- •Введение
- •Глава 1. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства
- •§2. Табличные интегралы
- •§3. Почленное интегрирование. Метод внесения под знак дифференциала
- •§4. Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен или квадратный корень из него
- •§5. Интегрирование рациональных дробей
- •§6. Замена переменной
- •§7. Метод интегрирования по частям
- •§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки
- •§10. Применение различных методов интегрирования
- •§4. Метод интегрирования по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы
- •и многие другие
- •Заключение
- •Библиографический список
сальной тригонометрической подстановки рекомендовано для интегралов вида
∫ dx . asinx +bcosx +c
Пример 31
dx
∫2cosx −sinx +3.
Сделаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
tg |
x |
=t , dx = |
|
|
2dt |
|
|
, sinx = |
|
2t |
|
|
, |
cost = |
1−t2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1+t2 |
1+t2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||||
|
∫ |
|
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
= |
||||||||
|
2cosx −sinx +3 |
(1+t |
2 |
|
|
1−t2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
−2t +5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 2 |
|
|
2 |
|
− 2 |
|
|
|
|
|
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d(t −1) |
|
|
|
|
|
|
t −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
x |
−1 |
|
|
||||||||
|
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
= arctg |
|
2 |
|
+ |
С = arctg |
|
|
|
|
|
|
+С. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(t −1)2 + 22 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
tgnx |
Замечание. Если в знаменателе будут |
sinnx |
|
и |
|
cosnx , |
то замена будет |
||||||||||||||||||||||||||||||
=t,при этом измениться только |
dx = |
|
|
|
2dt |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n(1+t2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§10. Применение различных методов интегрирования
1.Часто бывает, что данный интеграл можно взять различными способами.
Вэтом случае перебор методов надо начинать от простых к более сложным.
Пример 32
∫ xxdx2 +1.
а) применим самый простой из возможных ‒ метод внесения под знак дифференциала:
|
|
|
|
|
d( |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
xdx |
|
|
|
) |
|
|
1 |
∫d( |
x2 +1) |
|
|
|
||||
∫ |
|
|
= ∫ |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
= x2 +1+С. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
x +1 |
|
|
x |
+1 |
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
Отметим, что еще быстрее воспользоваться формулой (1.7) третьего частного случая метода внесения под знак дифференциала.
б) сделайте в качестве упражнения замену x2 +1= z2 .
в) сделайте еще более сложную тригонометрическую подстановку x = tgt . Чтобы понять, зачем нужны все три метода достаточно чуть усложнить
числитель: для ∫ |
|
x |
3 |
|
dx пропадает метод внесения под знак дифференциала |
|||||
|
|
|
|
|||||||
2 |
+1 |
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
|
||
а), но работают б) и в), но для ∫ |
|
x |
|
dx годится только в). Отметим, что по- |
||||||
|
|
|
|
|||||||
x2 |
+1 |
следний из интегралов мы взяли нестандартно методом по частям (пример 24).
Пример 33
∫x33x−2 x−22+xx+−11dx .
Не торопитесь применять схему интегрирования правильной рациональной дроби: зная, что при дифференцировании степень многочлена понижается на
единицу (в данном случае с 3 до 2), то проверьте, что (x3 − x2 + x −1)′ =
= c(3x2 − 2x +1), так как здесь c =1, по формуле (1.6) можно сразу написать ответ: натуральный логарифм знаменателя.
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
− |
2x +1 |
(x |
|
− x |
|
+ x −1) |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
∫ |
|
dx = ∫ |
x3 − x2 + x −1 |
dx = ln |
x |
|
− x |
|
+ x −1 |
+ с. |
|||||||
x3 − x2 + x −1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2. Надо знать стандартные методы и сферу их применимости.
Например, не только знатьформулу (1.14) интегрирования по частям, но и основные типы интегралов(I-III на с.23), которыеберутся только этимметодом.
3. Интегрирование ‒ творческий процесс, поэтому не раз нестандартные идеи позволяют легко взять интеграл (например, решение примера 3, с помощью идеи заменить 1 в числителе с помощью основного тригонометрического тождества вместо стандартного пути: дважды перейти к двойному углу, понизив степень синусов, косинусов с четвертой до первой и затем сделав универсальную тригонометрическую подстановку). Приведем еще один пример.
Пример 34
dx
∫sin2 x +9cos2 x .
32
Вместо стандартного пути: а) переход к двойному углу, б) универсальная тригонометрическая подстановка, есть кратчайший путь взятия этого интегра-
ла, но надо догадаться вынести cos2 x за скобку и с помощью внесения под знак дифференциала выходим на табличный интеграл.
∫sin2 x +dx9cos2 x = ∫ sin21x +9 cos12 xdx = ∫tgd2(tgx +x)9 = 13arctg tg3x + c. cos2 x
4. Мы уже говорили, что первообразные некоторых функций не являются элементарными, поэтому, как нельзя изобрести «вечный двигатель», так и невозможно никаким методом взять интеграл от таких функций (эти интегралы называют «не берущимися».) Поэтому желательно знать самые известные из
«не берущихся» интегралов, например ∫sinx dx , |
∫e− |
x2 |
|
2 |
dx (последний один из |
||
x |
|
|
|
основных в теории вероятностей) и так далее. Отметим, что также существует достаточно много элементарных функций, интегрирование которых практически невозможно.
Поясним качественно новые идеи взятия таких интегралов на примере экспоненты ex −одной из основных элементарных функций. В силу следствия из
второго замечательного предела ex −1≈ x при малых значениях x ; чтобы найти дифференциал второго порядка, вычислим с помощью правила Лопиталя
lim |
ex −1− x |
= |
0 |
|
= lim |
(ex − x −1)′ |
= |
1 |
lim |
ex −1 |
= |
1 |
1= |
1 |
|||||||
x2 |
|
|
(x2 )′ |
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
|
0 |
|
|
x→0 |
|
2 x→0 |
x |
|
2 |
|
2 |
|||||||||
и, следовательно, |
ex − x −1≈ |
x2 |
|
или ex ≈1+ x + |
x2 |
. Если продолжить этот про- |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||
цесс, то получим ex ≈1+ x + |
x2 |
+ |
x3 |
+ |
...+ |
. Оказалось, что экспоненту можно |
|||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
3! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
разложить в сумму бесконечного степенного ряда (из степенных функций xn )
ex =1+ x + |
x2 |
+ |
x3 |
+...+ |
xn |
+..., причем эта формула (табличный ряд Маклорена |
2! |
3! |
|
n! |
|
для ex ) верна не только при малых, но и при всех x R . Выводятся табличные ряды Маклорена и для других основных элементарных функций. С их помощью можно раскладывать в такие ряды широкий класс функций. Идея разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена и затем почленного интегрирования и позволяет находить первообразные тоже в виде степенного ряда даже в случае, когла последние не являются элементарными!
33
Глава 2. Определенный интеграл и его приложения
§1. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства
Рис. 1
очевидно,
Рассмотрим задачу о вычислении площади плоской фигуры. Пусть дана функция y = f (x) непрерывная на [a,b]. Кроме того,
сначала предположим, что f (x)≥ 0 на [a,b].
Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции S (рис. 1)
1) разобьем отрезок [a,b] на n произ-
вольных частей и разрежем фигуру на вертикальные полосы, обозначим при этом ∆xk –
длина k -го разбиения, а ∆Sk ‒площадь соответственно k -ой полоски (k =1,2,...,n ),
n
S = ∑∆Sk .
k=1
2)выберем в каждой части разбиения по точке xk и заменим каждую k -ую полоску на прямоугольник с высотой hk = f (xk ), обозначим площадь k -ого
прямоугольника |
∆S k , при малых ∆xk , очевидно, ∆Sk |
≈ ∆S k , тогда вся пло- |
|
n |
n |
n |
n |
щадь S ≈ ∑∆S k = ∑hk ∆xk |
= ∑ f (xk )∆xk . Полученную |
∑ f (x k )∆xk называют |
|
k=1 |
k=1 |
k=1 |
k=1 |
интегральной суммой. |
|
|
|
3) чем на большее число n разбивается отрезок [a,b] и чем соответственно |
будут меньше ∆xk , тем точнее мы сможем вычислить площадь S . Поэтому для
получения точного ответа, пусть n будет неограниченно расти, но при этом все длины разбиений ∆xk должны стремиться к нулю.
Определение 1. Определенным интегралом
b |
|
n |
|
∫ f (x)dx = |
limn→∞ |
∑f (xk )∆xk |
(2.1) |
a |
max∆xk →0 k=1 |
|
называется предел интегральных сумм, когда число разбиений стремится к бесконечности и максимальные длины разбиений стремятся к нулю. Так как в пре-
34
деле (если он существует) мы должны получить S (фактически формула (2.1) является математически строгим определением площади плоский фигуры) и поэтому геометрическим смыслом определенного интеграла для положительной функции y = f (x)) является площадь S криволинейной трапеции между
графиком функции и отрезком [a,b]. Очевидно, что при умножении f (x) на ( ̶
1) площадь для отрицательной функции будет со знаком минус. В силу интуитивного понимания существования и единственности площади фигуры (строгое обоснование и доказательство соответствующей теоремы занимает многие страницы, и мы дадим её без доказательства) справедлива следующая теорема.
Теорема Римана. Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то предел (2.1) интегральных сумм существует и не зависит ни от способа разбие-
ния отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек xk |
в каждой части. |
|||||||
Свойства определенного интеграла |
|
|
|
|
|
|||
10. ∫b cf (x)dx = c∫b |
f (x)dx , |
c = const . |
|
|||||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
20. ∫b [f (x)± g(x)]dx = ∫b |
f (x)dx ± ∫b g(x)dx . |
|||||||
a |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
30. ∫b |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + ∫b |
f (x)dx . |
(2.2) |
||||
a |
|
a |
|
|
c |
|
|
|
|
|
Первые два (линейные) свойства непосред- |
||||||
ственно вытекают из свойств предела, в то же |
||||||||
время все свойства очевидны из геометрического |
||||||||
смысла интеграла. Например, третье свойство вы- |
||||||||
текает из аддитивности площади (рис. 2) |
||||||||
Рис. 2 |
|
|
|
|
|
S = S1 + S2. |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
40. Оценочное свойство. |
Пустьm ≤ f (x)≤ M |
|||||
при x [a,b] |
(рис. 3). Для определенности выберем |
|||||||
в качестве m = fнаим , |
а в качестве M = fнаиб . Тогда, |
|||||||
если |
f (x) ≠ const , то |
|
|
|
|
|||
|
|
|
m(b − a)< ∫b |
f (x)dx < M (b − a). |
a
Рис. 3
35
Обозначим площадь меньшего прямоугольника с высотой m через S m , а большего с высотой M ‒ S M . Очевидно, S m < S < S M , что и требовалосьдоказать.
50. Определение 2. Средним значением функции f (x) на отрезке [a,b]
назовем
fср = b 1a ∫b f (x)dx .
− a
Если разделить двойное неравенство в 40 на(b − a), то получим m < fср < M
и по теореме о промежуточных значениях непрерывной на отрезке [a,b] функции y = f (x) существует такое xср (a,b), что fср = f (xср) задает среднюю высоту функции (геометрически площадь прямоугольника с высотой fcр равна
площади криволинейной трапеции под кривой y = f (x)). Поэтому справедлива теорема о среднем.
|
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx = f (xcp )(b − a). |
|
|
|
(2.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1 |
|
π /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Оценить интеграл |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
100 |
+ 21sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
π |
|
0≤sin |
2 |
x ≤1, то 100 |
≤100+ 21sin |
2 |
|
x ≤121, тогда |
||||||||||||||
Так как при x 0; |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
10≤ 100 |
+ 21sin |
2 |
x ≤11, и |
≤ |
|
|
≤ |
. |
|||||||||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
10 |
||||||||||||||||
|
|
|
100+21sin2 x |
Таккакдлинаотрезкаинтегрированияb − a = π2 ,топо свойству40 получим,
что |
1 |
|
|
π |
≤π∫/2 |
|
dx |
|
|
|
|
≤ |
1 |
|
π |
, отсюда следует, что |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
11 |
|
2 |
0 |
100+ 21sin |
|
|
x |
10 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π /2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,143≤ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ 0,157. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
100+ 21sin |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
§2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница
Очевидно, что вычислять значение определенного интеграла из (2.1) невозможно, но оказалось, что это легко сделать с помощью неопреде-
ленного интеграла. Пусть |
F(x) ̶ первообразная |
||||
функции f (x).Тогда по формуле НьютонаЛей- |
|||||
бница |
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx = F(x) |
|
ba |
= F(b)− F(a) |
(2.4) |
|
|||||
|
|
|
a
определенный интеграл равен разности значений первообразной от подынтегральной функции: из её значения на правом конце отрезка вычитается значе-
ние на левом конце (специально для этой разницы ввели обозначение F(x)ba ).
Отметим, что неважно, какую из первообразных взяли для вычисления (так как, если F2(x) = F(x)+С, то С −С уничтожится и ответ не изменится).
Доказательство. Рассмотрим переменную площадь S(x) (рис. 4) криволинейной трапеции на отрезке [0,x], которая из геометрического смысла опре-
деленного интеграла задается ∫x f (t)dt с переменным верхним пределом и по-
a
кажем, что S(x) является одной из первообразных от подынтегральной функции f (x). По определению производной
′ |
S(x + ∆x)− S(x) |
= lim |
x+∆∫x |
f (t)dt −∫x |
f (t)dt |
|
a |
a |
|
|
|||
|
|
|
. |
|||
S (x)= lim |
∆x |
|
∆x |
|||
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
|
Используя свойство 30, разобьём отрезок [a,x + ∆x] на два и применим тео-
рему о среднем (см. формулу 2.3, у нас |
b − a = ∆x ), так как xср → x при ∆x →0 |
|||||||
( рис. 4) , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
∫x |
f (t)dt + x+∆∫x |
f (t)dt − ∫x |
f (t)dt |
f (xcp )∆x |
|
||
a |
x |
|
a |
|
|
|
||
S (x)= lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
= f (x). |
|
|
∆x |
|
|
∆x |
|||
∆x→0 |
|
|
|
|
∆x→0 |
|
37
Пусть ∫ f (x)dx = F(x)+ C , так как любые первообразные отличаются на
константу, обозначим её C0 , то ∫x |
f (t)dt = F(x)+C0 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) положим x = a , |
∫a |
f (t)dt = F(a)+C0 . Так как, |
очевидно, |
∫a |
f (t)dt = 0, то |
|||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
C0 = −F(a),отсюда ∫x |
f (t)dt = F(x)− F(a). |
|
|
|
|
|
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) положим x = b , |
что дает ∫b |
f (t)dt = F(b)− F(a). |
Сменив обозначение |
|||||||||
независимой переменной t на x , |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мы получим формулу (2.4). |
|
|
||||||||||
|
|
|
Пример 2. Найти площадь под косинусоидой |
|||||||||
|
|
|
y = cosx в первой четверти при |
|
π |
|||||||
|
|
|
x 0, |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Из геометрического смысла опреде- |
|||||||||
|
|
|
ленного интеграла |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S = π∫/2cosxdx = sinx |
|
π0 |
/2 |
= =sinπ −sin0=1−0=1. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Этот простой пример показывает, какой мощнейший метод решения непростой задачи ̶ вычисление произвольной площади мы приобрели!
§3. Некоторые частные случаи вычисления определенных интегралов для четных, нечетных и периодических функций
І. Интеграл от четной функции y = fчетн(x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу от этой функции по положительной части отрезка:
|
|
∫a |
fчетн(x)dx = 2∫a |
fчетн(x)dx , |
(2.5) |
||
|
|
−a |
|
|
0 |
|
|
|
а |
интеграл |
от |
нечетной |
функции |
||
|
y = fнечетн(x) |
в симметричных пределах ра- |
|||||
Рис. 6 |
|
вен нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫a |
fнечетн(x)dx = 0. |
|
|
|
(2.6) |
||
−a |
|
|
|
|
|
|
|
38
Доказательство. Для четной функции y = fчетн(x), график которой
симметричен относительно оси Oy , из соображений симметрии ( рис. 6)
S1 = S2 и S = S1 + S2 = 2S1 . |
Для |
нечетной функции y = fнечетн(x), |
гра- |
фик которой симметричен относительно начала координат, из соображений симметрии (рис. 7)
Рис.7 |
S2 = −S1 и S1 + S2 = S1 − S1 = 0. |
Пример 3
Вычислить
∫1 (5arctg3 x − 2sin5 x + 4x 3x +3x2)dx
−1
В каждом из первых трех слагаемых функция нечетная, а последняя функция четная, тогда в силу (2.5), (2.6), получим
∫1 |
(5arctg3 x − 2sin5 x + 4x 3 |
|
+3x2)dx = 2∫1 |
3x2dx = 2x3 |
|
10 = 2. |
x |
|
|||||
−1 |
|
0 |
|
|
|
ІІ. Интегралы от тригонометрических функций sinx , cosx по длине периода равны нулю:
a+∫2π sinxdx = a+∫2π cosxdx = 0.
a |
a |
Для доказательства рассмотрим |
π∫sinxdx = 0, так как y = sinx нечетная |
−π
функция. При сдвиге в силу периодичности S1 = S2 (рис. 8), ответ не изменится. Отметим, что если взять эти функции в нечетной степени, например,
a+∫2π sin3 xdx , то равенство S1 = S2 останется и интеграл обнулится.
a
39
Пример 4
Вычислить π∫sin6 xdx.
0
Рис. 8
π |
6 |
π |
2 |
x) |
3 |
π |
|
1 |
−cos2x 3 |
1 |
π |
2 |
2x − cos |
3 |
2x)dx . |
||
∫sin |
|
xdx = ∫(sin |
|
|
dx = ∫ |
|
2 |
|
dx = |
8 |
∫(1−3cos2x + 3cos |
|
|
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Так как для функции cos2x период T =π , то есть равен длине отрезка интегрирования, то в силу свойства ІІ интегралы от cos2x в нечетных степенях обнулятся. Тогда
1π |
2 |
2x −cos |
3 |
2x)dx |
= = |
1 |
π |
1+ cos4x |
||||
(1−3cos2x +3cos |
|
|
8 |
1+3 |
|
2 |
dx. |
|||||
8∫0 |
|
|
|
|
|
|
∫0 |
|
|
|||
Так как функция cos4x |
имеет период T = π |
, а, следовательно, и π тоже, |
||||||||||
то интеграл от cos4x тоже обнулится, значит |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1π |
|
1 |
+ cos4x |
1π 5 |
|
|
5 |
|
|
|||
1+3 |
|
|
|
dx = |
8∫0 2 |
|
dx = = |
|
π . |
|
||
|
2 |
|
|
16 |
|
|||||||
8∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Решение примеров 3, 4 показывает, что использование свойств І, ІІ сильно упрощает вычисление соответствующих определенных интегралов.
40