Обратное преобразование |
11 |
|
(переход от изображений к оригиналам)
При решении задач электротехники используют:
1. Обратное преобразование Лапласа:
|
1 |
0 |
j |
|
|
f (t) |
|
F( p)e pt dp, |
где p 0 j . |
||
2 j 0 |
|||||
|
j |
|
|||
2.Таблицы соответствия оригиналов и изображений (приводятся в справочниках);
3.Формулу разложения.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
12
При расчете переходных процессов изображение можно представить в виде рациональной дроби, представляющей собой отношение двух полиномов параметра p:
X ( p) M ( p) a0 pm a1 pm 1 ... am . (159)
N ( p) b0 pn b1 pn 1 ... bn
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
13
Переход от изображения X(p) к функции времени (оригиналу) x(t), т.е. обратное преобразование, осуществляется с помощью формулы
разложения.
В случае простых (некратных) корней знаменателя выражение (159) можно представить в виде суммы простых дробей, для которых известны оригиналы:
M ( p) |
|
A1 |
|
A2 |
|
... |
An |
|
, (*) |
N ( p) |
p p |
p p |
2 |
p p |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
n |
|||
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
где A1, А2 … Аn – неизвестные пока |
|
|
14 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
коэффициенты; |
|
|
|
|
|
||||
p1, p2 … pn – корни знаменателя, т.е. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
корни уравнения N(p)=0. |
|
|
|
||||||
Умножим левую и правую части (*) на (p – p1) и |
|
|
|
|||||||||
рассмотрим предел полученного выражения при |
|
|
|
|||||||||
p p1 |
|
lim |
M ( p)( p p1 ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
p p1 |
N ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
A1 p p1 |
|
lim |
A2 p p1 |
|
... lim |
An p p1 |
|
|
. |
||
p p1 |
|
p p2 |
p pn |
|
|
|||||||
p p1 |
|
p p1 |
|
|
p p1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
Предел левой части – неопределенность |
0 . |
|||||||||
Применяем правило Лопиталя |
|
|
|
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
M ( p1) |
|
||
|
lim |
M ( p)( p p1) M ( p) |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p p1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
N ( p) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N ( p1) |
|
||
В правой части остается A1. |
|
|
|
|
|
|
||||
A M ( p1) ; |
A M ( p2 ) |
; |
A M ( pn ) . |
|||||||
1 |
|
|
2 |
N ( p2 ) |
|
|
n |
|
|
|
|
N ( p1) |
|
|
|
|
N ( pn ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
Порядок расчета переходных процессов |
16 |
|
|
операторным методом |
|
1.Расчет установившегося режима
до коммутации. Определение iL(0–), uC(0–).
2.Формирование уравнения для нахождения изображения. Два способа.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
17
а) Составление дифференциальных уравнений для послекоммутационного состояния цепи для мгновенных значений токов и напряжений.
Переход к алгебраическим уравнениям для изображений с помощью преобразования Лапласа.
б) Составление операторной схемы замещения и запись для нее операторных уравнений.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
Порядок расчета переходных процессов |
18 |
|
|
операторным методом |
|
1.Расчет установившегося режима
до коммутации. Определение iL(0–), uC(0–).
2.Формирование уравнения для нахождения изображения. Два способа.
3.Нахождение изображения искомого тока или напряжения.
4.Переход от изображения I(p) или U(p) к оригиналу i(t) или u(t) с помощью таблицы соответствия или формулы разложения.
ОмГУПС, 2010 г. Кафедра теоретической электротехники. ТОЭ-2. Лекция №13. |
Тэттэр А.Ю., Пономарев А.В. |
19
Примеры расчета ПП операторным методом
Пример 1
r1 i r
L
E
20
Дано:
E = 60В; r1 = 40 Ом, r = 20 Ом, L = 0,1 Гн.
Найти: i(t)
|
|
|
i |
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
r1+r . |
|
|
|
r |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Пример решения задачи |
21 |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
классическим методом |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
r |
1) i(0 ) |
|
1 A |
|
|
|
|
|
|||||
E |
|
|
|
r1 r |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
L |
2) L di ir E; |
i iпр iсв ; |
|||
|
|
|
||||||
|
|
i |
dt |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
r1 |
|
|||||
3) iпр Er 3 A;
4)Lp r 0; 0,1p 20 0; p 200 c-1
5)iсв Ae 200t ; i iпр Ae 200t ; i 3 Ae 200t ;
При t=0: i(0 ) i(0 ) 1; 1 3 A; A 2.
i 3 2e 200t , A |
i(0) 1 A; |
i( ) 3 A. |
22
Пример решения задачи
операторным методом
1. Установившийся режим до коммутации
t 0
|
|
|
|
|
r1 |
|
i |
r |
|
|
I |
|
E |
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
i(0 ) |
|
E |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E |
|
|
r1 |
r |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(0 ) i(0 ). |
||||||
23
2.Составление уравнений для изображений и их решение относительно искомой неизвестной
|
|
|
|
r1 |
|
i |
r |
|
t 0 |
|||
2.a) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
E |
|
|
|
|
|
|
L |
|
ur uL |
E; |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ri L di |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
E; |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
rI ( p) |
|
|
|
E |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Li(0 ) p . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
LpI ( p) |
|
||||||
24
2.б) Операторная схема замещения:
I(p) r
Lp
E p
Li(0+)
rI ( p) LpI ( p) Ep Li(0 ).
25
3.Нахождение изображения искомой неизвестной величины
LpI E Li(0 );( p)(p)rI
|
|
E |
|
|
p |
|
|
|
Li(0 ) |
|
|
|
|
I ( p) |
|
p |
|
E Lpi(0 ) |
M ( p) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
N ( p) . |
||
|
|
|
|
|||
|
|
r Lp |
p r Lp |
4.Нахождение оригинала i(t) по формуле разложения
N ( p) 0; |
|
p(r Lp) 0; |
|||
p1 0; |
p2 |
|
r |
200 с 1. |
|
L |
|||||
|
|
|
|
||
|
|
|
M ( p) E Lpi(0 ); |
|
|
|
26 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
M ( p1 ) E 60; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
M ( p2 ) |
|
|
|
|
|
|
r |
|
E |
|
|
|
|
|
Er |
|
|
|
|
|
|||||||
E L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
40; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
r1 r |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
L r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
N ( p) pr |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Lp |
|
|
|
|
|
|
N |
( p) r 2Lp; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
( p1 ) r 20; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r 20. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N ( p2 ) r 2L |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i(t) |
M ( p ) |
p t |
|
M ( p |
|
) |
|
p t |
|
|
60 |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
e 1 |
|
|
2 |
|
|
e 2 |
|
|
|
|
e0 |
|
|
|
|
e 200t |
3 2e 200t |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
N ( p1) |
|
|
N ( p2 ) |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
r1 |
|
Пример 2 |
i |
r |
|
E |
|
C |
E i 
r1 r
i(t)
27
Дано:
E = const; r1, r, C.
Найти: i(t)
0 |
t |
28
1. Установившийся режим до коммутации
t 0
r1 i
|
|
|
|
|
|
uC (0 ) 0; |
|
E |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
uC (0 ) uC (0 ). |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.a. t 0 |
|
|
|
|
29 |
||||
|
|
|
|
|
Второй закон Кирхгофа |
||||
|
|
r1 |
|
i |
r |
|
|
для мгновенных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E |
|
C |
|
|
|
ur1 ur uC E; |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
В операторной форме: |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
r1I ( p) rI ( p) |
1 |
I ( p) uC (0 ) |
E . |
|
Cp |
p |
p |
2.б. t 0 |
|
30 |
||||
|
|
|
|
|||
Операторная схема замещения: |
||||||
|
|
r1 |
I(p) |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
1 . |
|
|
p |
|
Cp |
|
|
|
|
uC (0+) |
|
|
|
|
p |
|
|
r1I ( p) rI ( p) |
1 |
I ( p) E |
uC (0 ) |
. = 0 |
|
Cp |
p |
p |
|
3. |
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
M ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||
I ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
r1 r |
|
|
1 |
|
|
|
r1 r |
p |
1 |
|
|
N ( p) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( p) E; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ( p) |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0; |
|
|
p |
|
|
|
|
; |
||||||||
|
r r p |
|
|
|
|
|
|
r1 r C |
|||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ( p) r1 r;
4. |
M ( p) |
|
E |
r r C t |
32 |
|||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i(t) |
|
ept |
|
e |
1 |
|
; |
|
r1 r |
|
|||||||
|
N ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
i(0 ) r1 E r ;
i( ) 0.
E i 
r1 r
i(t)
0 |
t |