13.7. Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x называют произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

. ( 5 )

Для непрерывных величин

,

где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание есть функция от x:

= ,

которую называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины X и функция регрессии X наY:

= .

Пример. Дискретная двумерная случайная величина задана таблицей

Таблица 16

Y	X
	=1	=3	=4	=8
=3 =6	0,15 0,30	0,06 0,10	0,25 0,03	0,04 0,07

Найти условное математическое ожидание составляющей Y при X= .

Решение. Найдем , для чего сложим вероятности, помещенные в первом столбце таблицы:

=0,15+0,30=0,45.

Найдем условное распределение вероятностей величины Y при X= :

Найдем искомое условное математическое ожидание по формуле (5):

=3(1/3)+6(2/3)=5.

Две случайные величины независимы, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения составляющих:

.

Следствие. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих:

= .

13.8. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики: корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

.

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

,

а для непрерывных величин – формулу

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы. Если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y, то есть величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. Поэтому для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики и чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Коэффициентом корреляции безразмерная величина, то есть не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Теорема. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: .

Две случайные величины X и Y называют коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. X и Y называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Если коэффициент корреляции величин X и Y равен , то X и Y связаны линейной зависимостью, то есть коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между X и Y.

Две коррелированные величины также и зависимы. Однако обратное утверждение не всегда имеет место, то есть если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, а может и равняться нулю.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Для нормально распределенных составляющих двумерной случайной величины понятия независимости и некоррелированности равносильны.