2.2. Расчетные модели цифровой системы управления с учетом дискретности по уровню

При любом способе построения ЦСУ дискретное представление значений цифровых переменных, определяемое конечным числом их разрядов, вносит отличие в преобразование сигнала по сравнению с непрерывными СУЭП. Эта так называемая дискретность по уровню, или квантованность по уровню, может оказывать существенное влияние на динамические и точностные показатели электропривода с ЦСУ. Поэтому целесообразно оценить влияние данной дискретности на преобразование сигнала в цифровом элементе. Наибольшая квантованность сигнала имеет место в таких преобразовательных элементах, как цифровые датчики, представляющие собой аналогово-цифровые преобразователи (АЦП) и цифроаналоговые преобразователи (ЦАП).

Рассмотрим АЦП. Квантованность по уровню выражается в многоступенчатой характеристике управления (рис. 2, а).

Рис. 2. Характеристика управления (а), уточненная (б) и упрощенная (в) расчетные модели АЦП

Такая характеристика вносит нелинейность в ЦСУ. Передаточный коэффициент АЦП, представляющий собой отношение единицы выходной величины к единице входной величины (∆х₀)

k_ацп = 1/ x₀ =  x₀^-1 (1)

определяет только усредненную выходную переменную

у_ср = k_ацп x. (2)

Если заменить выходную переменную у на переменную х' в масштабе входной величины х, то разность

х' – х = х_п (3)

определит помеху от квантованности по уровню в виде периодической функции от х. Тогда описание нелинейной характеристики АЦП будет определяться выражениями

(4)

которым соответствует расчетная модель АЦП, приведенная на рис. 2, б.

Средний квадрат ошибки от квантования будет определяться как дисперсия помехи

(5)

При интегральной оценке влияния помехи квантования расчетная модель АЦП упрощается (рис. 2, в). Преобразователь представляется линейным звеном, на входе которого кроме полезного сигнала х действует помеха х_п типа «белого шума» с равновероятными значениями в пределах 0,5х₀... 0,5х₀ с корреляционной функцией

(6)

где (t) – дельта-функция, и спектральной плотностью, равной дисперсии помехи:

(7)

В таком представлении АЦП влияние помехи от квантования сигнала можно учесть интегральной оценкой ошибки регулирования х координаты электропривода

(8)

где – модуль передаточной функции системы регулирования по каналу помехи квантования, равный

Если при описании АЦП ограничиться усредненной характеристикой управления (2), то эффект квантования не будет учитываться в преобразовании сигнала в АЦП.

Таким образом, имеются три варианта расчетной модели АЦП с квантованным по уровню выходным сигналом:

модель 1 – нелинейное звено с многоступенчатой релейной характеристикой управления (см. рис. 2, а), характеризуемой структурной схемой, показанной на рис. 2, б;

модель 2 – линейное звено с дополнительным сигналом в виде помехи, имеющей вероятностный характер типа «белого шума» с постоянной спектральной плотностью, равной дисперсии помехи (см. рис. 2, в);

модель 3 – линейное непрерывное звено без учета квантованности в соответствии с выражением (2).

Все сказанное в отношении АЦП распространяется и на ЦАП лишь с тем отличием, что входной величиной ЦАП является безразмерная цифровая переменная у, а выходной – размерная квантованная по уровню переменная х. Следовательно,

х_ср = k_ЦАПy, (9)

где k_ЦАП = х₀ – передаточный коэффициент ЦАП (х₀ – дискретная единица выходной переменной ЦАП).

Выбор той или иной расчетной модели АЦП или ЦАП можно выполнить по уровню искажения полезного сигнала, проходящего через квантованный преобразователь. Уровень искажения оценивается отношением «полезный сигнал – шум»

k_s = х_т / х_пт, (10)

где х_т – амплитуда синусоидального полезного сигнала;

х_пт – амплитуда эквивалентной синусоидальной помехи квантования

и в логарифмическом масштабе

L_s = 20 lg k_s. (11)

Величины k_s и L_s связаны с числом уровней дискретности N и числом разрядов п преобразователей:

(12)

где х_mах – максимальный выходной сигнал преобразователя.

Для п = const

Для полезного сигнала, равного максимальному выходному сигналу преобразователя, k_s = .

Чем больше k_s, тем меньше искажения, вносимые в полезный сигнал квантованных преобразователей, тем большее число уровней дискретности у него требуется.

Можно выделить два значения k_s (k_smax и k_smin) такие, что

если k_s > k_smax, то ошибка от квантования пренебрежимо мала и используется модель 3;

если k_s < k_smin, то ошибка от квантования соизмерима с полезным сигналом и используется модель 1;

если k_smin < k_s < k_smax, то ошибка от квантования может учитываться приближенно с использованием модели 2.

Оценить количественно граничные значения k_smax и k_smin можно лишь с определенной долей условности. Так, принимая точность измерения полезного сигнала х_т = 1 %, получим k_smax = 100. При k_s > 100 амплитуда помехи от квантования х_пт меньше ошиб­ки измерения сигнала х_т и квантованностью по уровню можно пренебречь. Если принять значение k_smin = 10, то при k_s < 10 помеха от квантования х_пт составит более 10 % от сигнала х_т, т.е. будет соизмеримой с полезным сигналом, и потребуется уточненная расчетная модель 1.

Если для регулируемой координаты электропривода задана допустимая ошибка х_доп, то влияние квантования по уровню можно оценить по значению ошибки регулируемой координа­ты от воздействия помехи х_п:

= kх₀ < 0,1х_доп – квантование не учитывается (модель 3); = kх₀  х_доп

= kх₀  х_доп – квантование полностью учитывается (модель 1);

0,1х_доп < = kх₀ < х_доп – квантование учитывается интегрально (модель 2).

Здесь согласно выражению (8)