Методическое пособие 521
.pdf10. Решить задачу одномерной теплопроводности
d |
d |
|
|
|
d |
|||
|
k |
|
|
Q; |
0 x 1, |
(0) 0, k |
|
(1) 1, |
|
|
|
||||||
dx |
dx |
|
|
|
dx |
где
а) k=1, Q=1 при 0 x 1/2 и Q=0 при 1/2 x 1;
б) Q=1, k=1 при 0 x 1/2 и k=3 при 1/2 x 1.
11.С помощью МКЭ найти решение краевой задачи из упр. 4 или 5 разд. 4 «Метод Ритца», дискретизируя уравнения методом Галеркина. Показать сходимость.
Указание. Весовые функции {Wi} взять теми же, что и аппроксимирующие функции {Ni}, т.е. с малым носителем. При этом максимальный порядок производных от {Ni} под интегралом следует понизить методом интегрирования по частям.
12.Решить задачу из упражнения 4, б раздела 8, используя конечные элементы с иерархическими базисными функциями.
Указание. Рассмотрим последовательность конечноэлементных аппроксимаций
e 1e N1e e2 N2e ,
e 1e N1e e2 N2e e3N3e ,
e 1e N1e e2 N2e e3N3e e4 N4e и т.д.,
где
N1e ( 1)2, N2e (1 )2
– обычные функции формы лагранжевого элемента 1-го порядка,
|
|
p 1 |
|
(p 1)!, |
|
p четно, |
Npe |
( |
|
1) |
если |
||
|
( p 1 |
) |
(p 1)!, |
если |
p нечетно, |
150
– при p 3 так называемые иерархические базисные функции. Приведенные аппроксимации справедливы для стандартного конечного элемента: –1 1. Нетрудно видеть, что первые два параметры 1e и e2 здесь совпадают со значениями функ-
ции e в точках =–1 и =1 соответственно, а всем остальным параметрам придать подобный смысл не так просто. Да в этом и нет особой необходимости, так как слагаемые e3N3e , e4 N4e , …
играют роль поправок к линейной аппроксимации. Тем не менее, можно записать
ep d p 1 e |
dxp 1 |
, p 3, |
|
|
0 |
т.е. равны производной (p–1)-го порядка от e в середине конечного элемента. Проверьте, что приведенные функции формы обеспечивают непрерывность решения на границах элементов.
Каждая следующая функция Nep имеет степень много-
члена на единицу больше, чем предыдущая. Предположим, получено решение задачи (1) для обычных линейных конечных элементов. Добавляя к аппроксимации на каждом конечном элементе слагаемое e3N3e , получим новое решение (2),
более точное чем (1), поскольку оно основано уже на квадратичной аппроксимации. Точно так же, используя еще одно дополнительное слагаемое e4 N4e , найдем решение (3) – приближение кубическим полиномом. И так далее. Подумайте, в чем преимущество такого подхода?
И в заключение отметим, что переход от произвольного элемента x [x1, x2] к стандартному [–1, 1] можно осуществить по формуле
x x2 x1 x1 x2 . 2 2
При этом требуется всего лишь совершить замену переменной в интегралах, вычисляемых по области конечного элемента.
151
13. Указанная в предыдущем упражнении система иерархических функций отнюдь не единственно возможная. Приведем еще одну систему, определяемую интегрированием от полиномов Лежандра:
N3e 2 1, N4e 2( 3 ),
N5e 1 4(15 4 18 2 3), |
N6e 7 5 10 3 3 , |
Производные этих функций обладают ортогональностью
– свойством, весьма полезным при вычислениях. Решите одну из задач упражнения 4 раздела 4, используя последовательно указанные иерархические функции. Выведите явно матрицу S системы уравнений. Сделайте вывод.
14. Для нелинейного дифференциального уравнения
d |
( ) |
d |
f (x, ), |
0 x 1 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
dx |
|
dx |
|
|
с краевыми условиями (0) = 0, (1) = 1 провести дискрети-
зацию и получить численное решение на основе МКЭ
1) |
= ; |
f = –2; 2) = cos( /2); f = 0; |
3) |
=1/( +1); f = 0; |
4) |
= e ; |
f = x; 5) =1+0.1 ; f = –10x; |
6) |
=1; f = e . |
15. Края x=0 и x=1 плиты с коэффициентом теплопроводности k=1 поддерживаются при температуре 10 и 80 C. Найти стационарное распределение температуры , если тепло генерируется внутри плиты со скоростью a 2 (a=0,01 0,03) на единицу длины.
152
7. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
7.1. Введение
Интегральным называется уравнение, в котором неизвестная функция y(x) входит под знаком интеграла:
b(x)
F(y(x),x) (x,s,y(s))ds.
a(x)
Уравнения вида
b(x)
y(x) K(x,s)y(s)ds f (x) |
(7.1) |
a(x) |
|
и |
|
b(x) |
|
K(x,s)y(s)ds f (x) |
(7.2) |
a(x) |
|
называются линейными. В этих уравнениях функция двух переменных K(x,s) называется ядром интегрального уравнения, функция f(x) – свободным членом. Число в уравнении (7.1) выступает как параметр. Если f(x) 0, то уравнение (7.1) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
В частном случае, когда a(x)=const a, b(x)=x, (7.1) на-
зывается уравнением Вольтерра 2-го рода:
x
y(x) f (x) K(x,s)y(s)ds , |
(7.3) |
a
а уравнение (7.2) – уравнением Вольтерра 1-го рода:
x
K(x,s)y(s)ds f (x).
a
Если в (7.1) и (7.2) за оба предела интегрирования взять фиксированные числа, т.е. a(x)=const a, b(x)=const b, то придем к уравнению Фредгольма 2-го рода
b
y(x) f (x) K(x,s)y(s)ds
a
153
и уравнению Фредгольма 1-го рода –
b
K(x,s)y(s)ds f (x).
a
При этом функции f(x) и K(x,s) предполагаются квадратично суммируемыми соответственно на основном промежутке [a, b] и в основном квадрате = [a, b] [a, b], т. е. выполняются условия
b b
dt | K(t,s) |2 ds ,
a a
b
| f (t) |2 dt .
a
Решением интегрального уравнения на отрезке [a, b] называется всякая функция y= (x), которая будучи подставленной в это уравнение, обращает его в тождество относительно всех x [a, b].
7.2. Метод последовательных приближений
Методом последовательных приближений, или итерационным методом, можно решать линейные интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма 2-го рода. Метод состоит в построении последовательности функций y0(x), y1(x), y2(x), …, yn(x), … Если удается сделать предельный переход при n ,
то получим точное решение y*(x) y(x) , в противном
n
случае решение будет получаться приближенным при условии, что метод сходится. Для определенности рассмотрим уравнение Вольтерра 2-го рода
x
y(x) f (x) K(x,s)y(s)ds .
a
В качестве нулевого приближения y0(x) обычно полагают y0(x)=f(x). Первое приближение вычисляется подстановкой y0(x) вместо y(x) в правой части исходного уравнения (7.1) –
154
x
y1(x) f (x) K(x,s)y0(s)ds,
a
второе приближение – подстановкой y1(x) и т.д.
x
y2(x) f (x) K(x,s)y1(s)ds ,
a
x
y3(x) f(x) K(x,s)y2(s)ds,
a
. . . . . . . . . . . . . . . . .
x
yn(x) f (x) K(x,s)yn 1(s)ds.
a
Если два соседних приближения yn(x) и yn–1(x) мало отличаются друг от друга, то yn(x) принимают за приближенное решение данного уравнения. Критерием близости двух функций может служить, например, L2 - норма их разности:
x |
1 2 |
yn(t) yn 1(t) 2 dt . |
|
a |
|
Итерационный процесс можно записать в операторной
форме. Пусть Kˆ – оператор умножения y(x) на K(x,s) и интегрирования по отрезку [a, b] или [a, x]
ˆ |
|
|
|
|
y1(x) f (x) Ky0, |
|
|
|
|
ˆ |
f |
ˆ |
2 |
ˆ ˆ |
y2(x) f (x) Ky1 |
(x) Ky0 |
|
KKy0, |
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
ˆ |
|
n |
k ˆk |
y0, |
|
||||
yn(x) f(x) Kyn 1 |
f(x) K |
|||
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y*(x) f (x) kKˆk y0 . |
|
(7.4) |
k 1
Если этот ряд сходится, то он сходится независимо от начального приближения.
155
Такой подход позволяет получить решение через так называемую резольвенту. Действительно,
x x
Ky0(x) K(x,s)y0(s)ds K1(x,s)y0(s)ds K1y0(x)
a |
a |
|
(здесь обозначено K1(x,s) K(x,s)), |
|
|
x |
x x |
|
K2 y0 K(Ky0) K(x,s) Kˆ1y0(s) ds K(x,t)K1(t,s)dt y0(s)ds |
||
a |
a s |
|
|
x |
|
|
K2(x,s)y0(s)ds K2 y0 , |
|
|
a |
|
x |
x x |
|
K3y0 K(K2y0) K(x,s) Kˆ2y0(s) ds K(x,t)K2(t,s)dt y0(s)ds |
||
a |
a s |
|
|
x |
|
|
K3(x,s)y0(s)ds K3y0 . |
|
Вообще, |
a |
|
|
|
|
|
x |
|
K j y0 |
Kj (x,s)y0(s)ds, |
j=2, 3, … , |
a
где
x
Kj(x,s) K(x,t)Kj 1(t,s)dt.
t
Резольвентой ядра K(x,s) называется сумма ряда
R(x,s, ) j 1Kj(x,s),
j 1
который при любых фиксированных значениях сходится равномерно относительно x [a, b] и s [0, x] при условии, что ядро K(x,s) непрерывно. Таким образом, выражение (7.4) переходит в формулу
x
y*(x) f (x) R(x,s, )y0(s)ds.
a
156
Для уравнений Вольтерра метод последовательных приближений сходится всегда. Для уравнений Фредгольма итерационный процесс сходится, если ядро K(x,s) ограничено в ос-
новном квадрате и | | |
1 |
, где A – точная верхняя грань |
|
A(b a)
K(x,s).
Пример. Методом последовательных приближений решить уравнение Фредгольма 2-го рода
1
y(x) x 2 (xt t)y(t)dt .
0
Решение.
Берем начальное приближение
y0(x) f (x) x.
Первое и последующие приближения:
1
y1(x) x 2
0
1
y2(x) x 2
0
1
y3(x) x 2
0
1
y4(x) x 2
0
1
y5(x) x 2
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
||
(xt t)y0(t)dt x 2 (xt t)tdt |
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
5 |
|
|
|
|
|
2 |
13 |
|
|
|
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(xt t) |
|
t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
13 |
|
|
4 |
|
|
41 |
|
14 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(xt t) |
|
|
t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
41 |
|
|
|
|
|
14 |
121 |
|
|
|
|
40 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(xt t) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 |
81 |
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
121 |
|
|
|
|
|
40 |
121 |
|
|
40 |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(xt t) |
|
|
|
|
t |
|
|
|
dt |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
81 |
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
81 |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Начиная с четвертого приближения решение уже не меняется. Следовательно, итерационный процесс сошёлся за конечное число итераций, и получено точное решение:
y(x) 121x 40 . 81 81
157
Этот результат в системе Maple можно получить, используя команды:
>restart; a:=0;b:=1;
>f:=x->x;K:=(x,t)->(-t+x*t);lambda:=2;
>F:=z->f(x)+lambda*int(K(x,t)*z(t),t=a..b);
>y1:=unapply(F(f),x);
>y2:=unapply(F(y1),x);
>y3:=unapply(collect(F(y2),x),x);
>y4:=unapply(collect(F(y3),x),x);
>y5:=unapply(collect(F(y3),x),x);
7.3. Операционный метод
Если в интегральном уравнении Вольтерра 2-го рода ядро K(x,s) зависит лишь от разности аргументов, а нижний предел интегрирования равен нулю, то такое уравнение называется типа свертки по Лапласу:
x
y(x) f(x) K(x s)y(s)ds. |
(7.5) |
0 |
|
Для решения уравнений такого вида используется преобразование Лапласа. Пусть функции f(x), K(x,s) – оригиналы. Можно показать, что решение в этом случае также будет оригиналом. Полагая
|
|
|
Y(p) y(t)e ptdt, |
F(p) f (t)e ptdt , |
K(p) K(t)e ptdt , |
0 |
0 |
0 |
применим к обеим частям уравнения (7.5) преобразование Лапласа. Учитывая, что согласно известной теореме изображение свертки двух функций есть произведение их изображений, получим
Y(p) F(p) K(p)Y(p),
откуда |
F(p) |
|
|
Y(p) |
. |
||
1 K(p) |
|||
|
|
158
Оригинал для Y(p) будет решением интегрального уравнения.
Отметим, что к уравнению типа свертки по Фурье
y(x) f (x) K(x s)y(s)ds
может быть применен аналогичный метод, основанный на преобразовании Фурье.
7.4.Численные методы решения интегральных уравнений
7.4.1.Метод конечных сумм
Пусть задано интегральное уравнение Фредгольма 2-го
рода
b
y(x) f (x) K(x,s)y(s)ds |
(7.6) |
a |
|
с параметром, не равному собственному числу соответствующего однородного уравнения. Основная идея метода конечных сумм основана на приближенном вычислении интеграла с помощью некоторой квадратурной формулы. Пусть известно, что
b |
n |
|
(x)dx Ak (xk ) Rn( ), |
(7.7) |
|
a |
k 1 |
|
где Ak и xk – весовые коэффициенты и узлы квадратурной формулы, Rn – остаток квадратуры.
Если правило (7.7) применить к вычислению интеграла в (6), то получим
n |
|
, |
y(x) f (x) k K(x,sk )y(sk ) Rn(Ky) |
||
k 1 |
|
|
где k – веса, а sk – узлы формулы (7).
Пример. Решить уравнение
2
y(x) (x t)y(t)dt x3.
0
159