Задачи для самостоятельного решения

Решить системы уравнений:

1. .

Ответ. (1;-2;1).

2. .

Ответ. (3;4;-1).

3. .

Ответ. ( 1+t; -2+3t; 4-t; t ).

4. .

Ответ. ( -1+2t; 2-t; 3+t; t ).

5. .

Ответ. ( 0; 0; 0 ).

4. Векторная алгебра

4.1. Понятие вектора

Во многих математических и прикладных задачах приходится рассматривать направленный отрезок.

Определение. Будем говорить, что всякий направленный отрезок задает вектор.

Обозначение ( - начало, - конец), либо .

В

А

Рис. 2.

Начало вектора называют точкой его приложения.

Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля , .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковые направления. (Все нулевые векторы равны).

В любой системе координат вектор характеризуется своими координатами: .

Если известны координаты точек начала и конца вектора ; , то т.е. координаты вектора равны разностям координат конца и начала вектора. Длина вектора .

Определение. Векторы называют компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

4.2. Линейные операции над векторами

1. Операция сложения;

2. Операция вычитания (частный случай сложения);

3. Операция умножения на вещественное число.

4.2.1. Операция сложения векторов

Определение. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника).

Свойства операции сложения векторов

1. (переместительное свойство);

2. (сочетательное свойство);

3. Наличие нулевого вектора такого, что для любого вектора .

4. Наличие для каждого вектора противоположного ему вектор такого, что (противоположный вектор – вектор коллинеарный вектору , но имеющий противоположное направление).

5. Для n-ого числа векторов существует «правило замыкания ломаной до многоугольника»: если приложить вектор к концу вектора , вектор к концу , …, вектор к концу вектора , то сумма будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора .

4.2.2. Операция вычитания векторов

(частный случай сложения)

Определение. Разностью вектора и вектора называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Правило построения разности :

Разность приведенных к общему началу векторов и

представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого .

4.2.3. Операция умножения вектора на вещественное число

Определение. Произведением (или ) вектора на вещественное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае или противоположное – в случае . Если или , то - нулевой вектор (направление которого неопределено).

Геометрический смысл: при умножении вектора на число , вектор «растягивается» в раз (при ) или «сжимается» (при ). При вектор еще и меняет направление.

Свойства:

1. (распределительное свойство числового сомножителя).

2. (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел).

3. (сочетательное свойство числовых сомножителей).

Существует утверждение:

Теорема. Если вектор коллинеарен ненулевому вектору , то существует вещественное число , такое, что .