- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •А.П. Бырдин н.В. Заварзин а.А. Сидоренко л.П. Цуканова
- •Введение
- •1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье
- •1.1. Исторические замечания
- •1.2. Гильбертово пространство. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве
- •1.3. Тригонометрические ряды Фурье
- •1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
- •1.5. Условия представимости функции интегралом Фурье
- •1.6. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье
- •Преобразование Лапласа и его приложения
- •1.1. Свойства преобразования Лапласа
- •2.2. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
- •Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений
- •Приложение операционного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •2.5. Индивидуальные задания
- •Ответы к индивидуальным заданиям
- •Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики
- •3.1. Понятие уравнения в частных производных и его решения. Основные уравнения математической физики. Уравнения современной математической физики
- •3.2. Уравнения Пуассона и Лапласа. Вывод уравнений для потенциала электрического поля
- •3.3. Получение уравнения Гельмгольца из уравнений электромагнитного поля
- •3.4. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
- •3.5. Уравнение колебаний струны
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи Коши
- •4.1. Распространение тепла в неограниченном стержне. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
- •4.2. Метод Фурье для одномерного уравнения теплопроводности. Распространение тепла в ограниченном стержне
- •4.3. Общее решение волнового уравнения в случае одной пространственной переменной. Решение Даламбера
- •4.4. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера
- •4.5. Колебания ограниченной струны. Решение методом Фурье
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах
- •5.1. Оператор Лапласа в декартовых и криволинейных координатах. Граничные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона
- •5.2. Разделение переменных в уравнении Лапласа в декартовой и сферической системах координат
- •5.3. Определение потенциала электрического поля внутри параллелепипеда
- •5.4. Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрических координатах
- •5.5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Интеграл Пуассона
- •5.6. Распространение тепла в бесконечном цилиндре
- •5.7. Распространение электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе
- •Решение уравнения Гельмгольца методом Фурье
- •5.8. Движение электрона в атоме водорода. Квантовый подход
- •6. Элементы теории специальных функций
- •6.1. Недостаточность элементарных функций для решений дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, как источник функций
- •6.2. Гипергеометрическое уравнение и функции гипергеометрического типа
- •6.3. Частные случаи гипергеометрической функции: цилиндрические функции Бесселя
- •6.4. Частные случаи гипергеометрической функции: ортогональные полиномы Лежандра
- •7. Функциональные и степенные ряды и их приложения к решению дифференциальных уравнений
- •7.1 Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость
- •7.2. Свойства равномерно сходящихся рядов. Признак равномерной сходимости
- •7.3. Степенные ряды. Интервал сходимости, радиус сходимости
- •7.4. Свойства степенных рядов
- •7.5. Арифметические операции и другие действия над степенными рядами
- •7.6. Разложение функций в степенные ряды
- •7.7. Обобщения степенных рядов – интегро – степенные ряды и ряды Вольтерра
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.1. Необходимость асимптотических методов
- •8.2. Калибровочные функции. Символы порядка
- •8.3. Пример асимптотического разложения. Определение асимптотического ряда
- •8.4. Асимптотические последовательности и асимптотические разложения
- •8.5. Простейшие асимптотические методы решения дифференциальных уравнений
- •8.6. Метод Линдстедта – Пуанкаре
- •1. Ортогональные системы функций .И обобщенные ряды Фурье. Интегралы Фурье……………………………………..... 4
- •2. Преобразование Лапласа и его приложения…………….19
- •2.3. Импульсные функции и их приложение к решению дифференциальных уравнений …………….……….……..…... 38
- •3. Задачи механики и физики, приводящие к основным уравнениям математической физики ……………………......76
- •4. Решение одномерных уравнений математической физики. Задача Коши и краевые задачи ……...……………107
- •5. Метод Фурье для уравнений математической физики в двумерном и трехмерном пространствах .......…………….133
- •6. Элементы теории специальных функций.........................179
- •8. Приближенно-аналитические методы решения дифференциальных уравнений ….........................................221
- •9. Список литературы………………………………………..247
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1.3. Тригонометрические ряды Фурье
В приложениях математики к задачам радиотехники, теплоэнергетики и физики наиболее распространенной полной ортонормированной системой функций является тригонометрическая система, ортогональная при - l x l
(1.8)
Вычислив интегралы, можно убедится в справедливости равенств:
Из формул (1.7) для тригонометрической системы функций (1.8) получаем коэффициенты Фурье функций f(x)
(1.9)
(n = 1,2,…).
Ряд вида
(1.10)
называется тригонометрическим рядом Фурье порожденным функцией , в честь французского математика Фурье Жан Батиста Жозефа (1768 – 1830 г.), главные открытия которого связаны с построением математической теории теплопроводности твердых тел.
В частности, если функция четная, то её ряд Фурье имеет вид:
(1.11)
Ряд Фурье нечетной функции имеет вид
(1.12)
Возникает важный вопрос: при каких условиях на функцию ее ряд Фурье представляет эту функцию и в соотношениях (1.10) - (1) можно поставить знак равенства? Для определенного класса функций ответ на этот вопрос дается теоремой.
Теорема. ( О разложении.) Пусть кусочно-гладкая на отрезке функция f(x) периодически с периодом 2l продолжена на всю бесконечную прямую. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции (1.10) сходится в каждой точке x из (- ,) к значению f(x) в каждой точке непрерывности и к значению в точке разрыва, т.е. имеет место равенство
(1.13)
где , , вычисляются по формулам (1.9), f(x±0) – предельные значения функции слева и справа в точке разрыва.
Кусочная гладкость функции на отрезке означает, что отрезок можно разбить на конечное число промежутков, внутри каждого из которых непрерывна и имеет непрерывную производную, причем и имеют конечные пределы на концах любого промежутка.
В комплексной форме тригонометрический ряд Фурье (1.10) принимает вид
(1.14)
где – комплексные коэффициенты Фурье, связанные с и формулами
= , = , , ,
причем для вещественной функции справедливо .
Если функция задана в промежутке , то для разложения ее в ряд Фурье можно рассмотреть периодическое продолжение разными способами.
1. Можно считать, что , т.е. продолжение функции имеет период равный . Ее ряд Фурье будет содержать и косинусы, и синусы.
2. Можно считать, что , где
,
,
т.е. продолженная функция имеет период и нечетная.
3. Можно считать, что , где
, ,
т.е. продолженная функция имеет период и четная.
Задачи для самостоятельного решения
1. 4, гл.3, §8 №485, №486, №489, №490, №493, №497, №498.
2. 5, гл.15, §2 №4373, №4375, №4386, №4391, №4392.
Литература к п. 1.3. 1, гл.17, §1-7, §10, §12, §15-16, 2, гл.4, §4.1 - 4.6, §4.9-4.11, 3, гл.8, §1-3.
1.4. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье
Если отрезок , на котором функция разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает ( ), то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. Происходит качественный скачок: заданная на конечном отрезке функция разлагается в ряд гармонических колебаний (1.13), частоты которых образуют дискретную последовательность; функция же заданная на всей оси или полуоси, разлагается в интеграл, являющийся суммой гармонических колебаний с частотами, непрерывно заполняющими всю полуось
Пусть функция разлагается в ряд Фурье, т.е. имеет место равенства (1.13), где в точках непрерывности в левой части равенства стоит . Подставив в (1.13) выражение для коэффициентов Фурье из (1.9), получим после преобразований
= , (1.15)
где переменную интегрирования обозначили t.
Если является абсолютно интегрируемой на всей оси, т.е.
,
то при первое слагаемое в (1.15) стремиться к нулю. Следовательно,
= , (1.16)
Обозначим , . Тогда (1.16) можно записать так
= , (1.17)
При интеграл в (1.17) становится несобственным интегралом от - до ; сумма в (1.17) является интегральной суммой. Поэтому из (1.17) получаем
= , (1.18)
где в левой части вместо будет стоять , если x является точкой разрыва функции.
Равенство (1.18) называется интегральной формулой Фурье, а интеграл в правой части – интегралом Фурье.