ГЛАВА 3. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1.Двойные интегралы

3.1.1.Задача об объеме цилиндрического тела

Рассмотрим в пространстве xOyz тело T , ограниченное снизу областью D , лежащей в плоскости xOy , сверху – поверхностью, являющейся графиком функции z = f (x, y) ( f (x, y)≥ 0 в области D ), а «по

бокам» – цилиндрической поверхностью, «параллельной» оси Oz и проходящей через границу области D (рис. 3.1)

Найдем объем этого тела. Если бы верхняя «крышка» тела T была плоской и параллельной плоскости xOy , то объем

вычислялся бы по формуле объема цилиндра V = Sоснh . Вычислим объем тела T , разбив его

на части, каждая из которых «почти» цилиндр. Рис. 3.1 Для этого разобьем область D произвольными

линиями на n частей. Пронумеруем эти части D1, , Dn и обозначим их площади ∆S1, ,∆Sn соответственно. Проведем через линии разбиения

цилиндрические поверхности, параллельные Oz . Тело Т разобьется на n кусков T1, ,Tn (рис. 3.2)

82

Обозначим через di наибольшее расстояние между точками кусочка Di (i =1, ,n ), di называют диаметром кусочка Di . Будем измельчать разбиение

области D , т.е. увеличивать n и уменьшать диаметры кусочков. При этом для каждого разбиения будем выбирать снова точки М1, ,Мn и вычислять

приближенное значение объема тела T по формуле (3.1). Назовем процесс измельчения разбиения неограниченным, если n →∞ и все di стремятся при

этом к нулю, т.е. max di → 0 . Если при неограниченном измельчении разбиения существует предел

nlim ∑n f (Mi )∆Si , max→d∞i →0 i=1

1≤i≤n

не зависящий от способов разбиения и выбора точек Mi (i =1, ,n ), то этот предел считают равным искомому объему, т. е.

3.1.2. Задача о массе неоднородной пластинки

Пусть D – плоская однородная материальная пластинка, т.е. ее толщина настолько мала, что ее массу можно определить формулой:

m = ρ s , где s – площадь, а ρ – плотность. Если пластинка неоднородна, то

понятие плотности определяется в каждой точке как предел средней плотности в окрестности радиуса R этой точки, когда R

координатной плоскости xOy . Тогда, очевидно, в каждой точке M (x, y) D плотность ρ(М) зависит от координат точки M , т.е. является функцией двух переменных: ρ(М)= ρ(x, y). Пусть плотность ρ(x, y) известна. Найдем массу

пластинки. Находить массу однородной пластинки мы умеем, поэтому пластинку D разобьем на мелкие куски и каждый кусок будем приближенно считать однородным – это позволит найти приближенное значение массы m пластинки. Разобьем область D xOy , занимаемую пластинкой, произвольными

линиями на n частей, перенумеруем их D1, , Dn и обозначим их площади

83

соответственно ∆S1, , ∆Sп . Выберем в куске Di произвольную точку Mi(i =1, ,n ) и вычислим плотность в этих точках: ρ(M1 ), , ρ(M n ) (рис. 3.5).

Тогда для массы m всей пластинки справедливо приближенное равенство:

Чем мельче разбиение, тем точнее равенство (3.3). Проведем неограниченное измельчение разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения приближенное значение массы по формуле (3.3). Если при неограниченном

измельчении разбиения области D сумма ∑n ρ(Mi )∆Si стремится к

i=1

конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел считают равным массе m пластинки D :

При сравнении формул (3.2) и (3.4), видно, что объем тела и масса пластинки вычисляются по «похожим» формулам. Эти формулы приводят к новому математическому понятию, называемому двойным интегралом.

84

3.1.3. Определение двойного интеграла

Пусть в области D плоскости xOy задана функция двух переменных z = f (x, y). Разобьем область D произвольными линиями на части D1, , Dn , выберем в каждой Di произвольную точку Mi (i =1, ,n ) и составим сумму

измельчения разбиения области D , вычисляя для каждого разбиения сумму Sn .

Определение. Если при неограниченном измельчении разбиения области D интегральная сумма (3.5) стремится к конечному пределу, не зависящему от способов разбиения и выбора точек Mi , то этот предел

Замечание. Из определения следует, что двойной интеграл не обязательно существует, поэтому естественно возникает вопрос, для каких функций f (x, y) и областей D предел (3.6) существует.

Теорема. Если z = f (x, y) непрерывна на замкнутой области D , то ∫∫ f (x, y)dxdy существует.

D

Если сравнить (3.6) с (3.2) и (3.4), то становится очевидным геометрический и механический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.

Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D, то

где V – объем тела T , найденный по формуле (3.2), то есть равенство (3.7) говорит о геометрическом смысле двойного интеграла.

Если f (x, y)≥ 0 и непрерывна в D , то эту функцию можно считать

где m – масса пластинки D . В этом состоит механический смысл двойного интеграла.

85

3.1.4. Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает свойствами, похожими на свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Двойной интеграл от суммы функций по области D равен сумме двух двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности:

∫∫(f1(x, y)+ f2 (x, y))ds = ∫∫ f1(x, y)ds + ∫∫ f2 (x, y)ds .

D D D

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла. Если a = const , то

∫∫af (x, y)ds = a∫∫ f (x, y)ds .

если эти двойные интегралы существуют (например, если f (x, y) непрерывна

в замкнутой области D ).

Свойство 4. Двойной интеграл от неотрицательной функции равен неотрицательному числу.

В главе 2 приводились доказательства свойств определенных интегралов. Свойства двойных интегралов доказываются аналогично.

3.1.5. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

86

Этот же объем можно вычислить по формуле (2. 30), т.к. тело «зажато» между плоскостями x = a , x = b , т. е.

где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, проходящей через точку x, x [a,b], параллельно плоскости yOz (или перпендикулярно оси Ox ).

Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, получаем, что площадь сечения S(x)

g2 (x)

S(x)= ∫ f (x, y)dy , (3.11)

g1(x)

где x фиксировано.

Подставляя S(x) из формулы (3.11) в формулу (3.10), находим V:

Сравнивая последнее выражение с выражением (3.9), получаем формулу для вычисления исходного двойного интеграла:

Правая часть формулы (3.12) называется повторным интегралом (интегралом от интеграла). В скобках стоит внутренний интеграл, - это определенный интеграл от функции f (x, y) по переменной y на отрезке

[g1(x); g2 (x)] ( x в этом интеграле фиксирована, т.е. считается постоянной).

Вычислив внутренний интеграл, получим некоторую функцию, зависящую от x. Определенный интеграл от этой функции по отрезку [a,b] – внешний интеграл. Вычислив внешний интеграл, получим значение повторного интеграла, а значит, учитывая (3.12), искомое значение двойного интеграла.

Формула (3.12) доказана в случае неотрицательности функции

87

z = f (x, y) в области D. Можно доказать ее справедливость для любой

непрерывной в D функции.

Замечание. Формула (3.12) справедлива для области D специального вида (см. рис 3. 6). Если область D не такая, но разбивается на конечное число областей D1, , Dn специального вида, то двойной интеграл по области

D (с учетом свойства 3 двойных интегралов) представим в виде суммы двойных интегралов по областям D1, , Dn , для вычисления которых

z = f (x, y) по переменной x (y считается постоянной) в пределах от h1(y) до h2 (y). В результате получается функция, зависящая от y. Затем от этой функции берется внешний интеграл по переменной y в пределах от c до d.

Пример 3.1. Вычислить ∫∫(x − 2y)ds , где D – область, ограниченная прямыми

D

88

Воспользуемся, например, первой формулой. Сначала вычислим внутренний интеграл, считая x константой:

=22 − 3 2 − 0 = 2 − 6 = −4 . 2

Ответ. ∫∫(x − 2y)ds = −4 .

D

Пример 3.2. Вычислить ∫∫xyds , где D ограничена линиями y = x2 и

D

y = 2 − x2 .

Строим область D. Она ограничена двумя параболами (рис. 3.11).

89

= 2x (4 − 4x2 )= 2x − 2x3 = 2(x − x3 ).

Подставляя найденную функцию вместо выражения в скобках во внешний интеграл, получаем