- •Программа курса “алгебра и геометрия ” (первый семестр) Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры
- •Индивидуальные задания Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Задача №4
- •Задача №5
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •Составители: Бырдин Аркадий Петрович
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №5
Решить систему линейных уравнений двумя способами
методом Крамера;
используя обратную матрицу.
Решение. 1) Решим систему уравнений методом Крамера. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
находится по формулам
,
где
(предполагается, что Δ ≠ 0),
, , .
Для данной системы уравнений имеем
Вспомогательные определители
, ,
Решение системы уравнений
.
2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
,
где
Решение матричного уравнения имеет вид
,
где – матрица, обратная к матрице А. Заметим, что поскольку определитель матрицы А не равен нулю ( , см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно, имеет обратную.
Обратная матрица находится по формуле
,
где Δ – определитель матрицы А, – алгебраическое дополнение элемента определителя матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения:
Таким образом,
,
откуда
Следовательно, , , .
Задача №6
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
Разделим первое (разрешающее) уравнение на 3. Затем, последовательно умножая его на -2, -4, -5, прибавим его ко второму, третьему и четвертому уравнениям исходной системы. В результате получим систему, в которой неизвестное исключено из второго, третьего и четвертого уравнений
Теперь второе уравнение будет разрешающим с разрешающим коэффициентом . Разделим второе уравнение на и прибавим преобразованное второе уравнение, умноженное последовательно на и , к третьему и четвертому уравнениям системы. В результате получим систему, в которой неизвестное исключено из третьего и четвертого уравнений
или
Разделим третье уравнение на и прибавим преобразованное третье уравнение, умноженное на , к четвертому уравнению системы. В результате получим систему, в которой неизвестное исключено из четвертого уравнения
или
Приведение исходной системы уравнений к треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса. Далее реализуем обратный ход метода Гаусса.
Подставляя значение в третье уравнение, найдем
Найденные значения и подставим во второе уравнение и определим
Зная , и , из первого уравнения определим
Таким образом, , , , .
Задача №7
Перед решением задачи 7, советуем изучить следующий материал.
Общим уравнением кривой второго порядка называется уравнение вида
, (1)
где коэффициенты и - любые числа и, кроме того, числа и не равны нулю одновременно.
Попытаемся упростить это уравнение путем перехода к другим координатам. В результате преобразования нужно добиться:
1) Чтобы в группе старших членов исчез член с произведением текущих координат.
2) Чтобы число членов первой степени стало наименьшим, а если возможно – совсем их уничтожить.
3) Если возможно уничтожить свободный член.
В результате мы получим уравнение кривой второго порядка, называемое каноническим.
а) Прежде всего попытаемся упростить уравнение (1) путем параллельного переноса координатных осей. Перенесем начало координат в точку , которую пока будем считать произвольной. Из формул преобразования при параллельном переносе следует
, (2)
где и - новые координаты произвольной точки. Подставляя (2) в (1), получим
где .
В преобразованном уравнении (3) члены первой степени исчезнут, если и подобрать так, чтобы удовлетворялись уравнения
. (4)
Обозначим буквой определитель системы (4)
.
Этот определитель составлен из коэффициентов при старших членах уравнения (1) и называется дискриминантом старших членов этого уравнения. Если , то система (4) совместна и имеет единственное решение . С учетом (4) уравнение (3) примет вид
(5)
где свободный член с учетом (4) можно преобразовать
или
. (6)
Вернемся к уравнению (5). При замене на его левая часть не меняется. Это значит, что если точка лежит на кривой, определяемой уравнением (5), то и симметричная ей точка также лежит на этой кривой. Но точки и симметричны относительно точки . Поэтому точка в этом случае называется центром симметрии или просто центром данной кривой. Теперь становится очевидным геометрический смысл преобразования, при котором исчезают члены первой степени: начало координат переносится в центр кривой.
Определение. Кривая второго порядка, имеющая единственный центр, называется центральной. Признаком центральной кривой служит неравенство .
б) Продолжим упрощение уравнения (5). Попытаемся уничтожить член, содержащий произведение путем поворота перенесенных осей на некоторый угол . Из формул преобразования координат при повороте осей следует
, (7)
.
Подставляя (7) в уравнение (5) и приводя подобные, получим
В уравнении (8) члены с произведением исчезнут, если угол поворота выбрать так, чтобы коэффициент при обратился в нуль
,
или
.
После деления на , получим
. (9)
Уравнение (9) является квадратным уравнением относительно . Решив его, в общем случае мы найдем два корня: и . Однако в формулах для поворота (7) фигурируют и . Зная , их легко найти по формулам тригонометрии
. (10)
Знак выбирается в зависимости от того, в какой четверти находится угол, определяемый соответствующим .
В системе координат, повернутой на угол , опреляемый по (10), уравнение (8) примет вид
, (11)
где и - постоянные коэффициенты при и в уравнении (8). Уравнение (11) представляет собой канонический вид общего уравнения центральной линии второго порядка.
Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение
. (а)
Решение. Здесь . Прежде чем использовать изложенную схему, нужно убедиться, что данное уравнение представляет центральную линию второго порядка. Составим определитель . Следовательно, данная линия центральная и для освобождения в ее уравнении от членов первого порядка перенесем начало координат в центр этой линии. Его координаты удовлетворяют уравнениям
Центр линии располагается в точке . Подсчитаем, чему будет равен свободный член после переноса начала координат в т. : . Само уравнение после применения параллельного сдвига , примет вид
. (б)
Для освобождения от члена, содержащего произведение , применим преобразование поворота осей на некоторый угол
,
.
Для определения конкретного значения угла имеем уравнение
или .
Отсюда и . Выберем положительное значение , что соответствует острому углу поворота осей . Тогда . Формулы поворота в этом случае имеют вид
,
. (в)
Подставляя (в) в (б), получим
.
Раскрывая скобки и приводя подобные, имеем
,
, .
Делим на (-16), тогда .
Получено каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью , мнимой . Выполним последовательное построение этой гиперболы (рис. 6).
Рис. 6
Замечание. Из сопоставления с классификацией линий второго порядка получаем, что уравнение центральной линии может быть только эллиптического или гиперболического типа .
Для уравнения параболического типа . Схема приведения к каноническому виду уравнения центральной линии здесь не годится. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей на угол при помощи формул
,
.
Угол поворота определится из уравнения
.
В преобразованном уравнении исчезнет член с произведением . Дальнейшее упрощение преобразованных уравнений достигается путем параллельного переноса уже повернутых осей.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение
. (а)
Решение. Здесь . Вычислим . Данная линия принадлежит к параболическому типу. Для освобождения от члена, содержащего произведение координат, повернем оси на угол , определяемый из уравнения . В нашем случае или . Его решения и . Возьмем первое значение . В этом случае .
Преобразование координат будет иметь вид
,
. (б)
Подставляя (б) в (а), получим
, или .
Данное уравнение не содержит члена с произведением . Дальнейшее упрощение производится с помощью параллельного переноса координатных осей. Для этого выделим полный квадрат по переменной
или
.
Приводя подобные, получим
; ;
.
Введем новые координаты и :
, .
Тогда последнее уравнение примет вид
.
А это - каноническое уравнение параболы с параметром и с вершиной в т. в системе . Выполним последовательное построение этой параболы (рис. 7).
Рис. 7
Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение
.
Решение. Здесь . Вычислим . Данная линия принадлежит к эллиптическому типу. Прежде всего освободимся от членов с первой степенью переменных, для чего начало координат перенесем в центр данной линии. Его координаты найдем из системы:
Преобразование параллельного переноса будет иметь вид:
, . В этом случае . В системе уравнение линии приобретает вид (*).
Для освобождения от члена с произведением , проведем поворот координатных осей на угол . Его найдем из уравнения . Его решение и . Возьмем, например, первое значение . Тогда . Преобразование поворота будет иметь вид
,
.
Подставляя и в уравнение (*), получим
; .
Получили каноническое уравнение эллипса. Выполним последовательное построение этого эллипса (рис. 8).
Рис. 8