3. Расчет цифровых фильтров в частотной области

3.1. Синтез цифровых фильтров

Проектирование аналоговых фильтров состоит в решении задачи аппроксимации и задачи собственно синтеза. В первой задаче отыс­кивается передаточная функция реализуемого фильтра, которая являлась бы аппроксимацией некоторой выбранной идеальной харак­теристики. Например, «идеальный» фильтр нижних частот должен обладать прямоугольной амплитудно-частотной характеристикой. Так как такую функцию невозможно реализовать с помощью резисторов, емкостей и индуктивностей, приходится искать удобную аппроксима­цию. Часто это можно сделать определением соответствующего местоположения полюсов и нулей в комплексной частотной области. После того как получены полюсы и нули, необходимо найти проце­дуру синтеза для практического осуществления передаточной функции реальными элементами. Например, хотя имеется возможность, задавая пары полюсов и нулей, реализовать каждую из них с помощью простых резонансных схем и затем соединить эти схемы каскадно или параллельно, такая процедура без тщательной развязки друг от друга каждой пары комплексных полюсов и нулей с помощью операционных усилителей. По этой причине в теории много усилий направлялось на то, чтобы разработать методы син­теза цепей, при которых не требуется развязки схем.

Задача аппроксимации для цифровых фильтров по идее не отли­чается от такой же задачи для аналоговых фильтров. Однако по­скольку цифровым элементам присуще свойство развязки резонато­ров, то цифровую цепь можно всегда реализовать в виде каскадных или параллельных комбинаций пар полюсов и нулей, вследствие чего изящные процедуры синтеза аналоговых цепей оказываются не­нужными для синтеза цифровых фильтров. Читатель, не знакомый с методами расчета фильтров, несомненно, получит большую пользу от изучения проблемы аппроксимации при расчете аналоговых фильтров; к этой задаче имеется много стандартных подходов.

Приведенные выше рассуждения не следует понимать так, что конкретный способ реализации данного цифрового фильтра не является важным. В гл. 4 будет показано, что эффекты шумов квантования зависят от выбранной структуры. Проблема синтеза является реальной и зависит от многих условий, которые, однако, отличаются от условий, налагаемых в аналоговом случае. После некоторого опыта работы с цифровыми фильтрами разработчик может обычно принимать разумные решения, связанные с синтезом. На протяжении всей книги авторы стремились освещать затронутые выше проблемы, но им все же не удалось изложить в ней все известные формальные методы синтеза. В некоторой степени это удалось сделать лишь применительно к проблеме аппроксимации, что будет продемонстрировано в настоящей главе.

3.2. Различные методы расчета цифровых фильтров

Taк как имеется обширная информация по расчету непрерывных фильтров, то полезным подходом к расче­ту цифровых фильтров является отыскание системы разностных уравнений, имеющей такую системную функцию , которая в значительной степени напоминала бы известные налоговые системные функции. В работе Гуревича дан метод реализации этой идеи с применением принципа «инвариантности импульсной харак­теристики». Под этим подразумевается то, что дискретные составляющие отклика полученного цифрового фильтра на единичный импульс представляют собой отсчеты непрерывной импульсной характеристики за­данного непрерывного фильтра.

Цифровые фильтры могут определяться с помощью возможной аналогии или исходя из требуемого вида квадрата модуля передаточной функции путем исполь­зования процедур, сходных с процедурой расчета непре­рывных фильтров Баттерворта и Чебышева. Этот метод будет рассмотрен ниже, а условия реализуемости фильт­ров при этом методе рассматриваются в приложении, помещенном в конце данной главы.

При другом способе, применяемом различными исследователями, для приведения задачи расчета цифровых фильтров к задаче расчета непрерывных фильтров используется конформное отображение. Будем связывать этот способ с билинейными преобразования­ми, хотя можно применять и другие преобразования. И, наконец, метод, называемый частотной выборкой, основывается на использовании особых свойств элемен­тарного цифрового фильтра. Частотная характеристика этого элементарного фильтра имеет сходство с функци­ей , а его фазочастотная характеристика линейна. На основе соответствующего комбинирования таких элементарных фильтров можно разработать простой метод расчета цифровых фильтров самых разнообраз­ных видов.

Если одни и те же требования к фильтрации могут быть в одинаковой степени удовлетворены несколькими различными цифровыми фильтрами, то выбор опреде­ляется скоростью выполнения соответствующих вычис­лительных программ. Важным фактором, влияющим на быстродействие, является число умножений (исключая операции умножения на такие коэффициенты, как или , которые вычислительные машины могут выпол­нять очень быстро). Некоторые цифровые фильтры могут удовлетворять по существу тем же требованиям, что и другие фильтры, но при значительно меньшем количе­стве умножений, приходящихся на один отсчет выходного сигнала.