Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 521

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Порядок решения в системе Maple

>restart;

>with(linalg):

>a:=0: b:=1:

>z:=x-> (a1 + a2*x+a3*x^2+a4*x^3)*x:

>F:=y->int((D(y)(x))^2-lambda*y(x)^2, x=a..b)+y(b)^2:

>P:=evalf(F(z)):

>eq1:=[diff(P,a1),diff(P,a2),diff(P,a3),diff(P,a4)]:

>A:=genmatrix(subs(lambda=0,eq1),[a1,a2,a3,a4]); B:=-genmatrix(diff(eq1,lambda),[a1,a2,a3,a4]);

>G:=evalm(inverse(B)&*A);

>evalf(eigenvals(A,B)); #собственные значения задачи

>evalf(eigenvals(G));

Наблюдается некоторое расхождение в результатах, полученных разными алгоритмами Maple. Для уменьшения этого расхождения можно рекомендовать увеличить число используемых разрядов в арифметике чисел с помощью переменной Digits (по умолчанию принято 10).

> v:=evalf(eigenvectors(G));

Извлекаем собственный вектор из списка v, соответствующий минимальному собственному значению 1. Этот спи-

110

сок содержит всего 4 составных элемента, каждый из которых в свою очередь включает собственное число, кратность и собственный вектор. В данной реализации указанное ( 1 4,1159) число идет в первом составном элементе

[4.115925621, 1., { [-1.817015524, -.1153547324, 1.634175262, -.5098461166]} ].

Поэтому следующей переменной присваивается значение 1.

> num:=1:

Необходимо следить за тем, что при фактическом запуске программы это число может поменяться. pr:=a1=op(v[num,3])[1],a2=op(v[num,3])[2], a3=op(v[num,3])[3],a4=op(v[num,3])[4];

> nr1:=sqrt(int(subs(pr,z(x))^2,x=a..b)); #норми-

ровочный коэффициент z1:=subs(pr,z(x))/nr1;

Это и есть собственная функция, соответствующая собственному числу 1. Данная задача имеет аналитически точное решение. Его составляют собственные функции yk sin k x ,

собственные значения k 2k , где k – корни уравнения

tg + =0. Поэтому, как и в предыдущем примере, оценим точность полученной аппроксимации. Наименьшее собственное число, большее нуля, найдем, решив указанное уравнение в промежутке примерно от 1,6 до 2,5 (он определяется графически):

> t:=fsolve(tan(q)+q=0,q,1.6..2.5);t^2;

Таким образом, первое собственное число равно 4,115858, что означает 5 верных значащих цифр в соответствующем приближенном значении (см. вывод функции

111

evalf(eigenvals(A,B))). Теперь проводим сравнение собственных функций:

>nr2:=sqrt(int(sin(t*x)^2,x=a..b)); #нормировка точ-

ного решения w:=x->sin(t*x)/nr2;

>if(D(w)(0)*subs(x=0,diff(z1,x))<0) then z1:=-z1 fi; #если производные в нуле разных знаков, то z1 взять со знаком «минус»

>plot({z1,w(x)},x=a..b);

Рис. 4.5

Графики совпадают. Норма погрешности вычисления y1:

> delta1:=sqrt(int((z1-sin(t*x)/nr2)^2,x=0..1));

1:= .0003831448812

Действуя так же, определяем второе по величине собственное число и отвечающую ему собственную функцию.

> num:=3; pr:=a1=op(v[num,3])[1],a2=op(v[num,3])[2], a3=op(v[num,3])[3],a4=op(v[num,3])[4]: t:=fsolve(tan(q)+q=0,q,4.8..6);t^2;

Последнее – это число 2, вычисленное точно в рамках разрядной сетки Maple. Значит, найденное методом Ритца дан-

112

ное собственное значение определено с точностью до двух верных знаков. nr1:=sqrt(int(subs(pr,z(x))^2,x=a..b)): nr2:=sqrt(int(sin(t*x)^2,x=a..b)): z2:=subs(pr,z(x))/nr1: z2:=`if`(subs(x=a,diff(z1,x))>0,z2,-z2);

> plot({z2,sin(t*x)/nr2},x=a..b);

Рис. 4.6

Здесь расхождение графиков уже заметно.

> delta2:=sqrt(int((z2-sin(t*x)/nr2)^2,x=a..b));

Проверим ортогональность найденных функций:

> int(z1*z2,x=a..b);

Исследование сходимости метода читателю предлагается провести самостоятельно.

Ответ:	4,1158,	y	0,7320x4 2,346x3 0,1656x2 2,609x;
1		1
2	24,	y2	15,36x4 17,35x3 7,152x2 7,755x .

113

Упражнения

1. Решить краевую задачу методом Ритца. Сравнить с точным решением. Построить графики. Показать сходимость для m=2÷6.

Вариант 1.

2 1 ln x2 ,

(1) 0, (2) 0.

Вариант 2.

2 1 lnx2 ,

(1) 0, (2) 0.

Вариант 3.

2 1 lnx2, (1) 0, (4) (4) 2.

Вариант 4.

2 1 2lnx,

(1) (1) 0, (2) (2) 0.

Вариант 5.

2 1 2lnx,

(1) (2) 2, (2) (1) 1.

Вариант 6.

2 0,

(1)

1, (2) 1.

Вариант 7.

2 1

, (1)

0, (2)

Вариант 8.

2 2 lnx,

(1) 2 (1)

0, (2) 1.

Вариант 9.

1)2

2 1,

(0) 0, (1) 1.

Вариант 10.

(x 1)2

2 1 ln(x 1),

(0)

0, (2)

114

2. Решить уравнение d2u/dx2 + 2u=x, 0 x 1 с краевыми условиями:

1) u=0 при x=0 и u=0 при x=1;

2) u=1 при x=0 и du/dx=0 при x=1; 3) u=0 при x=0 и du/dx+u=0 при x=1.

Сравнить с точным решением.

3. Решить уравнение d2u/dx2 – 2u = 0, 0 x 1 с краевыми условиями u=0 при x=0 и du/dx+10u=20 при x=1. Сравнить с точным решением.

4. Решить краевую задачу методом Ритца для разных типов граничных условий. Сравнить с точным решением. Показать сходимость.

Вариант 1.

2 1 x x

;

а) (1)

(3)

; б) (1) 2,

(4)

;

в) (1) 2

(1)

(3) 3

(3) 2.

Вариант 2.

e x

e x 2cos(x 1);

а)

(0) 3,

(2) 5;

б)

(0) 1,

(2) 0;

в)

(0) 1,

(3) 2 (3)

Вариант 3.

а)

( 1)

(1) 3;

1 x2

б) ( 1) 2, (1.5) 4; в) d ( 1) 2 ( 1) 0, d (1) (1) 4. dx dx

115

Вариант 4.

5ln x ; а)

(1)

(2.4) 2;

б) (1) 1,

(2)

в) (1)

(1)

(2) 2 (2) 3.

Вариант 5.

2 2 x ;

а)

(1)

(2)

;

б) (1) 1,

(2) 1;

в) (1)

(1)

(2) 2 (2) 0.

Вариант 6.

e x

e x 4;

а) (0) 0,

(1) 2;

б) (0) 1,

(1)

;

в) (0) 5

(0)

(1) (1)

Вариант 7.

а) (0) 1,

;

(x 2)

(2)

x 2

б) (0) 1,

(2)

;

в)

(0) 2 (0) 1,

(2)

Вариант 8.

1 x x2 ;

а)

(1)

(3) 1;

dx2

б) (1) 1, (3) 1; в) (1)

(1)

(2,5) 2 (2,5) 1.

Вариант 9.

; а)

4x2

(1) 3,

(2)

б) (1) 3,

(1,9) 3; в)

(1) 2 (1) 10, 20

(2) (2) 10.

Вариант 10.

x 2

;

а)

;

(0) 10,

(2)

б) (0) 10,

(4)

; в)

(0) 2 (0)

(2) (2) 10.

116

5. Решить краевую задачу методом Ритца. Сравнить с точным решением. Показать сходимость.

1 0; (0) 1,

(1) 1; (0) 1,

(1) 1 .

dx2

2 0 ;

(1) 1,

(2) 1;

(1) 1, (2) 1 .

dx2

1 d2

(0) 2

(0) 0,

(1) 1;

(0) 0,

(1) 1 .

4 dx2

ex ; (0) 0,

(4) 10; (0) 0, (4) 10 .

dx2

(1) 1; (0) 0, (1) 1 .

ex 0;

(0) 0,

; (0)

(1)

1; (0) 1,

(1) 1 .

dx2

cosx

(2) 1; (1) 0,

(2) 1 .

2 0;

(1) 0,

(0) 0,

(4) 2 .

/ 2

1 x;

(0) 0,

(4) 2;

x; (0)

(0) 1,

(1) 0;

(0) 1,

(1) 0 .

dx 1 x dx

10.

1 d

; (1)

(1) 0, (2) 0;

(1) 0, (2) 0 .

dx x

1 x2

6. Найти приближенные решения задач с различными граничными условиями. Провести анализ сходимости, имея в виду, что аналитического решения у этих задач нет.

117

						d									d									x																	d															(2) 3;
Вариант 1.								e x																			1 x; а)																					(1) 1,
Вариант 1.								e x																			1 x; а)																					(1) 1,
					dx										dx						1 x2																				dx
б)	(1)	1,				(2)						3;							в)			(1)							d		(1)				1,						(2)											d			(2) 2.
б)	(1)	1,				(2)						3;							в)			(1)									(1)				1,						(2)														(2) 2.
																													dx																							dx
Вариант 2.						d										2		d															2	x; а)								d														(3) 0;
										(1 x							)					8x x																										(1) 1,
				dx						(1 x							)					8x x																										(1) 1,
				dx														dx																								dx
б)	(1)	1,				(3)						0;							в)			(1)							d			(1)			1,						(3)										d			(3) 2.
б)	(1)	1,				(3)						0;							в)			(1)										(1)			1,						(3)													(3) 2.
																													dx																							dx
Вариант 3.						d	2																							2				;	а)				d				(0) 0,													(3) 0;
											(1 x2 ) 1
						dx2					(1 x2 ) 1																												dx
						dx2																							x 1										dx
б)	(0)		4,				(3) 2;												в)				d			(0) (0) 0,																		d					(3) (3) 1.
б)	(0)		4,				(3) 2;												в)							(0) (0) 0,																							(3) (3) 1.
																							dx																						dx
Вариант 4. e x									d2						e x					d										2					;		а)			d																(1) 1;
																																														(0) 0,
									dx2											dx																										(0) 0,
									dx2											dx								2 x2												dx
б) 10 (0) 1,							(1) 1;											в)				d			(0) (0)										0,					20						d				(1) (1) 10.
б) 10 (0) 1,							(1) 1;											в)							(0) (0)										0,					20										(1) (1) 10.
																						dx																									dx
Вариант 5.						d							d					16 sin x; а)																		d																				1	;
								x2																																			10,													( )
								x2																												dx				2			10,													( )
				dx										dx																						dx				2																2
			1														1																d																				d
б)					,			( )											;			в)																10,																		( ) 0.
б)					,			( )									2		;			в)																10,															dx			( ) 0.
	2 5																2								2								dx 2																				dx

118

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1912 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222 Mб3Методическое пособие 518.pdf
#
30.04.20222.01 Mб11Методическое пособие 519.pdf
#
30.04.2022804.35 Кб6Методическое пособие 52.doc
#
30.04.2022317.56 Кб2Методическое пособие 52.pdf
#
30.04.20222.01 Mб5Методическое пособие 520.pdf
#
30.04.20222.03 Mб8Методическое пособие 521.pdf
#
30.04.20222.03 Mб6Методическое пособие 522.pdf
#
30.04.20222.03 Mб2Методическое пособие 523.pdf
#
30.04.20222.03 Mб19Методическое пособие 524.pdf
#
30.04.20222.04 Mб4Методическое пособие 525.pdf
#
30.04.20222.05 Mб3Методическое пособие 526.pdf