Методическое пособие 780
.pdfОстойчивостью судна называется способность его возвращаться в состояние равновесия после получения крена. Имея в виду сказанное, можем утверждать следующее:
-если для данного судна hм 0 , или, что то же, rм e , то это судно является остойчивым (рис. 1.21, б);
-если для данного судна hм 0 , или, что то же, rм e , то
такое судно является неостойчивым (рис. 1.21, в).
Для данного судна эксцентриситет e является постоянной величиной.
При небольшом угле крена (меньше, например, 15°) можно считать, что точка D1 перемещается по дуге окружности, опи-
санной из метацентра радиусом rм , причем сама точка M не меняет своего положения на оси плавания.
Как видно, для данного судна метацентрический радиус rм и метацентрическая высота hм считаются постоянными (в слу-
чае небольших кренов).
Можно показать, что метацентрический радиус
r |
I |
, |
(1.39) |
м V
где V – объем воды, вытесненной судном (объемное водоизмещение судна);
I – момент инерции площади грузовой ватерлинии (рис. 1.21, а) относительно горизонтальной продольной оси, проходящей через центр тяжести этой площади.
Ясно, что чем больше для данного судна величина rм (сравнительно с величиной e ), тем больше остойчивость судна.
51
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
2.1. Определения кинематики жидкости
Задачей гидродинамики является определение скоростей, ускорений и давлений жидкости в различных точках потока и в различные моменты времени t . В общем случае вектор скорости v , ускорение a и давление p являются функциями четырех переменных
v v( x, y,z,t ), a a( x, y,z,t ) p p( x, y,z,t ).
Если скорость и давление в любой фиксированной точке потока остаются неизменными во времени (т.е. являются функциями только координат x, y, z ), то течение называется установившимся. Пример установившегося течения – истечение жидкости из бака под постоянным напором. Если скорость и давление меняются со временем, то течение – неустановившееся. Например, если при истечении из бака убыль жидкости не восполняется, то напор, скорость и давление в любой точке постепенно уменьшаются, это течение неустановившееся.
2.1.1. Поле скоростей
Поле течения жидкости описывается скоростями и ускорениями жидких частиц во всем объеме занятом жидкостью.
Общеприняты следующие обозначения, соответственно: для скорости v ; для ускорения а .
v и а – являются функциями времени и координат в общем случае движения.
В декартовой системе координат их компоненты в проекциях на оси координат x, y,z соответственно записываются
52
u; |
v; ; |
|
|
|
. |
dx |
; |
d y ; dz ; |
Имеются два способа описания поля течения жидкости.
1. Метод Лагранжа, в котором координаты движущихся частиц записываются как функции времени, т.е. положение частиц в любой момент времени определяются системой уравнений
x f1( a,b,c,t ); y f2( a,b,c,t ); z f3( a,b,c,t ).
и, следовательно, скорости и ускорения запишутся как
u |
x |
; v |
y |
|
; |
z |
; |
|
|||||
t |
t |
t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dx |
2 x |
; |
dy |
2 y |
; |
dz |
|
2 z |
; |
||||
2t |
|
2t |
|
2 z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При этом начало координат должно оставаться неизменным.
2. Метод Эйлера, при котором фиксируется внимание на характеристиках течения в окрестности фиксированной точки потока, т.е. описание течения сводится к установлению мгновенной картины течения (распределения поля скоростей и ускорений).
Таким образом, основное различие заключается в том, что в методе Лагранжа координаты частицы записываются как функция времени, а в методе Эйлера скорости частиц в различных точках потока записываются как функция времени.
И, следовательно, координаты x, y, z в методе Эйлера – не-
зависимые переменные, а в методе Лагранжа – зависимые. Эйлерово поле скоростей записывается следующим обра-
зом
V ui v j k ,
53
где
u f1( x, y,z,t ); v f2( x, y,z,t ); f3( x, y,z,t ).
Изменение скорости частиц в окрестности некоторой точки запишется
du |
|
u |
u |
u |
v |
u |
|
u . |
|
t |
x |
y |
|||||
dt |
|
|
|
|
z |
И, следовательно
du ut dt uy dy uz dz .
Это полная производная, представляющая собой быстроту изменения скорости в данной фиксированной точке потока.
Здесь |
u |
– локальное ускорение, u |
u |
v |
u |
|
u |
– «кон- |
|
t |
|
x |
|
y |
|
z |
|
вективное» ускорение, которое связано с движением частицы в пространстве.
Любые другие свойства течения могут быть выражены аналогичным образом. Например,
d |
|
|
u |
|
|
. |
|
t |
y |
||||
dt |
|
|
|
z |
2.1.2. Установившееся движение и равномерное движение
Согласно правилам вычисления полной производной, для компонента ускорения имеем
|
a |
|
|
|
du |
|
u |
|||
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dt |
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
dv |
v |
|||||
|
y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
d |
|
||||||
z |
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
t |
|||||
|
|
|
|
|
u
u
u
u |
v |
u |
|
u |
; |
t |
|
y |
|
z |
|
v |
v |
v |
|
v |
; |
t |
|
y |
|
z |
|
|
. |
||||
t |
|
y |
z |
54
В векторной форме можно записать
a ax i dy j az k , |
|
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
dV |
|
|
V |
V V , |
|
|||||
|
|
|
t |
|
|||||||
|
dt |
|
|
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
|
j |
|
|
k |
|
|
. |
||
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
z |
|
Движение может быть установившимся, если локальное ускорение равно нулю. Движение равномерное, если «конвективное» ускорение равно нулю.
2.1.3. Координатные системы, движущиеся с вращением или ускорением
Под инерциальной координатной системой понимается система, неподвижно связанная с некоторыми неподвижными звездами Вселенной. Такая система является инерциальной. Более приемлемой системой для инженерных задач является система, связанная с Землей.
Рассматриваем подвижную систему x2 , y2 ,z2 относительно неподвижной системы x1 , y1 ,z1 . Начало отсчета перемещается
со скоростью |
|
d R |
, а оси вращаются со скоростью . |
|||||
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
V1 V2 u r; |
|
||
a1 |
dV2 |
|
|
d 2 R |
2 V2 r |
d |
r , |
|
|
2 |
dt |
||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
|
||
где 2 V2 |
– кориолисово ускорение; |
|
55
( r ) – центростремительное ускорение, возникающее благодаря вращению подвижной системы;
d |
r – вращательное ускорение, возникающее благо- |
dt |
даря угловому ускорению подвижной системы.
Рис. 2.1. Координатеные системы: 1 – частица; 2 – траектория частицы.
Указанная интерпретация непосредственно применима к системе связанной с Землей, начало координат этой системы находится в центре Земли.
Рассматриваем правую координатную систему, начало координат которой закреплено на поверхности земли, находящейся на широте . Тогда
a2 x dudt2 2 x 2 V2 sin 2cos ;
a2 y dvdt2 2 Rcos ysin zcos sin 2 u2 sin ;
a2 z d 2 2 Rcos ysin zcos cos 2 u2cos . dt
Величина кориолисового ускорения мала и ей пренебрегают. Переносное ускорение, обусловленное вращением Земли, принимается во внимание посредством ориентации по направлению кажущейся силы тяжести.
56
Тогда приходим к равенству
a1 a2 .
Тем самым мы рассматриваем Землю как неподвижную и в нашей координатной системе справедливы записанные выше уравнения для компонент ускорения.
2.1.4. Линии тока и траектории
Линии тока есть воображаемые линии, являющиеся геометрическим местом точек в пространстве, в каждой из которых векторы скорости в данный момент времени направлены по касательной к данной линии. Они указывают направление движения в каждой точке вдоль этой линии в данный момент времени.
Рис. 2.2. Схема движения: 1 – линия тока; 2 – траектория
Трубка тока есть малая воображаемая трубка, ограниченная линиями токов. При установившемся движении линии тока неподвижны относительно координатной системы и представляют собой траектории движущихся частиц.
При неустановившемся движении линии тока и траектории не совпадают. Исключение представляет случай однородного движения, когда все векторы скорости равны.
Рис. 2.3. Случай равных векторов скорости при движении
57
В случае плоского двумерного течения можно получить дифференциальное уравнение линии тока следующим образом
u dxdt ; v dydt ; dxu dyv .
Так как вектор скорости касательный к линии тока, то
V d r 0;
d r idx jdy kdz.
И, следовательно, в общем случае трехмерного течения имеем систему уравнений для линии тока
vdx udy; |
dx udz; dx |
|
dy |
|
dz |
; |
dz vdz . |
|
|
|
u |
v |
|
Этими уравнениями придется пользоваться непосредственно.
2.1.5. Понятие расхода жидкости
Мгновенную картину течения наглядно представляют линии тока (рис. 2.4а). В каждой точке линии тока вектор скорости направлен по касательной к ней. При установившемся течении линии тока совпадают с траекториями частиц, при неустановившемся течении они могут не совпадать.
Если провести линии тока через все точки элементарно малого контура, то образованная ими поверхность ограничит элементарную струйку (рис. 2.4, б). В элементарной струйке жидкость течет, не смешиваясь с соседними объемами, так как, по определению, векторы скорости направлены по касательной к ее поверхности. Площадь сечения струйки dF выбирают достаточно малой для того, чтобы вектор скорости v оставался в этом сечении неизменным по величине.
58
а) |
б) |
|
Рис. 2.4 |
Объем жидкости, протекающей через сечение струйки в единицу времени, называют элементарным расходом dQ . Он
равен произведению длины вектора скорости на площадь сечения струйки
dQ vdF. |
(2.1) |
Размерность расхода м3с .
Рассматривая поток жидкости, такой, например, как в трубе или канале, допустимо считать, что он состоит из большого числа элементарных струек. В этом случае сечение потока (в гидравлике его называют «живым сечением») равно сумме сечений элементарных струек. Расход потока есть сумма расходов струек, в пределе – интеграл по площади сечения
Q dQ |
vdF . |
(2.2) |
||||
F |
|
|
|
F |
|
|
При известном расходе Q легко определить среднюю ско- |
||||||
рость потока vср в данном сечении |
|
|||||
|
Q |
|
vdF |
|
||
v |
|
F |
|
. |
(2.3) |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||
ср |
F |
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
Для характеристики торможения потока твердыми стенками кроме сечения F в гидравлике вводятся еще понятия смо-
59
ченного периметра – периметр сечения в пределах соприкос-
новения с твердыми стенками трубы или канала, и гидравлического радиуса R , причем
R |
F |
. |
(2.4) |
|
|||
|
|
|
Размерность смоченного периметра и гидравлического радиуса – метры (м). Как видно из выражения (2.4), гидравлический радиус характеризует компактность сечения потока. Для круглой трубы радиуса r , например, гидравлический радиус
R |
r2 |
|
r |
. |
|
2 r |
2 |
||||
|
|
|
2.2.Неразрывность потока
2.2.1.Уравнение неразрывности для одномерного течения
Если в потоке между какими-нибудь двумя его сечениями количество жидкости не пополняется извне и не убывает (нет источников и стоков), то масса протекающей через эти два сечения жидкости сохраняется неизменной. Математически этот принцип выражается уравнением неразрывности (это название подчеркивает, что в рассматриваемых сечениях поток сплошной, не содержит полостей и разрывов).
Наиболее просто записывается уравнение неразрывности для установившегося одномерного течения, в котором скорость меняется только в направлении одной продольной координаты. Примерами одномерного течения являются элементарная струйка, движение в трубе и канале. Для элементарной струйки несжимаемой жидкости принцип сохранения массы выражается через постоянство объемного расхода (2.1) в струйке (рис. 2.4, б)
dQ vdF const. |
(2.5) |
60