- •Часть 1
- •1. Общие сведения о системах связи
- •Информация, сообщения, сигналы
- •Классификация сигналов
- •Обобщенная структурная схема системы связи
- •Классификация систем связи
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований сигналов в системах связи
- •2. Математические модели сигналов
- •2.1. Сигналы как элементы функциональных пространств
- •Метрические пространства
- •Линейные пространства
- •Нормированные пространства
- •Пространства со скалярным произведением
- •2.2. Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье
- •Контрольные вопросы
- •2.3. Спектральное представление сигналов Спектры периодических сигналов
- •Спектры т-финитных сигналов
- •Свойства преобразования Фурье
- •Скалярное произведение комплексных сигналов и в спектральной области. .
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований ортогональности и спектров сигналов
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований дискретизации и восстановления сигналов
- •Свойства аналитического сигнала
- •Представление действительного сигнала X(t) через его квадратурные компоненты
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований компонентов аналитического сигнала
- •3. Преобразования сигналов в типовых функциональных узлах систем связи
- •3.1. Особенности преобразования сигналов в линейных, параметрических и нелинейных фу Линейные преобразования сигналов и фу
- •Параметрические преобразования сигналов и фу
- •Нелинейные преобразования сигналов и фу
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований преобразований сигналов в линейных, нелинейных и параметрических фу
- •3.2. Перемножение сигналов
- •3.3. Амплитудная модуляция
- •Спектры ам сигналов
- •1. Спектр простого ам сигнала.
- •2. Спектр сложного ам сигнала
- •Векторная диаграмма простого ам сигнала
- •Построение амплитудных модуляторов
- •3.4. Другие виды линейной модуляции (бм, ом, кам)
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований получения ам, бм, ом и кам сигналов
- •3.5. Детектирование сигналов с линейными видами модуляции
- •Детектирование ам сигналов
- •Детектирование бм, ом и кам сигналов
- •1. Детектирование ам сигналов
- •4. Детектирование и разделение кам сигналов
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований детектирования ам, бм, ом и кам сигналов
- •3.6. Преобразование частоты сигналов
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований преобразования частоты сигналв
- •3.7. Угловая (чм и фм) модуляция
- •Векторная диаграмма колебания с ум
- •С пектр простого колебания с ум
- •Методы осуществления угловой модуляции
- •3.8. Детектирование сигналов с угловой модуляцией Детектирование фм сигналов
- •Детектирование чм сигналов
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований фм и чм сигналов и фазового детектора
- •3.9. Виды модуляции, используемые при передаче дискретных сообщений
- •Контрольные вопросы
- •Рекомендации по проведению экспериментальных исследований формирования сигналов с разными видами цифровой модуляции
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
- •Общие сведения о системах связи …………3
- •Информация, сообщения, сигналы …………………...–
Спектры т-финитных сигналов
Т-финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряды Фурье.
Чтобы получить адекватное описание таких сигналов в частотной области используют следующий прием. На первом этапе от заданного сигнала x(t), имеющего начало в точке t1 и конец в точке t2 переходят к сигналу xп(t), являющемуся периодическим повторением x(t) на бесконечной оси времени с периодом . Сигнал xп(t) можно разложить в ряд Фурье
,
где .
Введём в рассмотрение текущую частоту и спектральную плотность амплитуд .
Тогда .
Исходный сигнал x(t) можно получить из xп(t) в результате предельного перехода Т .
При этом
, , , ,
Т аким образом, для описания спектра финитного сигнала приходим к известному в математике интегральному преобразованию Фурье:
– прямое,
– обратное.
В данном случае (и в дальнейшем) комплексную функцию записали в виде , как это принято в научно-технической литературе.
Из полученных соотношений следует, что спектр Т-фи- нитного сигнала сплошной. Он представляет собой совокупность бесконечного числа спектральных составляющих с бесконечно малыми амплитудами , непрерывно следующих по оси часты. Вместо этих бесконечно малых амплитуд используют спектральную функцию (спектральную плотность амплитуд)
,
где – амплитудный спектр,
– фазовый спектр.
Выводы
Математическим аппаратом спектрального анализа Т-финитных сигналов является интегральное преобразование Фурье.
Спектры Т-финитных сигналов сплошные и описываются непрерывными функциями частоты в виде модуля спектральной плотности амплитуд (амплитудный спектр) и её аргумента (фазовый спектр).
Свойства преобразования Фурье
Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами, следовательно, действует принцип суперпозиции. Если , то .
Прямое и обратное преобразование Фурье являются взаимно однозначными.
Свойство запаздывания.
Если , то
(в данном случае использованы подстановки: ).
Спектральная функция δ-функции.
Используя общее выражение спектральной функции и фильтрующее свойство δ-функции, получим
.
Спектральная функция комплексного гармонического сигнала .
(2.5)
Используя одно из определений δ-функции
и выполняя в нём взаимную замену t и (или f), получим
и .
Сопоставляя полученный результат с (2.5), имеем
(2.6)
Скалярное произведение комплексных сигналов в спектральной области. Пусть и – комплексные функции на интервале (–T/2, T/2). Их скалярное произведение
Из полученного результата для вещественных функций вытекает равенство Парсеваля (обобщённая формула Рэлея)
,
где – энергия сигнала ,
а – спектральная плотность энергии.
Для сигналов x(t), заданных на бесконечной оси времени (–,+), с , но имеющих ограниченную мощность , вместо спектральной плотности энергии можно использовать спектральную плотность мощности (энергетический спектр)
.
Тогда , т.к.
и – чётные функции, – односторонняя спектральная плотность мощности (энергетический спектр).