7.2. Диссипативные системы

Рассмотрим автономные системы. Такая система, если к ней можно применить принцип Гамильтона, должна быть консер-вативной. Однако оказывается, что в линейном случае можно с помощью искусственного приема распространить действие принципа Гамильтона и на неконсервативные системы, в частности на системы с диссипацией (рассеянием) энергии (например, с трением). Для этого к исходной системе мысленно присоединяется «зеркально отраженная» система, поглощающая ту энергию, которую первая система выделяет. Ясно, что вторая система должна быть с отрицательным трением. Тогда полная система, состоящая из реальной системы и присоединенной к ней, консервативна и допускает применение приципа Гамильтона.

Будем рассматривать набор координат , опреде-ляющий положение системы, как числовой вектор и допустим, что дифференциальные уравнения движения системы в матричной форме имеют вид

, (71)

где M, R, K – постоянные квадратные матрицы порядка n. В простейшем случае задачи о системе упруго связанных осцилляторов матрица M - диагональная. Тогда «зеркально отраженная» система описывается уравнением

, (72)

где звездочка означает транспонирование матрицы. Перемена знака перед средним членом имеет физический смысл замены положительного трения на отрицательное.

Можно непосредственно проверить, что уравнения (71) и (72) представляют собой уравнения Эйлера для функционала

.

(При доказательстве этого следует иметь в виду, что если под понимать числовой вектор с элементами , то ). Таким образом, можно принять за функцию Лагранжа

.

Вычисляя импульсы по переменным и по переменным , а затем функцию Гамильтона, получим

; ;

.

В силу общей теории, рассмотренной выше, эта функция принимает постоянное значение вдоль любой пары решений уравнений (71) и (72).

7.3. Принцип минимума потенциальной энергии

Будем рассматривать только автономные консервативные системы. Возьмем сначала систему с конечным числом степеней свободы и обобщенными координатами . Пусть система находится в состоянии равновесия в положении . Так как такое состояние можно считать частным случаем движения, то к нему можно применить принцип Гамильтона и вытекающие из него уравнения Эйлера, которые в данном случае имеют вид

.

Таким образом, возможные положения равновесия – это точки стационарности потенциальной энергии. В отличие от предыдущих задач здесь существенную роль будет играть характер рассматриваемой стационарной точки – минимум, максимум, минимакс. В самом деле, пусть в точке функция имеет изолированный локальный минимум. Тогда можно показать, что положение равновесия в такой точке будет устойчивым по Ляпунову. Это значит, что если в начальный момент времени бесконечно мало изменить координаты и придать системе бесконечно малые скорости , то система будет продолжать оставаться в бесконечной близости от на протяжении дальнейшего времени.

Действительно, заключим в произвольно малую окрестность области с границей . Наименьшее значение функции на границе будет превосходить значения . Но тогда при произвольном достаточно малом изменении начальных данных, полная энергия системы будет меньше . А так как полная энергия системы не зависит от времени, то система никогда не сможет достичь какой либо из точек , т. е. всегда должна оставаться в окрестности , что и требовалось доказать.

Замечание. Такое доказательство пригодно не только для консервативных, но и для диссипативных систем.

С другой стороны можно показать, что если функция имеет при максимум или минимакс, то состояние равновесия системы будет неустойчивым.

Таким образом, задача о нахождении положений равновесия и определения их устойчивости для систем с конечным числом степеней свободы приводит к нахождению и исследованию стационарных точек функции от аргументов. Поэтому аналогичная задача для сплошных сред, для которых , решается методами вариационного исчисления. При этом для выявления устойчивости состояния равновесия, если это не ясно из смысла постановки задачи (например, из физических соображений), приходится применять достаточные признаки минимума функционала.

Пример 23. Исследовать форму равновесия однородной нити, подвешенной в однородном поле силы тяжести.

Решение. Будем считать, что нить имеет линейную плотность , не растяжима и не сопротивляется изгибу. Пусть ее концы имеют координаты (-b, 0) и (-b, 0). Тогда в силу сказанного, задача сводится к минимизации функционала

при интегральной связи

(L задано, L>2b) и граничных условиях .

Стандартное решение задачи приводит к общему решению уравнения Эйлера

Это решение и служит обоснованием названия «цепная линия». Применение граничных условий и уравнения связи дает искомое частное решение

, где .

Левая часть уравнения при изменении от 0 до монотонно убывает от до , поэтому получаем ровно одно состояние равновесия.

Пример 24. Исследовать потерю устойчивости сжатой балкой.

Решение. Пусть конец балки S=0 жестко заделан и распределенные внешние силы отсутствуют. К свободному концу S=l приложена сосредоточенная сжимающая внешняя сила , параллельная оси х. Обозначим через угол наклона элемента стержня к оси х. Тогда в силу n.6.6 получим выражение для потенциальной энергии изогнутого стержня.

Этот функционал рассматривается при граничных условиях

Уравнение Эйлера имеет вид

Видим что достаточно ограничиться рассмотрением функции , не переходя к декартовым координатам. Выясним, будет ли экстремаль придавать минимальное значение функ-ционалу при заданных граничных условиях. Задача сводится при этом к установлению знака наименьшего собственного значения линеализированного уравнения Эйлера, т.е. значения , при котором краевая задача

(*)

имеет нетривиальное решение. Непосредственное интегрирование показывает что

Таким образом, критическим значением сжимающей силы служит

(**)

Если P< то прямолинейное положение равновесия устой-чиво, если Р> – неустойчиво.

Обычно бывает удобнее пользоваться безразмерными комбинациями физических параметров так как указание одной лишь сжимающей силы Р еще не говорит о том устойчива ли балка, насколько она близка к потере устойчивости и т.п.

В рассмотренном примере такой комбинацией служит «безразмерная сила»

Она пропорциональна физической силе, но содержит и менее подвижные параметры Критическим значением для нее служит число

В более сложных задачах приходится применять приближенные вычисления . Если в задачу входит параметр , то часто бывает, что при некоторых его значениях устойчивость ясна из физических или каких-либо других соображений. Если вычислить , начиная от , то точка перемены знака и даст

Иногда в задаче с параметром удобнее поступать иначе. Обычно собственные значения зависят от непрерывно. Тогда, меняя знак, они должны обращаться в нуль. Обратно, если функция при некотором значении обращается в нуль, то при переходе через она обычно меняет знак (если не выполнено дополнительное равенство ). Поэтому для нахождения в задаче на собственные значения можно положить , найти возможные значения , из которых ближайшее к и будет . Например, если в задаче (*) перейти к безразмерной длине и положить , получим (см. (**))

,

откуда находим возможные значения

....

Так как при малых р>0 будет устойчивость, то