скорость направлена по касательной (имеет место «скольжение» жидкости).
В силу того, что сумма любого числа частных решений уравнения Лапласа является также его решением, оказывается возможным суммировать потенциалы скорости простейших течений для получения картины сложного течения. В этом состоит идея метода наложения потенциальных потоков.
Моделирование потенциальных течений. Исследование обтекания реальных тел аналитическими методами представляет в общем случае большую математическую сложность. Отыскание функции скоростного потенциала или функции тока, например, для лопаточных профилей наперед заданной формы оказывается весьма трудным. Эта задача существенно упрощается с использованием метода аналогий. Наибольшее развитие к настоящему времени получило исследование потенциальных потоков методом электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Он базируется на следующих положениях.
Согласно выводам теоретической электротехники распределение электрического потенциала в проводнике, как и распределение потенциала в безвихревом потоке идеальной жидкости, подчиняется уравнению Лапласа. Действительно, закон Ома, связывающий силу тока с распределением потенциала электрического поля, записывается в дифференциальной форме следующим образом:
; ; . (6. 12)
Здесь i — плотность тока, т. е. количество электричества, протекающее в 1 сек, через единицу площади проводника; V - электрический потенциал; С — коэффициент электропроводности (величина, обратная удельному сопротивлению).
По закону Кирхгофа, уравнение сплошности электрического тока имеет вид:
,
т. е. оно аналогично уравнению неразрывности (2.7). Подставим в него значение i из системы (6.12). При постоянной электропроводности среды C уравнение сплошности принимает вид:
, (6.11а)
т . е. мы опять получили уравнение Лапласа.
Рис. 56
Для решения задач плоского потенциального обтекания сейчас преимущественно используются модели, в которых в качестве электропроводного материала применяется бумага с графитовым покрытием. Для измерения потенциалов в различных точках модели измерительная цепь собирается по мостовой схеме (рис. 56). Постоянный или переменный ток от источника тока подводится к шинам Ш1 и Ш2. Параллельно шинам подключен потенциометр R, на скользящем контакте К которого можно задавать любые промежуточные значения электрического потенциала между потенциалами шин Ш1 и Ш2. Указателем равновесия моста является гальванометр Г, включенный в цепь щупа Щ. Прикасаясь щупом Щ к какой-либо точке графитированной бумаги, мы подаем на щуп электрический потенциал данной точки.
Граничные условия в моделируемом потоке жидкости таковы:
Вдали от обтекаемого тела на линиях, перпендикулярных вектору скорости (им соответствуют линии установки шин на модели, рис. 56), потенциал скорости φ сохраняет постоянное значение: φ = const.
На поверхности обтекаемого тела (ей соответствует вырезанный участок на электропроводной бумаге) .
Задавая на потенциометре различные значения электрического потенциала V, с помощью щупа находят на модели точки, принадлежащие линиям равного потенциала. В этих точках ток в цепи щупа равен нулю, стрелка гальванометра не отклоняется. В этом состоит «аналогия А», позволяющая построить эквипотенциали плоского потока.
В силу взаимной ортогональности функций скоростного потенциала φ и тока ψ на установке ЭГДА можно также смоделировать течение таким образом, чтобы линии равного потенциала электрического поля соответствовали линиям тока в жидкости, силовые линии — эквипотенциалям в потоке жидкости. В этом случае на участок модели, соответствующий обтекаемому телу, наклеивается электропроводным клеем модель сечения тела, вырезанная из материала, электропроводность которого во много раз превосходит электропроводность бумаги. Шины размещаются по сторонам модели вдоль потока. Построив с помощью щупа эквипотенциали электрического поля, мы получим картину линий тока в потоке жидкости. Этот способ получил название «аналогии B».
Построение гидродинамической сетки течения методом ЭГДА осуществляется быстро, не требует высокой квалификации исполнителей или сложного оборудования и в то же время обеспечивает высокую точность решения. Этим объясняется его широкое применение.