§6. Наибольшее и наименьшее значения

ФУНКЦИИ

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса).

Наибольшее и наименьшее значения функции достигаются либо в критических точках, лежащих внутри промежутка, либо на его концах. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции , следует вычислить ее значения в критических точках, лежащих внутри и в точках a и b, затем выбрать среди них наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Если в промежутке, конечном или бесконечном, одна критическая точка и в ней максимум (минимум), то в ней наибольшее (наименьшее) значение.

Замечание 2. Если функция задана и непрерывна на некотором промежутке, не являющемся замкнутым, то среди значений на этом промежутке может не быть наибольшего и наименьшего.

Пример 6.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на указанных промежутках:

1) на [–1; 3];

2) на [-2;2];

3) на [1;e].

Решение. 1) Функция дифференцируема на всей числовой оси. Найдём стационарные точки

.

Стационарными точками являются x₁ = –2, x₂ = 0, x₃ = 2, из них лишь x₂ = 0 и x₃ = 2 принадлежат промежутку [–1; 3] . Найдём значения функции в точках x = 0, x = 2, а также на концах отрезка: f(0) = 0, f(2) = =16 – 32 = –16, f(-1) = 1 – 8 = –7, f(3) = 81 – 72 = 9. Сравнив полученные значения, находим: , .

2) Найдем производную . Она равна нулю в точках , принадлежащих отрезку [-2;2]. Вычислим , а также значения функции на концах отрезка . Сравнивая полученные значения, находим

, .

3) Найдем производную Она обращается в нуль при Точка не лежит внутри промежутка [1;e]. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений надо вычислить значения функции на концах промежутка. Имеем Следовательно, наибольшее значение равно е, наименьшее значение равно 0.

Пример 6.2. Положительное число а разложить на два положительных слагаемых так, чтобы сумма кубов была наименьшей.

Решение. Пусть первое слагаемое равно х, тогда второе слагаемое равно (а-х). Составим функцию По смыслу задачи . Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции на отрезке [0,a] . Найдем производную Производная обращается в нуль в точке . Вычислим Сумма кубов будет наименьшей, если слагаемые равны друг другу и равны .

Пример 6.3. В трудовом коллективе заработная плата каждого рабочего Q (рублей) и число х занятых в производстве рабочих связаны между собой соотношением где L и а- постоянные, характеризующие производственные возможности коллектива. Согласно «золотому правилу роста» х следует определять так, чтобы Q принимало наибольшее из возможных значений. При L=1500, a=16000 найти по указанному правилу число рабочих, если дополнительно известно, что трудовой коллектив располагает N рабочими местами (N=15, 18,25).

Решение. Исследуем функцию Q(х) на экстремум: , если или Так как при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум функции Q(х). На отрезке [1,15] функция Q(х) монотонно возрастает, следовательно, наибольшее значение достигается на правом конце отрезка при ; на отрезке [1,18] она также возрастает, следовательно, наибольшее значение достигается при ; на отрезке [1,25] наибольшее значение достигается в точке максимума

_{Итак, наибольшая заработная плата рабочих достигается, если на участках использовать 15, 18, 20 рабочих мест.}

Пример 6.4. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит, ось которого расположена на перпендикуляре к плоскости круга, проходящем через его центр, выражается формулой , где а- радиус круга, х- расстояние от центра круга до магнита (0<х<+∞), c- постоянная. При каком значении х величина F будет наибольшей?

Решение. Найдем производную Она имеет один положительный корень При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке функция имеет максимум. Поскольку критическая точка одна, то в ней будет наибольшее значение функции. Значит величина F- наибольшая при

Задачи для самостоятельного решения

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках и в указанных интервалах

1. 2.

3. 4.

5.

6. Из углов квадратного листа картона размером см² нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы согнув лист по пунктирным линиям, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

7. Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?

8. Ряд опытов привел к n различным значениям для исследуемой величины А. Часто принимают в качестве значения А такое значение х, что сумма квадратов отклонений его от имеет наименьшее значение. Найти х удовлетворяющее этому требованию.

9. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

Ответы: 1. 8 и 0; 2. 2 и -12; 3. 10 и 6; 4. Наибольшее значение равно 1 , наименьшего нет;5. и 0; 6. 3 см; 7. 60⁰;

8. Искомое значение равно среднему арифметическому результатов измерений ;

9. В 3 км от лагеря.