Добавил:

kane4na kane4na@yandex.ru Полоцкий Государственный Университет (ПГУ), город Новополоцк. Что бы не забивать память на компьютере, все файлы буду скидывать сюда. Надеюсь эти файлы помогут вам для сдачи тестов и экзаменов. Учение – свет. Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Полоцкий Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

УМК Коровкин-Кулик

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.01.2022

Размер:

7.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

w =	VA		AP = 6		см;	w = 0,964 с−1
	VA	;		3
		;		3
2	АР		2			2
	2

Определяем скорость точки В:

VB = w2 × BP2 ; BP2 =12 см;

V =11,56	cм	;	w =	VB	=1,93 c−1 .

B	с		3	BO

Ускорение точки В определяем по формуле, учитывающей, что точка В соединяет звенья 2 и 3:

aBn + aBτ = aA + aBAn + aBAτ .

Вычисляем вектора, входящие в формулу; те вектора, которые неиз- вестны, определим из уравнений

22,3 см/с

;

Рис. 54

= w3 ×OB =

= w2

× AB = 5,58 см/с2 .

Проектируем равенство на оси координат:

∑x;

-aBn cos 60 + aBτ cos30 = aA - aBAn ;

aBτ =15,6 см/с2 ;

aB =

(aBn )2 + (aBτ )2

= 27, 2 см/с2 .

∑ y;

-aBn sin 60 - aBτ sin 30 = -aBAτ ;

aBAτ = 27 см/с2 ;

e3 =

aBAτ

= 4,5 c

−2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найти скорость ползуна

B нецентрального кривошипного меха-

низма при двух горизонтальных и двух

вертикальных

положениях кривошипа,

вращающегося вокруг вала O (рис. 55) с

угловой

скоростью

ω = 1,5 рад/с,

если

OA = 40 см, AB = 200 см, OC = 20 см.

Рис. 55

191

	Задание 2. Найти ускорения точек A и B кри-
вошипно-ползущего				механизма (рис. 56), если
ω	= 10 с−1 ; ε	0	= 2 с−2	; OA = 20 см; AB = 100 см;
0		0

α = β = 45° .

Рис. 56

Тема 10. Сложное движение точки

Цель занятия: рассмотреть применение теоремы о сложении скоро- стей и теоремы Кориолиса к определению скорости и ускорения точки в сложном движении.

Сложное движение точки

Движение точки, участвующей одновременно в двух или более дви- жениях, называется сложным или абсолютным.

Движение точки относительно подвижной системы отсчета называ- ется относительным.

Движение подвижной системы координат относительно неподвиж- ной называется переносным движением.

Скорость точки в сложном движении равна

Vабс = Vпер + Vотн ,

где Vпер − скорость точки в переносном движении; Vотн − скорость точки

в относительном движении.

Ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме ее ускорений в переносном, относительном движении и ускорения Корио- лиса (теорема Кориолиса):

	aабс = aпер + aотн + aкор .
	Кориолисово ускорение

	aкор	= 2ω×Vотн .
	Модуль	кориолисова уско-
	рения равен

Рис. 57	aкор = 2ω×Vотн sin(ω×Vотн) .
	192

Для нахождения направления aкор применяем правило Н.Е. Жуков-

ского: чтобы получить направление aкор , следует повернуть проекцию

вектора Vотн в плоскость, перпендикулярную к ω, в сторону вращения, на

90º.

Пример 1. Определить абсолютную скорость и аб- солютное ускорение точки М, движущейся по дуге тела D, вращающегося вокруг подвижной оси, в момент времени t1 = 1 c. Точка М на рис. 58 изображена в направлении по- ложительного отсчета расстояния ОМ.

Дано: ϕ = 4t − t 2		πt	− 20π см.
Дано: ϕ = 4t − t 2	рад. OM = S = 20πsin		− 20π см.
		6

R = 30 см; t1 = 1 с.

Рис. 58

Найти: Vабс, аабс.

Решение. Движение точки М относительно оси О1О2 – абсолютное, вращение тела D относительно оси О1О2 – переносное, движение точки М от- носительно тела D – относительное.

Определяем положение точки М в момент

времени t1 = 1 c:
ОМ	1	= −10π см; α = OM = − π .
		R	3

Радиус траектории точки в переносном движении h = R cos 60° = 15 см.

Угловая скорость и угловое ускорение пе- реносного движения

ω = dϕ = 4 − 2t ;

Рис. 59

ε = −2 рад/с2;

при t

= 1 с

ω = 2 рад/с2.

Абсолютная скорость (рис. 59) V

абс = Vпер + Vотн ;

π2

πt

= 20

cos

, при t = 1 с

V = 28,5 см/с.

отн

отн СМ1.

пер = wh = 2 ×15 = 30 см/с,

пер h .

, V

= V

+ V 2

= 41, 4 см/с.

Т.к V

пер

отн

абс

пер

отн

193

Абсолютное ускорение находится по формуле

;

абс

пер

отн

кор

= ω2h = 60 см/с2;

пер

aτ

= εh = 30 см/с2;

пер

aτ

пер

20π3

πt

aотнτ

aпер

отн

= −

sin

;

Рис. 60

Vотн2

при t

= 1 с a

= −8,6 см/с ; a

= 27,1 см/с .

отн

Кориолисово ускорение (рис. 60)

= 2ωV

sin 60° = 98,7 см/с2.

кор

отн

Проекции на оси координат

∑ X ;

абсХ

= аτ

− а

= −68,7 см/с2.

пер

кор

∑Y ; a

= аτ

cos30° + аn

cos 60° − an

= −53,9 см/с2.

абсY

отн

пер

∑Z ; a

абсZ

= аn

cos30° − аτ

sin 60° = −19,1 см/с2.

отн

+ а2

+ a2

= 89, 4 см/с2.

абс

абсХ

абсY

абсZ

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Шарик Р движется со скоростью

1,2 м/с от А к B по хорде диска, вращающегося во-

круг оси, проходящей через его центр перпендику-

лярно к плоскости диска (рис. 60). Найти абсолют-

ные скорость и ускорение шарика, когда он нахо-

дится на кратчайшем расстоянии от центра диска,

равном 30 см. В этот момент времени угловая ско-

рость

диска

равна 3

рад/с,

угловое

замедление

8 рад/с.

Задание 2. Решить задание 1 в предположе-

Рис. 61

нии, что диск вращается вокруг диаметра,

парал-

лельного хорде.

194

ДИНАМИКА

Теоремы о движении центра масс системы и об изменении количества движения системы

Цель занятия: изучение особенностей применения теорем к исследо- ванию движения механических систем.

Центром масс системы называется точка, характеризующая распре- деление масс в системе, радиус-вектор которой определяется по формуле

= ∑(mк

rк )

Координаты центра масс:

x = ∑(mкхк )

;

y = ∑(mк yк )

;

= ∑(mкzк )

где xк, yк, zк – координаты точек системы; mк – масса точки; М – масса всей системы.

Теорема о движении центра масс системы устанавливает взаимо- связь между внешними силами, действующими на систему, и ускорением центра масс:

M ac = ∑ Fке .

Закон сохранения движения центра масс:

∑ Fке = 0 , т.е. r c = const .

Количество движения системы

Q = ∑mкVк .

Теорема об изменении количества движения системы:

dQ = ∑ Fке – в дифференциальной форме; dt

Q − Q0 = ∑ Sк – в интегральной форме.

Пример 1. По горизонтальной товарной платформе длиной 6 м и массой 2700 кг, находящейся в начальный момент в покое, рабочие пере- катывают тяжелую отливку из левого конца платформы в правый (рис. 62).

В какую сторону и насколько пере- местится при этом платформа, если общая масса отливки и рабочих равна

1800 кг? Силами сопротивления дви- Рис. 62 жению платформы пренебречь.

195

Дано: m1 = 2700 кг; m2 = 1800 кг; l = 6 м. x = ?

Решение. Для определения перемещения платформы применим тео- рему о движении центра масс системы, состоящей из платформы и отлив- ки, в проекции на ось Х.

M xc = ∑ Fкех ;

∑ Fкхе = 0 , т. к. все внешние силы вертикальны;

..	= 0 ;		.	= c1 ; с1 = 0, т.к. V0 = 0 по условию;
M xc	= 0 ;	M xc		= c1 ; с1 = 0, т.к. V0 = 0 по условию;
		.	= 0 →Mxc					= c2 = const , т.е.
	M xc		= 0 →Mxc					= c2 = const , т.е.
				Mxc				= Mxc .
					0
Определяем Mxc		по формуле
	0				= m1x1 + m2 x2 ;
				Mxc	= m1x1 + m2 x2 ;
				0
				x	=	l	;	x	= 0 ;
				x	=		;	x	= 0 ;
				1	2			2
					2
				Mx				= m	l	.
				Mx				= m		.
						c		1
					0				2
									2

Пусть платформа переместится вправо на величину х. Находим Mxc :

Mx = m

x +

+ m

( x + l ) .

Приравнивая выражения Mxc , получим:

= m x + m

+ m x + m l ;

1 2

(m1 + m2 ) x = −m2l ;

x = −

m2l

= −

1800 × 6

= −2, 4 м .

+ m2

4500

Перемещение платформы происходит влево на величину 2,4 м, о чем свидетельствует полученный знак (−) .

Пример 2. Определить силу давления на грунт насоса для откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей – корпуса Д и фундамента Е равна М1, масса кривошипа (ОА = а) равна М2, масса ку- лисы В и поршня С равна М3. Кривошип ОА, вращающийся равномерно с угловой скоростью ω, считать однородным стержнем (рис. 63).

P1 = M1g; P2 = M2g; P3 = M3g.

196

Решение. Для определе- ния искомой реакции N приме- ним теорему о движении цен- тра масс в проекции на ось Y:

M y = −P − P − P + N ;
ɺɺ	1	2	3
c
N = P + P + P + My .
1	2	3	ɺɺ
			c

Выражение Myc найдем по формуле

Myc = M1 y1 + M 2 y2 + M3 y3 ;

ϕ = ωt .

y = −	AO	cosϕ = −	a	cosωt ;	Рис. 63



1	2	2

y2 = −OB = −acosϕ = −acosωt ; y3 = −OE = const .

Myc = −(M1 + 2M3 ) a cos ωt − M 2 y2 . 2

Продифференцируем дважды это выражение:

.	= (M1 + 2M3 )		aω	sin ωt ;
M y			aω
M y			2
c			2
..			2
M y	= (M1 + 2M3 )	aω			cos ωt ;
M y	= (M1 + 2M3 )				cos ωt ;
c			2
N = (M1 + M 2	+ M3 ) g + (M1		+ 2M3 )			aω2	cos ωt .
N = (M1 + M 2	+ M3 ) g + (M1		+ 2M3 )				cos ωt .
			2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. На средней скамейке лодки, находившейся в покое, си- дели два человека. Один из них, массой М1 = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен перемес- титься второй человек массой М2 = 70 кг, для того чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м.

Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

197

	Задание 2.	Два груза	массами
	М1 и М2 соединены нерастяжимой ни-
	тью, переброшенной через блок А,
	скользят по гладким боковым сторо-
	нам прямоугольного клина, опираю-
	щегося основанием ВС на гладкую
Рис. 64	горизонтальную	плоскость.	Найти
	перемещение клина по горизонталь-

ной плоскости при опускании груза М1 на высоту h1 = 10 см. Масса клина М1 = 4М1 = 16М2, массой нити и блока пренебречь (рис. 64).

Теорема об изменении кинетического момента системы

Цель занятия: изучение особенностей применения теоремы об изме- нении кинетического момента к исследованию движения системы.

Главный момент количеств движения всех точек системы относи- тельно центра или оси называется кинетическим моментом системы отно- сительно этого центра или этой оси.

K0 = ∑m0 (mкVк ) – кинетический момент относительно центра;

Kz = ∑mz (mкVк ) – кинетический момент относительно оси Z.

Теорема об изменении кинетического момента системы относительно центра и оси

d K0 = ∑m0 (Fке ) – относительно центра; dt

dKz = ∑mz (Fке ) – относительно оси; dt

Если ∑m0 (Fке ) = 0 , то K0 = const .

Если ∑mz (Fке ) = 0 , то Kz = const .

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то

Kz = J zω .

Пример 1. Круглая однородная горизонтальная платформа радиу-

сом r = 3 м и массой m = 20 кг вращается без трения вокруг вертикаль-

ной оси с угловой скоростью ω = 2	рад	. В точке А на ободе платформы

0	с

198

находится материальная точка К мас-
сой m2 = 10 кг. В некоторый момент
времени (t = 0) точка К начинает дви-
гаться по хорде АВ платформы с по-
стоянной	относительной скоростью.
Определить угловую скорость плат-
формы в момент, когда точка К попа-
дает в точку В хорды АВ (рис. 65).
Решение. На систему действуют
внешние силы: P, Q –		силы тяжести
точки и платформы; RD, RE – реакции
подшипника Д и подпятника Е.
Применим для		нахождения ω
теорему	об изменении	кинетического	Рис. 65

момента относительно оси Z

dKz = ∑mz (Fке ); dt

∑mz (Fке ) = 0 ; Kz = const и Kz = Kz0 ;

Kz = Kzпл + Kzточ ,

где K zпл = J zω – кинетический момент платформы;

точ = m V

r cos 30° + m ωr –

кинетический момент точки.

2 отн

Vпер = ωr ,

Так как точка совершает сложное движение,

Kzпл =

m1r2

w ,

т.к. J z =

m1r 2

;

m1r2

w + m V

r cos30° + m wr2 ;

отн

= (m + 2m

) w0r2

; при t0 = 0

Vотн = 0.

Приравнивая значения Kz, получаем:

(m + 2m ) w0r2			= K	z0	= (m + 2m ) wr 2				+ m V					r cos30° ;
1	2	2		z0		1	2	2	2			отн
		2						2
		2m2Vотн cos30°					2 ×10 × 4				/ 2
w = w0	-	2m2Vотн cos30°				= 2 -	2 ×10 × 4			3	/ 2		=		рад
														1		.
		(m1 + m2 )					(20 + 2		×10)
												3
												3			с

199

Пример 2. Через блок, массой которого пренеб- регаем, перекинута веревка (рис. 66); в точках А и В находятся два человека одинакового веса (P1 = P2). Что произойдет с человеком В, если человек А станет под- ниматься с относительной по отношению к веревке скоростью U?

Решение. На механическую систему, состоя- щую из невесомого блока, троса и двух человек, дей- ствуют внешние силы: P1, P2 – силы тяжести; x0, y0 – реакции опоры.

	dKz	= ∑mz (		);
			Fке
	dt
Рис. 66
		= C = const .
	Kz

Так как при t0 = 0 система находилась в покое, то Kz0 =0 и значит, Kz = 0;

Kz = KzA + KzB ,

где Kz A ; KzB

– кинетические моменты относительно оси Z человека А и В.

Абсолютная скорость человека А (обозначим ее V1)

V1 = U − V2 ;

= −

− V

)r .

Абсолютная скорость человека B –

V2 ;

V r ;

= −

(U − V

)r +

V r = 0 ;

V =

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. При пуске в ход электрической лебедки

к барабану А приложен вращающий момент mвр , пропор-

циональный времени, причем mвр = at, где а – постоянная.

Груз В массой М1 поднимается посредством каната, нави-

того на барабан А радиусом r и массой М2. Определить

угловую скорость барабана, считая его сплошным цилин-

дром (рис. 67). В начальный момент лебедка находилась в

Рис. 67

покое.

200

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2920 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
19.01.2022750.59 Кб11Тест экзамен по теоретической механики.doc
#
19.01.20227.8 Mб20УМК Коровкин-Кулик.pdf