- •Задание 1.1 анализ и расчёт электрической цепи постоянного тока
- •1.1. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.1
- •1.1.2. Состав электрической цепи. Любая электрическая цепь состоит из следующих элементов:
- •1.1.3. Топологические параметры схем цепей. При анализе электрических схем пользуются следующими топологическими параметрами схем:
- •Задание 1.2 анализ и расчёт однофазной цепи переменного тока
- •1.2. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.2
- •Задание 1.3 расчёт трёхфазного приёмника электрической энергии
- •Т а б л и ц а 1.3 (продолжение)
- •1.3. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.3
1.2. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.2
1.2.1. Основные определения. Токи, напряжения и ЭДС, значения которых периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют синусоидальными (гармоническими), нередко (не совсем точно) переменными. По сравнению с постоянным током синусоидальный имеет ряд преимуществ, в частности, производство, передача и использование электрической энергии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока относительно просто преобразовывать форму напряжения, а также создавать трёхфазные системы напряжения. Синусоидальные токи широко используют в радио-, связной и контрольно-измерительной технике и в других областях.
Синусоидальную величину, например напряжение, можно задать с помощью вещественной функции времени
, (2.1)
г де u или u(t) мгновенное значение напряжения; Um и – амплитуда и фаза синусоидальной функции, или в виде временнóй (а) или векторной диаграммы в прямоугольной х-у (б) или в комплексной Re-Im (в) плоскостях (рис. 1.2.1).
При построении временнóй диаграммы за аргумент синусоидальной функции, например напряжения u(t), принимают время t (чему соответствуют период T и начальное время t0 = u/) или угол t (чему соответствуют период T = 2 и начальная фаза u в радианах) (см. рис. 1.2.1а). Однако для большей наглядности угол u часто выражают в градусах. Тогда аргумент t также переводят в градусы (напомним, что 1 рад 57,3). В этом случае период T составляет 360.
Представление синусоидальных функций при помощи векторов, вращающихся в направлении против хода часовой стрелки, позволяет наглядно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях синусоидального тока, и широко используется при анализе электромагнитных процессов и выводе основных соотношений между электрическими величинами.
Векторная диаграмма (ВД) это совокупность векторов ЭДС, напряжения и тока, изображающие в плоскости синусоидально изменяющиеся с одной и той же частотой электрические величины. В прямоугольной системе координат (оси x и y) эти векторы будем обозначать соответствующими прописными буквами, подчёркнутыми снизу: вектор амплитуды напряжения Um, вектор амплитуды тока Im (рис. 1.2.1б). Длина, например, вектора амплитуды тока Im, должна быть равна (в соответствующем масштабе) амплитуде тока Im, а угол наклона к оси абсцисс его начальной фазе i. В этом случае проекция вектора тока Im на ось ординат равна мгновенному значению тока в момент времени t = 0, т. е. i(0) = Imsini, где i – начальная фаза тока (см. рис. 1.2.1б).
Угол сдвига фаз = u i между напряжением и током на входе цепи или на неразвлетленном ее участке при вращении векторов остаётся неизменным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обычно изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t = 0 (t = 0). Знак угла на векторных диаграммах определяют по направлению его отсчета от вектора тока Im к вектору напряжения Um: если указанное направление угла совпадает с направлением частоты вращения векторов на ВД, то угол берётся со знаком «+» (рис. 1.2.1б), если направление отсчёта угла совпадает с направлением хода часовой стрелки, то угол берётся со знаком «-».
Время, в течение которого вектор напряжения (тока) совершает один оборот, называют периодом синусоидального напряжения (тока), а величину, обратную периоду Т, определяющую число периодов в секунду – циклической частотой [Гц], т.е.
(2.2)
Частота промышленных сетей в России 50 Гц, в США и Японии – 60 Гц, корабельных сетей – 250 Гц, сетей летательных аппаратов – 400 Гц, радиотехнических устройств – сотни кило- и мегагерц, гаджетов – единицы гигагерц.
Величину, определяющую число периодов в интервале времени, равном 2, называют угловой частотой [рад/с].
Соотношение между периодом T, угловой и циклической f частотами:
(2.3)
1.2.2. Средние и действующие значения синусоидальных функций. Так как среднее значение гармонического тока за период T равно нулю, то под средним значением тока i(t) понимают среднее в интервале времени T/2 (рис. 1.2.2а):
(2.4)
Таким образом, среднее значение синусоидального тока Iср равно его амплитудному значению Im, умноженному на 2/.
Аналогично определяют средние значения напряжения и ЭДС:
Действующий ток (напряжение) это основной эксплуатационный параметр цепей синусоидального тока, так как тепловое действие тока и механическая сила взаимодействия проводников с токами пропорциональны квадрату тока (произведению токов). Шкалы большинства измерительных приборов (амперметров, вольтметров) проградуированы на эти значения.
Действующее значение (действующий ток) это среднеквадратичное значение синусоидального тока за время Т (рис. 1.2.2б):
, (2.5)
т. е. действующий ток равен амплитуде, делённой на .
Аналогично определяют действующие значения напряжения u(t) и ЭДС e(t):
, .
1.2.3. Представление синусоидальных функций комплексными числами. От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изображая векторы в комплексной плоскости с осями координат: Re ось действительных чисел и величин и Im ось мнимых чисел и величин (рис. 1.2.1в). При этом векторы напряжения Um и тока Im при t = 0 выражают экспоненциальными функциями с мнимым аргументом и называют комплексными амплитудами
и ,
где j = = оператор поворота векторов против хода часовой стрелки на 90 при их умножении на j; Um и Im – модули, а u и i – аргументы комплексных амплитуд напряжения Um и тока Im при t = 0. Отметим, что модулями комплексных амплитуд напряжения и тока являются амплитуды Um и Im, а аргументами начальные фазы u и i синусоидального напряжения u(t) и тока i(t).
Л юбая точка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала координат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а координата точки по оси действительных чисел Re; b – координата точки по оси мнимых чисел Im (рис. 1.2.3а).
Воспользовавшись формулой Эйлера
(2.6)
запишем координаты комплекса амплитуды напряжения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 1.2.3б):
(2.7)
Соотношение (2.7) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = = Umsin(t + u) это проекция вращающегося вектора на мнимую ось, другими словами, это мнимая часть (без j) комплексной амплитуды напряжения, так как
а косинусоидальная функция напряжения u(t) = Umcos(t + u) есть проекция вращающегося вектора на действительную ось или действительная часть комплексной амплитуды напряжения, так как
Например, u = 10sin(t + 45) где В комплексная амплитуда напряжения.
Поделив комплексную амплитуду напряжения Um на , получим комплекс действующего значения напряжения или комплекс напряжения:
(2.8)
По аналогии записывают комплексы ЭДС и тока , например,
i = 14,1sin(314t 30) А I = A.
Переход от комплексов к синусоидальным функциям осуществляют следующим образом:
u(t) = U sin(t + u ), (2.9)
i(t) = Im sin(t + i) и т. д.
1.2.4. Формы записи комплексного числа, формулы перехода из одной формы записи в другую и алгебра комплексных чисел. Аналитически комплексное число А можно представить в трёх формах: в алгебраической A = a + jb, тригонометрической A = А(cosа + jsinа) и показательной A = (рис. 1.2.3а), т.е.
А = = А(cosa + jsina) = a + jb, (2.10)
где А = |А|= и а = arctg модуль и аргумент комплексного числа А; a = Re[А] и b = Im[А] действительная и мнимая части комплексного числа А.
Если модуль А = 1, получим формулу Эйлера:
.
В соответствии с (2.10) переход от алгебраической формы А = a jb к показательной осуществляют по формуле:
А = , (2.11)
а от показательной формы к алгебраической через тригонометрическую:
А = = = a j b. (2.12)
Если действительная часть комплексного числа имеет знак минус, например, комплекс А = a jb, то его аргумент определяют по формуле
а = arctg(b/a) . (2.13)
Например,
,
Сложение и вычитание комплексных чисел проводят в алгебраической форме:
A B = (a1 ja2) (b1 jb2) = (a1 b1) j(a2 b2). (2.14)
Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной форме, например , вначале их нужно преобразовать в алгебраическую форму согласно (2.12), а затем использовать соотношение (2.14).
Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной форме:
при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют:
; (2.15)
при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают:
= . (2.16)
Если комплекс B = B = то умножение вектора А на вектор B, т.е.
,
р авнозначно повороту вектора А на угол /2 против хода часовой стрелки, а умножение вектора А на оператор -j = равнозначно его повороту на угол /2 по ходу часовой стрелки (см. вектор -jA на рис.1.2.4а).
Умножение же вектора A на оператор j2 = 1 равнозначно повороту вектора А на угол (см. рис.1.2.4а), т.е. получим противоположно направленный вектор –А:
j2A = j .
Если комплексная величина С* (рис. 1.2.4б) отличается от комплекса С только знаком мнимой части, то её называют сопряжённым комплексом (это зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если
С = Се = С(cosc + jsinc) = a + jb, то
С*= Се = С(cosc jsinc) = a jb. (2.17)
1.2.5. Методы анализа цепей синусоидального тока. В основе расчёта цепей синусоидального тока лежат первый и второй законы Кирхгофа, записанные для мгновенных значений электрических величин. Руководствуясь компонентными уравнениями элементов схемы цепи:
и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-дифференциальных уравнений типа
причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусоидально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте ) содержит два неизвестных параметра (амплитуду и начальную фазу).
Задача анализа линейной электрической цепи в установившемся режиме при гармоническом воздействии сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, правыми частями которых являются гармонические функции времени одной и той же частоты. Для решения этих уравнений используют метод векторных диаграмм (для анализа простейших схем обычно с одним источником питания), комплексный (символический) метод и реже метод переменных энергетического состояния цепи.
1.2.5. Основы комплексного (символического) метода анализа сложных схем цепей гармонического тока. При анализе установившихся процессов в сложной электрической цепи гармонические функции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных значений токов и ЭДС источников энергии, к алгебраическим уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС.
При этом комплексными числами изображают не только гармонические ЭДС, токи и напряжения (см. п. 1.2,3 и п. 1.2.4), но и параметры пассивных элементов цепи: резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Решив систему комплексных алгебраических уравнений, составленных на базе законов Кирхгофа, метода узловых напряжений и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплексные амплитуды (или комплексы действующих значений) токов и напряжений ветвей цепи, а затем переходят к их временным аналогам
Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим комплексным сопротивлением ZЭ комплексным числом, равным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента, т.е.
= . (2.18)
При этом комплексное сопротивление (комплекс полного сопротивления):
ветви с резистором: ZR = UR / IR = R, т.е. вектор тока IR в ветви с резистором совпадает по фазе с вектором напряжения UR на его зажимах;
ветви с индуктивной катушкой; ZL = UL / IL = jXL = XL т.е. вектор тока IL в ветви с индуктивной катушкой отстает по фазе от вектора напряжения UL на его зажимах на угол, равный /2;
ветви с конденсатором: ZС = UС / IС = -jXС = XС т.е. вектор тока IС в ветви с конденсатором опережает по фазе вектор напряжения UС на его зажимах на угол, равный /2;
RL-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RL-ветви Z = , а его аргумент = u i = arctg(XL/R) > 0 определяет фазовый угол отставания вектора тока I от вектора напряжения UL на зажимах RL-ветви;
RС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RС-ветви Z = , а его аргумент = u i = - arctg(XС/R) < 0 определяет фазовый угол опережения вектором тока I вектора напряжения U на зажимах RС-ветви;
RLС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RLС-ветви Z = , а аргумент = u i = arctg[(XL XC)/R] определяет фазовый сдвиг между векторами напряжения U и тока I на зажимах ветви: при XL > XC вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол , при XL < XC вектор тока опережает по фазе вектор напряжения на угол , а при XL = XC вектор тока совпадает по направлению в комплексной плоскости с вектором напряжения.
Величину, обратную комплексному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC-ветви, т.е.
(2.19)
где g = и = bL bC активная и реактивная проводимости цепи; bL = и bC = индуктивная и ёмкостная проводимости RLC-ветви.
Итак, комплексная (полная) проводимость RLC-цепи
Y = g j(bL bC) = g jb , (2.20)
где и = arctg модуль и аргумент комплексной проводимости цепи.
1.2.6. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме. Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных направлений тока и напряжения выражение закона Ома имеет вид
, (2.21)
где Z = Zej комплекс сопротивления ветви.
Если > 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при < 0 ток опережает по фазе напряжение.
Так как полная комплексная проводимость Y = 1/Z, то ток
I = UY = UYe . (2.22)
Запишем обобщённый закон Ома для ветви с n последовательно соединёнными источниками напряжения и пассивными элементами:
(2.23)
где Еk и U комплекс k-й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c направлением тока ветви, а знак минус при их противоположном направлении.
Первый закон Кирхгофа (1ЗК) гласит, что в любом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраическая сумма комплексов токов равна нулю, т. е.
. (2.24)
Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со знаком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со знаком минус.
Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в любом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряжений на пассивных элементах этого контура, т.е.
(2.25)
где (n) и (m) число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре.
Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных элементах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпадают с направлением обхода контура.
Пример 1.2.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхгофа относительно неизвестных комплексов токов ветвей (I1, I2 и I3) схемы цепи (рис. 1.2.5).
Решение. В соответствии с алгоритмом метода законов Кирхгофа:
1. Выбираем направления комплексов токов ветвей и обозначаем их стрелками на схеме (см. рис. 1.2.5).
2 . Уточняем число узлов (У = 2) и ветвей (В = 3) схемы цепи с неизвестными токами.
3. Составляем уравнение по 1ЗК для узла 1:
4. Выбираем независимые контуры и направление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем упражнении имеется два независимых контура (левый и средний).
Внимание! Ветвь с заданным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитывается.
Запишем уравнения по 2ЗК (для независимых контуров):
Пример 1.2.2. Рассчитать схему цепи с одним источником напряжения (рис. 1.2.6a) со смешанным соединением ветвей методов преобразования (свертывания) схемы и с помощью правила делителя тока. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения, комплекс которого U.
Р ешение. 1. Запишем комплексы сопротивлений ветвей:
, ,
.
2. Комплекс входного сопротивления Z = Z1 + .
3. Комплекс входного тока цепи I1 = .
4. Комплексы токов ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока:
5. Комплексы напряжения ветвей:
Векторная диаграмма токов и напряжений цепи представлена на рис. 1.2.6б, при этом
1.2.7. Комплексная мощность цепи синусоидального тока. Комплексной мощностью цепи называют комплексное число S, модуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент углу сдвига фаз = u i между током и напряжением на её входе, т.е.
S = Se j = UIe j(u i) = Ue juIei = U , ( 2.26)
т.е. комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток
Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической
S = Scos + jSsin,
устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности цепи
Р = Re[S] = Scos. (2.27)
Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реактивную мощность цепи
Q = Im[S] = Ssin . (2.28)
С учётом (2.27) и (2.28) запишем выражение (2.26) следующим образом:
S = P + jQ = . (2.29)
Итак, комплексная мощность S представляет собой комплексное число, действительная часть которого равна активной мощности цепи P, а мнимая реактивной Q, причём если перед символом j стоит знак «плюс», то это реактивная индуктивная мощность +QL, а если знак «минус» реактивная ёмкостная мощность QС.
Пример 1.2.3. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплексы тока и напряжения на зажимах которой U = 10ej30 B и I = 2ej45A.
Решение. 1. Комплексно-сопряжённый ток = 2ej45A.
2. Комплексная мощность S = U = 10ej302ej45 = 20ej75 ВА.
3. Активная мощность Р = Scos = 20cos75 5,2 Вт.
4. Реактивная мощность Q = QL = Ssin = 20sin75 19,3 вар.
1.2.8. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, должна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми приёмниками энергии.
= , (2.30)
где n и m число источников и приёмников энергии в цепи.
Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а электрическая энергия.
Уравнение (2.30) называют уравнением (условием) баланса мощностей.
В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, активных и реактивных мощностей.
Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.30):
. (2.31)
Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей цепи представляют в следующем виде:
(2.32)
при этом слагаемое, стоящие в левой части (2.32), берется со знаком «плюс», если совпадают направления тока Ik и ЭДС Еk источника напряжения. В противном случае эти слагаемые берут со знаком «минус».
Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:
активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна активной мощности всех её потребителей (расходуемая в резистивных элементах цепи):
(2.33)
реактивная мощность всех источников равна реактивной мощности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её потребителями):
(2.34)
где Rk и jХk = jХLk jХСk действительная и мнимая части комплексного сопротивления k-го пассивного элемента.
П ример 1.2.4. Для цепи (рис. 1.2.7) с параметрами: U = 10ej45 B, jXL1 = j2,5 Ом, R2 = 4 Ом, jXL2 = j3 Ом, jXC3 = j5 Ом рассчитать комплексы напряжений и токов ветвей. Результаты расчёта проверить посредством схождения баланса мощностей.
Решение. 1. Определим комплексы сопротивлений ветвей:
2. Комплекс входного сопротивления
Z = Z1 +
3. Комплекс входного тока I = I1 = U/Z = 20ej45/5 = 4ej45 A.
4. Комплексы токов ветвей разветвления:
5. Комплексы напряжений ветвей:
6. Комплексная мощность, отдаваемая источником,
должна быть равна комплексной мощности, потребляемой приёмниками:
Таким образом, условие баланса комплексных мощностей с допустимой погрешностью выполнено. При этом активная мощность источника энергии и приёмников Рист Рпр = 80 Вт, а реактивные мощности Qист Qпр = 0.