Методическое пособие 504
.pdf6.3. Составить уравнение окружности, проходящей через точку A (7;9) и касающейся оси Ox в точке B (4; 0) .
Решение. Делаем схематический чертеж (рис. 3.36).
|
|
Рис. 3.36 |
|
|
Замечаем, |
что |
OB = a = 4, BC = b = R , |
так |
как |
перпендикуляр BC |
к |
касательной Ox параллелен |
оси Oy |
и |
проходит через центр окружности C (a,b ) . Уравнение искомой
окружности |
примет вид (x - 4)2 + (y - R )2 = R2 . Подставляя |
в |
||||||||
это |
уравнение |
координаты |
точкиA (7;9) , |
получим |
||||||
(7 - 4)2 + 9( - R)2 |
= R2 , |
откуда |
|
R = 5 . |
Следовательно, |
|||||
уравнение окружности примет вид (x - 4)2 + (y - 5)2 |
= 25 . |
|
|
|||||||
|
6.4. |
Не |
выполняя |
построения, установить, |
как |
|||||
расположены относительно окружности |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 + y2 + 8x - 4 y - 29 = 0 |
|
|
|
|
|||
точки: |
A (4;3) , B (-1; 2) , C (-4, 9) . |
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Подставляя координаты точки A в уравнение |
|||||||||
окружности, |
получим |
16 + 9 + 32 -12 - 29 =16 , |
следовательно, |
|||||||
точка A лежит вне окружности. |
|
точкиB , |
|
|
|
|
||||
|
Подставляя |
координаты |
будем |
иметь |
||||||
1+ 4 -8 - 8 - 29 = -40 , |
следовательно, |
точка B |
лежит внутри |
|||||||
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
координаты |
точкиC , |
получим |
||||||
16 +81- 32 - 36 - 29 = 0 , следовательно, точка |
C |
лежит |
на |
|||||||
окружности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
131
|
6.5. |
Составить |
уравнение эллипса, зная, |
что |
он |
||||||||||
проходит через точки M ( 3; -2) и |
N (-2 3;1) |
|
и его |
оси |
|||||||||||
симметрии совпадают с осями координат. Найти уравнения |
|||||||||||||||
его |
директрис, координаты вершин |
и |
|
фокусов, вычислить |
|||||||||||
эксцентриситет и величины фокальных радиусов точки M . |
|
||||||||||||||
|
Решение. Уравнение эллипса имеет вид (2). Точки M и |
||||||||||||||
N |
принадлежат |
эллипсу, значит |
|
их |
|
координаты |
|||||||||
удовлетворяют его уравнению. Подставляя их в уравнение |
|||||||||||||||
эллипса, получим систему двух уравнений относительно a2 |
и |
||||||||||||||
b2 |
( 3 )2 |
|
|
|
|
(-2 3 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
(-2 |
2) |
=1, |
+ |
1 |
=1, a |
2 |
=15 , b |
2 |
= 5 . |
|
|||
|
a2 |
b2 |
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, искомое уравнение x2 + y2 = 1. 15 5
Величину c найдем из соотношения c2 = a2 -b2 = 15 - 5 =10 .
Итак, a = |
15 , b = 5 и c = |
10 . Эксцентриситет будет |
||||||
|
e = |
10 |
= |
|
6 |
. |
||
|
|
|
3 |
|
||||
|
15 |
|
|
|
||||
Уравнения директрис: x = ± |
2 |
10 |
. |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
Вершины |
эллипса (рис. |
3.37): A1 ( 15, 0), A2 (- 15, 0), |
||||||
B1 (0, 5 ), B2 (0, - 5 ), |
|
|
|
|
|
Фокусы: F1 ( 10, 0), F2 (- 10, 0).
Фокальные радиусы точки M находим по формулам (3): r1 = 15 - 2 , r2 = 15 + 2 .
132
Рис. 3.37
6.6. Расстояния одного из фокусов эллипса до концов
его большой оси, соответственно, |
равны 8 и 2. |
Составить |
|||||||||||||||||||
каноническое уравнение эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. Данные расстояния могут быть представлены |
|||||||||||||||||||||
формулами |
a - c = 2 |
и |
a + c = 8 . |
Отсюда |
2a =10 , |
|
2c = 6 |
или |
|||||||||||||
a = 5 , c = 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как b2 |
= a2 - c2 , то b2 |
|
= 25 - 9 =16 . Следовательно, |
||||||||||||||||||
уравнение искомого эллипса |
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
25 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.7. |
Один |
из |
диаметров |
эллипса |
x2 |
+ |
|
y |
2 |
= 1 |
имеет |
||||||||||
|
16 |
||||||||||||||||||||
|
y = -2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
||||||
уравнение |
Найти |
|
|
уравнение |
|
сопряженного ему |
|||||||||||||||
диаметра. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Здесь a2 |
= 9 , b2 |
=16 , k = -1. По формуле (5) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
находим, что k2 = - |
|
16 |
|
= |
8 |
. |
Уравнение искомого диаметра |
||||||||||||||
|
(-2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
9 |
) 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет вид y = 8 x . 9
6.8. Оси эллипса совпадают с осями координат и равны: a = 10 , b =1. Определить длину сопряженных полудиаметров a ' и b ' и направление диаметра2b ' если известно, что диаметр 2a ' образует с осью 2a угол 20o .
133
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|||||
|
|
Уравнение |
|
эллипса |
|
|
+ |
|
|
=1 . |
Пусть |
|||||||||||||||||||||
|
100 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнение |
диаметра имеет |
вид y = k1x . Решая |
эти |
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||
совместно, находим точки пересечения |
|
|
|
10k1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x1,2 = ± |
|
10 |
|
|
|
, |
|
y1,2 = ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
100k 2 |
+1 |
|
|
100k |
2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, |
что |
k1 = tgj1 = tg 20o |
|
; 0, 364 , |
длину |
первого |
||||||||||||||||||||||||||
полудиаметра находим по формуле расстояния между двумя |
||||||||||||||||||||||||||||||||
точками |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ' = |
x2 + y2 |
= ab |
|
|
1+ k12 |
|
=10 |
|
|
|
1+ (0, 364)2 |
; 2,82 . |
||||||||||||||||||||
|
a2 k12 + b2 |
|
|
100(0, 364)2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Длину второго полудиаметра находим по теореме |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Аполлония |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(b ' )2 = a2 + b2 - (a ' |
)2 , откуда b ' = |
100 +1- (2,82)2 |
; 9, 59 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Угловой коэффициент сопряженного диаметра находим |
||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k2 = - |
b2 |
|
= - |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= -0, 0275 , tgj = k2 , j ;178o25' . |
||||||||||||||||||||
a2k |
|
100 ×0,364 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.9. Составить уравнение гиперболы, зная, что ее оси |
||||||||||||||||||||||||||||||||
совпадают |
с |
|
осями |
|
координат и гипербола проходит через |
|||||||||||||||||||||||||||
точки M (5; -2) и N (3 2; |
2 ). Найти уравнения директрис и |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вычислить эксцентриситет гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
Координаты |
|
|
точки M |
и |
|
|
N |
|
должны |
||||||||||||||||||||
удовлетворять |
|
|
каноническому |
|
уравнению |
|
|
гиперболы(6). |
||||||||||||||||||||||||
Подставляя |
их |
|
|
в |
|
уравнение |
|
гиперболы |
|
|
получим систему |
|||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
25 |
|
|
4 |
|
|
|
|
18 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
- |
|
= 1, |
- |
|
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
134
|
|
|
|
Решая |
|
систему |
относительно |
1 |
|
|
и |
|
1 |
, |
|
|
находим |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a2 |
|
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= |
|
, |
= |
|
. |
Откуда a2 =11, b2 |
= |
. |
Составляем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнение гиперболы |
|
|
|
x2 |
- |
7 y2 |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
99 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Поскольку для гиперболы c2 |
= a2 + b2 , то c2 |
= 11+ |
|
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|||||
|
|
Тогда эксцентриситет будет равен e = |
c |
= |
|
99 |
|
= 3 |
|
|
7 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
7 ×11 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Уравнения директрис находим по формуле x = ± |
a |
|
= |
|
|
77 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
6.10. Гипербола проходит через точкуM (12;3 3 ) и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет асимптоты y = ± |
1 |
x . Составить уравнение гиперболы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Решение. Запишем уравнения асимптот в общем виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = ± |
b |
x , |
тогда |
b |
= |
1 |
. Обозначим |
b = g |
и a = 2g , |
|
где g - |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
коэффициент пропорциональности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Так как |
точка M |
|
|
принадлежит |
гиперболе, |
то |
|
подставляя |
ее координаты и значения a и b каноническое уравнение (6),
получим |
144 |
- |
27 |
=1 . Откуда g 2 |
= 9 , следовательно, |
a = 6 , |
|
4g 2 |
g 2 |
||||||
|
|
|
|
|
b = 3 . Уравнение гиперболы примет вид x2 - y2 =1.
369
6.11.Вычислить площадь трапеции, вписанной в
гиперболу xy = 6 , если |
вершинами |
трапеции являются точки |
пересечения этой |
гиперболы |
с прямымиx + y + 5 = 0 и |
x + y - 7 = 0 . |
|
|
135
Решение. Строим чертеж (рис. 3.38) |
и определяем |
|||
координаты |
вершин |
трапеции. Система уравнений xy = 6 , |
||
x + y + 5 = 0 |
дает |
значения |
координат |
точекA(-3; -2) ; |
B (-2; -3) . Вторая система xy = 6 , |
x + y - 7 = 0 |
дает значения |
||
координат точек C (6;1) |
и D (1; 6) , |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
длина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
большего |
|
|
||||||
CD = |
(6 -1)2 + 1(- 6)2 |
= 5 |
2 ; длина |
|
|
|
меньшего |
|
основания |
||||||||||||||
AB = |
(-2 + 3)2 + -( 3 + 2)2 = 2 . |
|
|
Высоту |
|
|
|
|
|
|
трапеции |
||||||||||||
представляет |
отрезок MN |
биссектрисы |
|
координатного |
|
угла, |
|||||||||||||||||
заключений |
|
между |
основаниями |
|
|
|
|
трапеции. Совместное |
|||||||||||||||
решение уравнения y = x |
с каждым из уравнений x + y + 5 = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
5 |
|
|
5 ö |
|
|
|
|
æ |
7 |
|
7 ö |
||||
определяет |
|
координаты |
точекM ç - |
|
|
; - |
|
÷ |
|
и |
|
N |
ç |
|
; |
|
÷ . |
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
2 ø |
|
|
|
|
è |
|
2 ø |
||||||
|
|
|
|
высотыMN = |
æ 7 |
|
|
5 |
ö2 |
æ 7 |
|
5 |
ö2 |
|
|
|
|
|
|||||
Отсюда |
длина |
ç |
|
+ |
|
|
÷ |
+ ç |
|
+ |
|
÷ |
= 6 |
2 . |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è 2 |
|
|
ø |
è 2 |
|
ø |
|
|
|
|
|
Таким образом, площадь трапеции рав
S = 5 2 + 2 6 2 = 36 кв.ед. 2
136
|
6.12. |
|
Преобразовать |
|
к |
|
|
|
|
простейшему |
|
виду уравнение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = |
4x -3 |
|
|
|
|
|
и |
построить |
|
|
|
|
|
гиперболу, определяемому |
|
этим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x + 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
уравнением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Решение. |
Выполним |
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразование |
|
|
|
|
заданного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
|
|
параллельным |
|
|
|
|
переносом |
|
|
|
осей |
|
|
по |
|
формулам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x = x '+ a , y = y '+ b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем |
|
|
|
|
|
|
уравнение 3xy + 5y - 4x = -3 |
|
|
или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xy + |
5 |
|
y - |
4 |
x = -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Используем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x¢+ a)(y¢ + b)+ |
5 |
( y¢ + b)- |
4 |
|
(x¢+ a )= -1, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 ö |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
¢ ¢ |
|
¢ |
æ |
|
|
¢æ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
çb - |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
= |
|
|
|
|
|
a - |
|
|
b - ab -1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x y |
|
+ x |
+ y |
ça + |
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
3 ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Условия |
|
|
|
|
|
|
|
преобразования |
|
|
|
|
|
|
, |
требуютчтобы |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b - |
4 |
= 0 и a + |
5 |
= 0, |
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
координаты |
|
|
нового |
начал |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
координат |
равны a = - |
, b = |
. |
|
При |
этом |
свободный |
член |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
4 |
æ |
|
5 |
|
ö |
|
|
5 4 |
|
|
æ |
|
|
5 |
ö |
4 |
|
|
|
29 |
|
|
|
||||||||||||||||
принимает значение |
|
|
|
|
ç |
- |
|
|
|
÷ |
- |
|
|
|
|
|
|
- ç |
- |
|
|
÷ |
|
-1 = - |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
ø |
3 3 è |
3 |
ø |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Заданное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¢ |
|
¢ |
имеет |
вид |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системеx 0 y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¢ ¢ |
= - |
29 |
|
и |
|
|
гипербола |
располагается |
|
|
воII |
и IV |
четвертях |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 3.39). Вершины гиперболы находятся на биссектрисе II и IV координатных углов на расстоянии a =
137
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.13. Составить уравнение гиперболы, если известны |
||||||||||||||||||||
точка |
|
пересечения |
ее |
асимптотO¢(2; -3) |
и |
одна |
из |
вершин |
|||||||||||||
A (4; -1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Относительно системы координат с началом |
||||||||||||||||||||
в |
|
точке O¢(2; -3) |
|
|
|
пересечения |
|
|
|
асимптот |
условию |
||||||||||
соответствует |
уравнение |
гиперболыy |
¢ |
|
k |
|
Воспользуемся |
||||||||||||||
= |
x¢ . |
||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
формулами |
параллельного |
переноса |
начала |
координат |
|||||||||||||||||
x¢ = x - 2, y¢ = y + 3. |
Тогда уравнение |
|
гиперболы |
примет вид |
|||||||||||||||||
y + 3 = |
|
k |
. |
Квадрат |
|
расстояния |
от |
начала |
координат до |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x - 2 |
|
|
|
|
|
|
|
= (4 - 2)2 + -( 1 +3)2 = 8, |
|||||||||||
вершины А |
находим |
|
по |
формулеa2 |
|||||||||||||||||
тогда по формуле k = |
a2 |
находим, |
что k = 4. |
Следовательно, |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||
уравнение |
гиперболы |
примет |
|
|
|
yвид+ 3 = |
|
|
или |
||||||||||||
|
|
|
x - 2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= -3x +10 .
x- 2
6.14.Написать уравнение параболы, зная, что ось
симметрии ее совпадает с осьюOx , а вершина—с началом координат и расстояние от вершины до фокуса равно 5.
138
Решение. Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2 = 2 px. По условию задачи p = 5 , откуда p =10 . Уравнение
2
примет виду y2 = 20x.
6.15. Составить уравнение параболы, если парабола симметрична относительно осиOy , вершина совпадает с
началом координат, а фокус находится в точке F (0;3). |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. |
Поскольку |
|
|
парабола |
|
|
симметрична |
|||||||||||
относительно оси Oy , то каноническое |
уравнение |
имеет |
вид |
|||||||||||||||
x2 = 2 py. По условию |
p |
= 3, |
p = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Отсюда уравнение параболы x2 =12 y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.16. Для параболыx2 |
= 2 py. |
найти |
|
длину |
|
хорды, |
||||||||||||
перпендикулярной к оси Oy и проходящей через фокус. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
p ö |
||
Решение. Фокус параболы имеет координаты F ç |
0; |
|
÷ . |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
||
|
|
|
|
|
|
æ |
|
p |
ö |
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть точка М имеет |
|
координаты M ç x; |
|
÷ |
и |
принадлежит |
||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
||||
параболе (рис. |
3.40), |
|
тогда |
x2 |
= p × |
p |
|
или x |
|
= p. |
Отсюда |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
длина половины искомой хорды равнаp , следовательно, длина всей хорды MN равна 2 p.
Рис. 3.40
139
6.17. |
Определить |
координаты |
вершины параболы, |
величину |
параметра и |
уравнение |
оси симметрии, если |
парабола задана уравнением y2 -8x - 4 y +12 = 0.
Решение. Дополним левую часть уравнения до полного квадрата переменной у
y2 - 4 y + 4 -8x +12 - 4 = 0 или (y - 2)2 = 2 ×4 (x -1).
Следовательно, |
вершина |
параболы имеет |
координаты |
||
xb =1, yb = 2. |
Параметр p = 4 , а |
ось |
симметрии |
параллельна |
|
оси Ox и имеет уравнение y = 2. |
|
|
|
||
6.18. |
Найти |
уравнение |
параболы, симметричной |
||
относительно |
оси |
ординат, если |
известно, что |
парабола |
проходит через точки M (-3; 6) |
и N (2; -4). |
|
|||
Решение. Искомое уравнение параболы примем в виде |
|||||
y = ax2 + c. |
Подставляя координаты |
точек, будем |
иметь |
||
6 = 9a + c, -4 = 4a + c. |
Решая |
эту |
систему, находим, |
что |
|
a = 2, c = -12. |
Следовательно, условиям задачи удовлетворяет |
||||
парабола y = 2x2 -12. |
|
|
|
|
6.19. Найти уравнение параболы, симметричной относительно оси ординат, если известно, что парабола проходит через точки (1;2), (2;4) и (3;8).
Решение. Подставляя координаты точек в общее уравнение параболы, получим систему
ì a + b + c = 2,
ï
í4a + 2b + c = 4, ïî9a + 3b + c = 8.
Из решения системы |
находим, что a =1, b = -1, c = 2. |
Таким образом, условиям |
задачи удовлетворяет парабола |
y= x2 - x + 2.
6.20.Найти координаты вершины, написать уравнение оси симметрии и построить параболу, заданную
уравнением y = 5 + 4x - x2 .
140