Методическое пособие 780
.pdfK , т.е. скорость звука в однородной упругой среде, которая для воды составляет 1435 м/с, бензина 1116 м/с, масла 1400 м/с.
В нашем случае E и |
|
|
1 |
|
|
|
a есть скорость рас- |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 R |
|
||
|
|
K |
|
E |
пространения ударной волны в жидкости, которая заполняет упругий трубопровод. Это можно доказать, если рассмотреть элементарное перемещение ударной волны dx за время dt и применить теорему об изменении количества движения. Имеем
P0 Pуд P0 Sdt v0 0 Sdx .
Отсюда a dx Pуд – скорость распространения ударной dt v0
волны. Pуд 0a т.е. получаем формулу аналогичную полученному выражению.
Рис. 3.27. Элементарное перемещение ударной волны
Если скорость в трубопроводе гасится не до 0, а до некоторой конечной величины v , то будет иметь место так называемый неполный гидравлический удар и формула Н. Е. Жуковского принимает вид
Pуд a v0 v . |
(3.114) |
151
Эта формула справедлива, когда tзакр t0 24a , т.е. очень быстром закрывании крана, где t0 – фаза гидравлического
удара. При этом происходит так называемая прямой гидравлический удар.
Если tзакр t0 возникает непрямой гидравлический удар, при этом ударная волна возвращается к запорному устройству
раньше, чем оно полностью закроется и при этом P |
P |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уд |
|
уд |
В линейном предположении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
P |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
уд |
|
|
|
, |
|
|
|
(3.115) |
|||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
закр |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
уд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t0 |
|
|
|
2l |
|
|
|
2l v0 |
|
|
|
||
|
Pуд |
tзакр |
Pуд |
atзакр |
v0a |
tзакр |
, |
|
(3.116) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где P |
зависит от длины трубы и, в отличие от P |
, не за- |
|||||||||||||
уд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уд |
висит от a.
Особо следует рассмотреть так называемый тупиковый трубопровод, в котором возможно увеличение ударного давления в два раза.
Действительно, это утверждение можно проиллюстрировать следующим примером, представленном на рис. 3.28.
Рис. 3.28. Тупиковый трубопровод
При мгновенном открытии крана произойдёт увеличение давления в трубопроводе на
P |
P P . |
(3.117) |
уд |
1 0 |
|
152
Возникавшая ударная волна, согласно формуле Н. Е. Жуковского, будет перемещаться со скоростью
v |
Pуд |
. |
(3.118) |
|
|||
0 |
a |
|
|
|
|
В момент подхода к тупику давление во всём объёме жидкости возрастает на величину Pуд и жидкость приобретает ско-
рость v0 , в результате гашения которой, давление ещё возрастает на Pуд v0a. В результате в конце трубопровода возник-
нет новая отражённая волна, за фронтом которой давление возрастёт на 2 Pуд .
Если в конце трубопровода имеется объем V, заполненный жидкостью, например, силовой гидроцилиндр, то этот объем будет оказывать демпферное влияние и давление повышается меньше, чем в 2 раза. При весьма большом объеме V отражение волны практически не происходит.
Полученная формула для
допущения при её выводе, достаточно хорошо подтверждается экспериментом, это можно объяснить тем, что в случае внезапного торможения происходит интенсивный сдвиг слоёв жидкости и, как следствие, большая потеря энергии на внутреннее трение, которая и компенсирует избыток кинетической энергии за счёт неравномерности поля скоростей. Потеря энергии на трение и рассеивание энергии в процессе удара способствует затуханию колебаний.
Для борьбы с гидравлическим ударом предусмотрены следующие способы:
-увеличение времени срабатывания кранов для избежания прямого удара;
-установка компенсаторов в виде местных объёмов или гидроаккумуляторов;
-уменьшение скорости (увеличение d ) и уменьшение длины трубопровода.
153
4. ДВИЖЕНИЕ ГАЗА БЕЗ СКАЧКОВ УПЛОТНЕНИЯ
Соотношения термодинамики. При больших скоростях течения газа, сравнимых со скоростью звука, изменение скорости приводит к изменению плотности. Особенности такого движения изучаются газовой динамикой.
Как известно из курса технической термодинамики, основные параметры состояния газа – давление p , плотность и аб-
солютная температура T связаны для идеальных газов уравнением состояния
p |
RT , |
(4.1) |
|
|
|||
|
|
где R – газовая постоянная, Дж/(кг∙К). Для воздуха
R287,1 Дж/(кг∙К).
Вбольшинстве задач, рассматриваемых газодинамикой, процессы изменения состояния газа можно считать адиабатными; из-за их быстротечности они осуществляются без теплообмена с окружающими телами. При адиабатном процессе давление и плотность связаны соотношением
где k cp cv
|
p |
const , или |
p |
|
|
|
k |
|
|
|
, |
(4.2) |
|||||
|
k |
|
0 |
|||||
|
|
p0 |
|
|
|
|||
– показатель адиабаты; cp |
и cv |
– теплоемкости при |
постоянном давлении и постоянном объеме.
Для воздуха и других двухатомных газов k 1,4 , для перегретого водяного пара k 1,33 .
Используя уравнение состояния, получим для адиабатного процесса формулы связи между давлением, плотностью и температурой
154
T
T0
|
|
k 1 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
p0 |
k 1
;0
|
|
1 |
|
|
|
|
T |
|
k 1 |
|
p |
|
|
|
; |
|
|
|
p0 |
||||
T0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
T |
|
k 1 |
|
|
|
|
. (4.3) |
|
|
||||
T0 |
|
|
|
В задаче о движении газа в длинной трубе без теплоизоляции стенок процесс изменения состояния принимается изотермическим: длительный контакт со стенками трубы приводит к тому, что температура газа не отличается от температуры стенки. Для изотермического процесса
p const .
4.1.Скорость звука. Число Маха
Впункте 3.7.6 получены общие формулы для скорости распространения малых возмущений в жидкости, а именно
a |
|
E |
|
|
|
dp |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d |
Процесс изменения параметров газа в звуковой волне, которая представляет собой распространяющиеся в газе слабые возмущения давления и плотности, следует считать адиабатным. Из уравнения (4.2) имеем
p C k ; dp kC k 1d ; |
dp |
kC k 1 k |
p |
. |
d |
|
|||
|
|
|
Подставляя последнее равенство в формулу для скорости звука, получаем
a k p .
Используя уравнение состояния (4.1), введем в формулу для a температуру T
a kRT .
155
В частности, для воздуха, подставляя величины k и R , имеем
a 20,1 |
T . |
При температуре 15 C |
последняя формула дает |
a 340 м/с. |
|
Скорость звука – одна из важнейших механических характеристик газа. Законы его движения резко отличаются в зависимости от соотношения скорости газа v и скорости звука a .
Отношение |
|
|||
M |
v |
|
(4.4) |
|
a |
||||
|
|
|||
называется числом Маха. Течения, в которых v a и |
M 1, |
называются дозвуковыми. Если v a и M 1 , течение сверхзву-
ковое.
4.2. Уравнение энергии
Рассмотрим установившееся одномерное движение газа. Если единственной внешней силой, действующей на газ, является сила тяжести, то такое течение описывается дифференциальным уравнением (2.14). Вследствие малой плотности газа допустимо пренебречь в этом уравнении членом, учитывающим изменение высоты струйки над плоскостью сравнения, так как для частицы газа сила веса пренебрежимо мала по сравнению с силами инерции и давления.
Уравнение (2.14) приобретает вид
v2 |
|
|
dp |
0 . |
(4.5) |
||
d |
|
|
|
||||
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
Выражение (4.5) представляет собой уравнение энергии для газа, записанное в дифференциальной форме.
156
Считая течение адиабатным, выразим в последнем уравнении дифференциал давления через изменение плотности с помощью уравнения адиабаты (4.2)
dp kC k 1d ; dp kC k 2d .
Подставляя уравнение в (4.5) и интегрируя вдоль струйки, получим уравнение энергии в интегральной форме, или уравнение Бернулли-Сен-Венана (1839)
|
|
v2 |
|
|
|
k |
|
|
p |
|
const . |
(4.6) |
|
2 |
k 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Уравнение Бернулли-Сен-Венана можно представить |
|||||||||||||
иначе. Разделив его члены на g , получим |
|
||||||||||||
|
v2 |
|
|
|
k |
|
|
p |
const . |
(4.7) |
|||
|
2g |
|
|
k 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Сравнивая выражение (4.7) с уравнения Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости (2.16), видим, что отличие со-
стоит в множителе |
k |
при пьезометрической высоте |
p . По- |
k 1 |
явление этого множителя, который для воздуха, например, ра-
вен |
k |
|
|
1, 4 |
|
3,5 , связано с тем, что в потенциальную |
|
k 1 |
1, 4 1 |
||||||
|
|
|
энергию газа входит ещё и его внутренняя энергия. Иногда говорят, что в случае газа к пьезометрическому напору добавляется «температурный напор».
Выражая в уравнении энергии (4.6) отношение |
p |
через |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
уравнение состояния (4.1), получим |
|
|
|||||
|
v2 |
|
kRT |
const . |
|
(4.8) |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
k 1 |
|
|
157
Последнее равенство показывает, что при отсутствии теплообмена с внешней средой увеличение скорости вдоль струйки приводит к падению температуры газа и наоборот.
Используя формулу для скорости звука (4.5), уравнение энергии (4.6) можно представить в виде
v2 |
|
a2 |
|
const , |
(4.9) |
|
2 |
k 1 |
|||||
|
|
|
откуда ясно, что скорость движения газа и скорость звука взаимосвязаны: увеличение скорости течения приводит к уменьшению скорости звука. Вследствие адиабатного охлаждения она меньше скорости звука, соответствующей начальному состоянию газа, когда скорость равна нулю и температура наибольшая.
Выражение (4.9) позволяет выяснить смысл постоянной в правой части уравнения энергии. Действительно, в покоящемся газе v 0 и скорость звука достигает здесь своей наибольшей
величины ao . Следовательно, const |
a2 |
и уравнение энергии |
|||||||
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
||
может быть представлено в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
v2 |
|
a2 |
a2 |
|
|
(4.10) |
||
|
2 k 1 |
k 1 . |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Наконец, если использовать понятие энтальпии, или теплосодержания, газа i , рассматриваемое в термодинамике
i cpT |
k |
RT , |
||
|
|
|||
k 1 |
||||
|
|
то уравнение энергии (4.8) приобретает вид
v2 |
i const . |
(4.11) |
|
2 |
|||
|
|
Таким образом, потенциальная энергия газа выражается в различных формах уравнения энергии (4.6)-(4.11) с помощью различных взаимосвязанных параметров – давления, темпера-
158
туры, скорости звука, энтальпии. Ниже показаны примеры применения уравнения энергии в различных формах записи для решения задач одномерного течения.
4.3. Связь скорости газа с сечением потока. Сопло Лаваля
Выясним зависимость скорости течения от площади поперечного сечения потока. Для газа уравнение неразрывности (2.7), или уравнение постоянства массового расхода при установившемся течении имеет вид
|
|
|
|
vf |
|
const . |
|
|
|
(4.12) |
||||||||||||||||||
Логарифмируя и дифференцируя это равенство, получим |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
dv |
|
|
df |
|
0 , |
(4.13) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dF |
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.14) |
||||||||||
|
F |
v |
|
|
dv |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из уравнения энергии в дифференциальной форме (4.5) |
||||||||||||||||||||||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dv |
|
1 dp |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
что даёт после подстановки в уравнение (4.14) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dF |
|
|
|
dv |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
|
|||||||
|
F |
|
|
v |
|
dp |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Поскольку согласно ранее приведенной формуле |
dp |
a2 , |
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
имеем
159
|
dF |
|
dv |
v2 |
|
|
|
dv |
M 2 |
1 . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(4.15) |
||
|
F |
v |
|
2 |
|
v |
|||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из уравнения (4.15) следует, |
что изменение скорости dv |
при изменении сечения dF происходит по-разному для дозвукового и сверхзвукового течения. В дозвуковом потоке ( v a , M 1, рис. 4.1, а) знаки dv и dF в (4.15) противоположны: уменьшение сечения в конфузорном канале приводит к возрастанию скорости, а в диффузорном канале скорость по потоку уменьшается. При сверхзвуковом течении ( v a , M 1 , рис. 4.1, б) в конфузорном канале поток замедляется, в диффузорном
– ускоряется.
Рис. 4.1. Изменение скорости при разных числах Маха
Чтобы пояснить полученные результаты, которые для сверхзвукового течения кажутся неожиданными, сопоставим уравнения (4.15) и (4.14). Имеем
|
d |
|
|
|
|
|
|
M 2 |
|
. |
(4.16) |
|
|||
|
dv |
|
v
Поскольку левая часть равенства (4.16) всегда положительна, ясно, что знаки d и dv всегда противоположны: рост скорости приводит к уменьшению плотности. Но при дозвуковом течении ( M 2 1 ) скорость изменяется более быстро, чем плотность
160