УМК Коровкин-Кулик

Эта величина называется начальным отклонением колеблющейся ма- териальной точки. Скорость последней в произвольный момент времени t

Vx = xɺ = aωcos(ωt + ϕ0 ) .

При t = 0 Vx0 = aωcos ϕ0 .

Это выражение для начальной скорости. Максимальные значения скорости

Vx.max = ±aω

достигаются при cos(ωt + ϕ0 ) = ±1, или sin(ωt + ϕ0 ) = 0 ,

что соответствует условию х = 0, то есть моментам прохождения колеб- лющейся точкой положения равновесия.

Закон гармонических колебаний (3.138) можно преобразовать сле-

Согласно формуле (3.142), амплитуда зависит от начальных пара-

метров колебания ( x0 и Vx0 ). Отметим, что в формулы для круговой часто-

ты и периода колебаний начальные параметры не входят. Начальная фаза находится из выражения

материальной точки

Рассмотрим движение точечной массы т вдоль оси Ох под действи- ем восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от начала отсчета, и силы сопротивления R, пропорциональной скорости (направ- ленной против скорости, как показано на рис. 3.13.)

141

2m

мерность [n] = c–1 ). Такое движение называется затухающими колебаниями. Начальное отклонение колеблющейся точки x0 = α sin ϕ0 .

Скорость точки в произвольный момент времени t находим путем дифференцирования по времени выражения (3.145).

Vx = −ane−nt sin(ω1t + ϕ0 ) + aω1e−nt cos(ω1t + ϕ0 ) .

Начальная скорость

Vx0 = aω1 cos ϕ0 − na sin ϕ0 .

Учитывая полученные выражения, находим

Уравнение затухающих колебаний (3.145) можно преобразовать так:

142

Из рассмотрения формулы (3.147) следует, что колеблющаяся точка проходит через положение равновесия ( x обращается в нуль) через равные промежутки времени, соответствующие полупериоду функции sin(ω1t + ϕ0 ) .

Промежуток времени

условно называется периодом затухающих колебаний, хотя строго говоря, функция в правой части уравнения (3.145) не является периодической:

x(t) ¹ x(t + T1)

для всех значений x , кроме x = 0 .

Можно показать, что наибольшие отклонения от положения равнове- сия в одну и ту же сторону (неравные по абсолютной величине) также про- исходят через одинаковые промежутки времени, равные T1 . Для этого нужно учесть, что в указанные моменты времени Vx0 = 0.

Быстрота уменьшения наибольших отклонений от положения равно- весия характеризуется так называемым декрементом затухания, представ- ляющим собой отношение двух последующих наибольших отклонений в одну и ту же сторону от положения равновесия, достигаемых через проме- жуток времени, равный T1 :

Натуральный логарифм D называется логарифмическим декремен-

том затухания

ln D = nT1 .

Вышеприведенные рассуждения относились к частному случаю движения материальной точки под действием восстанавливающей силы, пропорциональной отклонению от положения равновесия, и силы сопро- тивления, пропорциональной скорости, при условии, что ω2 – n2 > 0. Воз- можны случаи, когда сила сопротивления зависит от скорости нелинейно. Возможно, что при линейной зависимости силы сопротивления от скоро- сти ω ≤ n. В последнем случае материальная точка будет совершать так на- зываемое апериодическое движение. В зависимости от начальных парамет- ров графики апериодического движения имеют одну из форм, показанных на рис. 3.14.

143

отсутствии специальных мер являются затухающими. Для создания неза- тухающих колебаний следует осуществлять непрерывный подвод энергии, расходуемой на преодоление сил сопротивления.

3.14.3. Вынужденные колебания материальной точки

Рассмотрим движение точечной массы m вдоль оси Ox под действи-

ем восстанавливающей силы F , пропорциональной отклонению от начала

отсчета, силы сопротивления R , пропорциональной скорости, и дополни-

тельной силы, изменяющейся в функции времени, называемой силой Fн .

Условимся, что возмущающая сила направлена вдоль оси Ox и изменяется по гармоническому закону, то есть выражается формулой

Fn = Qsin ωBt ,

Q = p , получим линейное дифференциальное уравнение с правой частью m

144

Общее решение уравнения (3.151) имеет вид x = x1 + x2 ,

где х1 – общее решение уравнения (3.151), взятого без правой части; х2 – одно из частных решений уравнения (3.151).

Величина х1 может быть определена по формуле

где ω1, а, и ϕ0 определяются по формуле

(3.146).

Для нахождения х2 допустим, что x2 = bsin(ωВt + ψ0 ) , (3.153)

где b и ψ0 – постоянные, подлежащие определению.

Определим b и ψ0 , подставляя зна- чения х2 и его производных в уравнение

(3.151):

График движения согласно закону (3.155) может быть получен сум- мированием ординат графиков движения, соответствующих уравнениям

(3.152) и (3.153), взятых порознь (рис. 3.15).

Из рассмотрения графиков на рис. 3.15 следует, что движение мате- риальной точки представляет собой сумму колебаний двух видов:

1)затухающих колебаний согласно уравнению (3.152);

2)гармонических незатухающих колебаний с круговой частотой ωВ согласно уравнению (3.153).

145

После затухания колебаний первого вида (при достаточно большом

значении t) движение с достаточной точностью описывается уравнением

3.14.4. Резонанс

Выше (см. п. 3.14.3) было установлено, что приложение периодиче-

ской силы к материальной точке, находящейся под воздействием силы,

пропорциональной отклонению от положения равновесия, и силы сопро-

тивления, пропорциональной скорости, приводит к тому, что спустя неко-

торое время данная материальная точка начинает совершать вынужденные ко-

лебания с круговой частотой, равной круговой частоте возмущения ωВ , по закону (3.156).

Всякую периодически изменяю-

щуюся силу можно представить в виде суммы постоянной силы (соответст-

вующей среднему значению переменной силы) и одной или нескольких синусои-

дально изменяющихся сил. На рис. 3.16

рассмотрен частный случай, когда сила

P = P(t) раскладывается на две силы:

силы развиваются при вращении плохо cбалансированных деталей машин

(например, роторов электродвигателей). В этих случаях могут иметь место вынужденные колебания.

Для появления вынужденных колебаний необходимо наличие массы,

скрепленной с упругим элементом, и переменной возмущающей силы.

Рассмотрим, как изменяется амплитуда вынужденных колебаний в зависи-

мости от изменения круговой частоты возмущения.

Для этого преобразуем выражение (3.154) следующим образом:

146

Величина k называется коэффициентом расстройки.

Примерный график функции b = b(k) изображен на рис. 3.17.

Эта функция имеет максимум при некотором значении k, называемом критическим (kкр), определяемым по формуле

случае kкр ≈ 1.

Заметим, что при исследовании вынужденных колебаний круговую

ωB , собственной круговой частотой (или частотой свободных колебаний)

данной материальной точки.

Из рассмотрения рис. 3.17 следует, что амплитуда вынужденных ко- лебаний при увеличении k возрастает от b0 до bмакс, а затем асимптотически убывает до нуля.

Рис. 3.17. К понятию резонанса

Круговая частота возмущения при k = kкр называется критической круговой частотой.

147

Совпадение частот ωВ и ωкр называется резонансом.

Поскольку kкр ≈ 1, ωкр = ω . Таким образом, резонанс имеет место

при совпадении круговой частоты возмущения с собственной круговой частотой.

Определим b0 и bмакс:

b0 = ωр2 = Q m = Q , m c c

а подставив в выражение (3.157) значение kкр , по формуле (3.158) находим

Из выражения (3.160) следует, что амплитуда вынужденных колеба-

ний, по мере приближения ωВ к ω, стремится к бесконечности.

Поэтому резонанс при полном отсутствии затухания соответствует бесконечному росту амплитуды вынужденных колебаний.

Поскольку фактически затухание никогда не бывает равным нулю,

амплитуда вынужденных колебаний при резонансе имеет конечную вели-

чину, определяемую по формуле (3.159). При малом (но не нулевом) зна-

чении n амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

b = p . (3.161)

Отметим, что резонанс в технике может быть как вредным, так и по-

лезным явлением.

148

3.15. Приложение общих теорем динамики к механике жидкости

Одно из наиболее интересных приложений теорем динамики дают системы с бесконечным числом частиц, образующие некоторую сплошную среду, например, жидкость, газ и др. Будем предполагать эту жидкость не- сжимаемой. Данное предположение удовлетворяется в капельных жидко- стях (вода, масло) и достаточно близко к действительности при движении газов со скоростями, далекими от скорости звука.

3.15.1. Формула Эйлера

Выделим в жидкости некоторый объем V , ограниченный поверх- ностью σ , и будем изучать движение этого объема. Силы, приложенные к этому объему, классифицируем как внешние и внутренние, причем внут- ренние силы не играют роли при изучении изменения количества движе- ния выделенного объема.

Внешние силы, действующие на объем V (взаимодействие жидко- го объема с частицами остальной жидкости, а также с другими внешними телами), можно разделить на две группы:

–силы массовые или объемные, такие, которые действуют на все частицы объема V , как внутренние, так и находящиеся на поверхности, например, силы веса частиц;

–силы поверхностные, действующие только на частицы, лежащие на поверхности объема V , – таковы силы давления на поверхность σ со стороны окружающей ее жидкости или твердых стенок (русла), между ко- торыми происходит движение. Также к этой группе относятся силы трения нашего объема об окружающую жидкость или твердые стенки.

Обозначим главный вектор внешних объемных сил Rобе , а внешних поверхностных сил – Rпове .

Если количество движения жидкого объема равно K , то по теореме об изменении количества движения имеем

dK = Rобе + Rпове .

dt

Предположим, что жидкость двигается в некоторой трубе перемен- ного сечения (рис. 3.18). Рассмотрим объем жидкости между двумя каки- ми-нибудь сечениями S1 и S2, причем, отвлекаясь от разницы скоростей вблизи стенок и в середине трубы, обозначим через V1 скорость жидкости в сечении S1, и V2 – скорость жидкости в сечении S2.

149

Векторы скоростей V1 и V2 можно представить как средние скорости в сечениях S1 и S2, перпендикулярных к ним.

Произведение S1V1 определит объем жидкости, протекающий в единицу време- ни сквозь сечение S1. Поскольку жидкость несжимаема, этот же объем будет проте- кать и сквозь сечение S2, то есть

S1V1 = S2V2.

Если этот объем жидкости, проте- кающий в единицу времени через любое сечение трубы, умножим на плотность жидкости ρ , то получим массу жидкости, протекающую в единицу времени через любое сечение трубы. Эту массу обозначим

Рис. 3.18. К выводу формулы через М: Эйлера

M = ρS1V1 = ρS2V2 = ρSV .

Вычислим теперь изменение количества движения dK выделенного объема за время dt. Для этого заметим, что за время dt частицы объема V сместятся по трубе и изменят свои скорости в связи с переходом в другие сечения. Если средняя скорость в любом сечении трубы от времени не за- висит, то есть в данном сечении скорость все время одинакова (такое дви- жение называют установившимся), то за время dt в объеме между сече- ниями S1′ и S2 останутся частицы прежнего объема V , и количество дви- жения в этой части объема будет то же, что и раньше. Таким образом, из- менение количества движения произойдет за счет потери количества дви- жения в объеме между сечениями S1, S1′ и прибавления количества движе- ния в объеме между сечениями S2, S2′. Определяя количество движения в бесконечно малом объеме как произведение массы на вектор скорости, по- лучим

dK = M (V2 − V1)dt,

dK = −

dt

M (V2 V1).

Подставляя значение изменения количества движения в основное уравнение, получим

Эта формула была выведена Эйлером.

150