- •Методические указания
- •Воронеж 2015
- •Общие рекомендации студенту-заочнику
- •Правила выполнения и оформления курсовой работы
- •Программа раздела “численные методы” дисциплины “специальные главы математики”
- •Вопросы для самопроверки
- •Задачи курсовой работы Задача №1 интерполирование функций с помощью многочлена ньютона
- •Задача №4 численное интегрирование
- •Задача №5 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
- •Задача №6
- •Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Примеры решения задач Задача №1
- •Задача №2
- •Задача №3
- •Решение. Пусть дано уравнение с одним неизвестным вида
- •Задача №4
- •Задача №6
- •Задача №7
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Методические указания
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задача №4 численное интегрирование
Задание. Вычислите приближенно интеграл при по формулам: 1) трапеций; 2) Симпсона.
Вычислите точное значение интеграла и сравните его с полученными приближенными значениями.
№1. . №2. .
№3. №4. .
№5. . №6. .
№7. . №8. .
№9. . №10. .
№11. . №12. .
№13. . №14. .
№15. . №16. .
№17. . №18. .
№19. . №20. .
Задача №5 численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача коши
Задание. С помощью метода Эйлера составьте таблицу приближенных значений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , на отрезке с шагом .
№1. .
№2. .
№3. .
№4. .
№5. .
№6. .
№7. .
№8. .
№9. .
№10. .
№11. .
№12. .
№13. .
№14. .
№15. .
№16. .
№17. .
№18. .
№19. .
№20.
Задача №6
Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задание. Найдите численное решение линейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка конечно-разностным методом, используя аппроксимацию производных второго порядка и шаг .
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
№6.
№7.
№8.
№9.
№10.
№11.
№12.
№13.
№14.
№15.
№16.
№17.
№18.
№19.
№20.
Примеры решения задач Задача №1
Задание. Дана таблица значений функции . Постройте для этой функции интерполяционный многочлен Ньютона и с помощью него найдите приближенное значение функции для заданного аргумента .
X |
3.50 |
3.55 |
3.60 |
3.65 |
3.70 |
|
Y |
33.115 |
34.813 |
36.598 |
38.475 |
40.447 |
3.57 |
Решение. Часто приходится рассматривать функции , заданные табличными значениями . Эти значения могут быть получены в результате расчета, эксперимента, опыта и т.д. Значения же функции в промежуточных точках неизвестны и их получение может быть связано с проведением сложных расчетов и экспериментов. В некоторых случаях даже при известной зависимости ее использование в практических расчетах затруднительно из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).
В связи с этим возникает задача о приближении (аппроксимации) функций: функцию , заданную таблично или аналитически, аппроксимировать функцией так, чтобы отклонение от в заданной области было наименьшим. Функция при этом называется аппроксимирующей.
На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом
. (1)
При этом коэффициенты подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена от данной функции. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации или кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , то аппроксимация называется точечной. К ней относятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и другие.
При построении приближения на непрерывном множестве точек (например, на отрезке ), аппроксимация называется непрерывной (или интегральной).
Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции строим многочлен (1), принимающий в заданных точках те же значения , что и функция , т.е.
, . (2)
При этом предполагается, что среди значений нет одинаковых, т.е. при .
Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
Максимальная степень интерполяционного многочлена , где -число узлов, -степень многочлена. В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен
(3)
используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента . Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).
Построим теперь интерполяционный многочлен, единый для всего отрезка . Пусть для функции заданы значения функции для равноотстоящих значе-ний независимой переменной: , , где шаг интерполяции.
-
…
…
Прежде чем получить такие формулы, рассмотрим элементы конечных разностей.
Составим разности значений заданной функции:
Эти разности называются конечными разностями первого порядка функции. Из них, в свою очередь, таким же образом можно получить конечных разностей второго порядка, или вторых разностей:
Аналогично определяются разности III и IV и т.д. порядков. Разность порядка определяется формулой:
,
где и .
В некоторых случаях требуется знать выражения конечных разностей непосредственно через значения функции. Для нескольких первых порядков разностей их можно получить непосредственной подстановкой
;
Аналогично для любого можно записать:
.
Такую же формулу можно записать и для значения разности в узле :
.
Для функции , заданной таблицей своих значений в узлах , конечные разности разных порядков удобно помещать в одну общую таблицу с узлами и значениями функции. Обычно используют горизонтальную таблицу или диагональную таблицу конечных разностей
Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной функции имеет вид
(4)
где .
Интерполяционную формулу (4) обычно используют для вычисления значений функции в левой половине отрезка. Дело в том, что разности вычисляются через значения функции , причем . Поэтому при больших значениях мы не можем вычислить разности высших порядков . Например, при в (4) можно учесть только , и .
Составим таблицу конечных разностей для заданных значений (таблица 1):
Таблица 1
|
|
|
|
|
3.50 3.55 3.60 3.65 3.70 |
33.115 34.813 36.598 38.475 40.447 |
1.698 1.785 1.877 1.972 ------ |
0.087 0.092 0.095 ------ ------ |
0.005 0.003 ------ ------ ------ |
При составлении таблицы конечных разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Поэтому в формуле Ньютона полагаем . Приняв , , будем иметь:
или
где
Подставим в выражение для вместо значение .
Получим
Тогда, Следовательно,