- •Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
- •Введение
- •Общие положения
- •1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
- •1. Справочный материал.
- •1.5. Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану:
- •2.Примеры решения задач
- •3. Задания для самостоятельной работы Устный тест
- •Письменный тест
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
- •394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла
1. Справочный материал.
1.1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной и неотрицательная функции y=f(x), снизу отрезком [a;b] оси Ох, а с боков отрезками прямых х=а, х=b (Рис.1)
Рис. 1
Площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определённого интеграла:
(1)
1.2. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на этом отрезке положительные значения (рис. 2). Тогда нужно разбить отрезок [a;b] на части, затем вычислить по формуле (1) соответствующие этим частям площади, полученные площади сложить.
S = S1 + S2
(2)
Рис. 2
1.3. В том случае, когда непрерывная функция f(x) < 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу:
(3)
Рис. 3
1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на [a;b] и f(x)>g(x) на всем интервале (а; b). В этом случае площадь фигуры вычисляется по формуле
S= (4)
Рис. 4
1.5. Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану:
по условию задачи делают схематический чертёж;
представляют искомую фигуру как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции;
записывают каждую функцию в виде ;
вычисляют площадь каждой криволинейной трапеции и искомой фигуры.
2.Примеры решения задач
1. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х + 3, у = 0, х = 1 и х = 3.
Решение:
Нарисуем линии, заданные уравнениями и заштрихуем криволинейную трапецию, площадь которой будем находить.
SАВСД=
Ответ: 10.
2. Фигура, ограниченная линиями у = -2х + 8, х = -1, у = 0, делится линией у = х2 – 4х + 5 на две части. Найдите площадь каждой части.
Решение: Рассмотрим функцию у = х2 – 4х +5.
у = х2 – 4х +5 = (х2 – 4х + 4) – 4 + 5 = (х – 2)2 + 1, т.е. графиком данной функции является парабола с вершиной К(2; 1).
SАВС= .
SАВКМЕ=
S1 = SАВКМЕ + SЕМС, S1 =
S2 = SАВС – S1, S2 = = .
Ответ: и .
3. Задания для самостоятельной работы Устный тест
1. Какая фигура называется криволинейной трапецией?
2. Какие из фигур являются криволинейными трапециями:
3. Как найти площадь криволинейной трапеции?
4. Найдите площадь заштрихованной фигуры:
5. Назовите формулу для вычисления площади изображенных фигур: