baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev
.pdfПусть b неограниченно возрастает, тогда есть две возмож-
ности: или |
при b → +` имеет предел, или данный ин- |
теграл предела не имеет, а это означает, что он или стремится к бесконечности, или колеблется, т. е. не стремится ни к какому пределу.
Теперь дадим определение несобственного интеграла. Несобственным интегралом от функции f (x) в интервале
[a, +`) называется предел интеграла |
при b → `. Это за- |
писывается следующим образом |
|
|
(5.12) |
Если предел (5.12) существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходя-
щимся [2, 22].
Если первообразная функция F(x) для подынтегральной функции f (x) известна, то можно определить, сходится несобственный интеграл или нет. Используем формулу НьютонаЛейбница и получим:
Поэтому если предел первообразной F(x) при x →` существует, то несобственный интеграл сходится, а если предел не существует, то интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл в интервале (-`; b):
Если функция f(x) определена и непрерывна в интервале (-`; +`), то получим
171
Если оба интеграла в правой части последнего выражения сходятся, то интеграл сходится, а если хотя бы один из
них расходится, то и расходится [2, 22].
Если известна первообразная F(x), то
Сходящиеся несобственные интегралы имеют определенный геометрический смысл. Например, график функции y = f(x) ограничивает криволинейную трапецию с бесконечным основанием (см. рис. 5.4).
y f(x)
y
0 |
b x |
Рис. 5.4 |
|
Если несобственный интеграл |
сходится, то за- |
штрихованная фигура имеет площадь, которая равна этому интегралу. А если интеграл расходится, то говорить о площади фигуры нельзя.
Теперь приведем конкретные примеры решения несобственных интегралов.
172
Пример 5.25.
Вычислим
[Делаем замену переменной Затем меняем пределы интегрирования y(0) = 0; y(`) = -`.] Тогда получим
т. е. несобственный интеграл |
сходится и равен |
Пример 5.26. |
|
|
т. е. данный интег- |
рал расходится. |
|
Пример 5.27. |
|
Величина не стремится к определенному
пределу при b → ` (колеблется).
Пример 5.28.
т. е. данный интеграл расходится.
Часто важно знать не конкретное значение несобственного интеграла, а сходится он или расходится. Для этого используются признаки сравнения, которые мы и приводим.
1. Если для ;x(x$a) выполняется неравенство 0 #f(x) #w(x)
и если |
сходится, то сходится и |
, при этом выпол- |
няется неравенство |
|
17
Например, проверим сходится ли интеграл
При х $ 1,
Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл:
т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится и его значения меньше 1.
2.Еслидля;x(x$a)выполняетсянеравенство0#w(x)#f(x), причем расходится, то расходится и
Например, проверим сходимость интеграла
Очевидно, что Теперь рассмотрим сходится ли несобственный интеграл
т. е. данный интеграл расходится. Поэтому по признаку 2 расходится
174
. Если несобственный интеграл |
сходится, то схо- |
дится и интеграл . Последний интеграл в этом случае
называется абсолютно сходящимся.
В качестве примера проверим сходимость интеграла
На интервале [1; `) подынтегральная функция |
знако- |
|
переменная. |
|
|
Видно, что |
. Теперь рассмотрим, сходится ли |
несобственный интеграл
т. е. данный интеграл сходится. Поэтому по признаку 1 сходится
а, следовательно, по признаку сходится и интеграл
При использовании признаков сравнения надо иметь запас функций, несобственные интегралы от которых или сходятся, или расходятся и результат этот нам известен заранее. Эти функции мы будем использовать в качестве w(х).
5.4.некоторыеприложенияопределенногоинтеграла
5.4.1.Вычислениеплощадейплоскихфигур
Так как определенный интеграл от непрерывной неотрицательнойфункцииравенплощадисоответствующейкриволинейной трапеции, а площадь любой плоской фигуры можно представить как сумму и (или) разность площадей криволинейных
175
трапеций, то, следовательно, определенный интеграл можно ис- |
|||
пользовать для вычисления площадей плоских фигур [2, 16]. |
|||
Если функция y = f (x) или плоская фигура ABCD находят- |
|||
ся выше оси 0х (см. рис 5.5 и рис. 5.6), то мы имеем |
и |
||
|
. |
|
|
y |
|
y f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
|
0 |
a |
b |
x |
|
|
Рис. 5.5 |
|
y |
|
y f1(x) |
|
|
|
|
|
D |
|
C |
|
|
|
||
|
|
S2 |
|
A |
y |
f2(x) |
|
|
|
B |
|
0 |
a |
b |
x |
|
|
Рис. 5.6 |
|
Если функция y = f (x) находится полностью или частично |
|||
под осью 0х (см. рис. 5.7 и рис. 5.8), то мы получаем: |
.
176
y
|
a |
|
b |
0 |
|
S |
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y f(x) |
|
|
|
Рис. 5.7 |
|
y |
|
|
|
a |
|
y f(x) |
c |
0 |
b |
|
x |
S4
Рис. 5.8
Если функция x = w(y) или плоская фигура ABCD прилегают к оси 0y, то (см. рис. 5.9 и рис. 5.10)
y
bS5
x(y)
a
0 |
x |
Рис. 5.9
177
y
B
b
2 2(y)
a
A
0
C
S6
11(y)
D
x
Рис. 5.10
Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующей схеме:
1)В соответствии с условиями задачи делают схематический чертеж.
2)Искомую площадь представляют как сумму и (или) разность площадей криволинейных трапеций.
) Находят пределы интегрирования.
4)Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и искомую площадь фигуры.
Теперь рассмотрим конкретные примеры вычисления площадей плоских фигур.
Пример 5.29.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: х =
=4 – у2 , х = 0.
Сначала по условиям задачи строим схематический чер-
теж (см. рис. 5.11).
x = 4 – у2 — парабола. Найдем ее вершину х = -2у. y = 0, х = = 4 (max) и точки пересечения с осью 0у. 4 – у2 = 0, у = 2, у = -2.
y1 = -2 и y2 = 2 являются пределами интегрирования. Теперь найдем искомую площадь. Так как парабола сим-
метрична относительно оси абсцисс, то можно записать.
178
2x4 2
0 |
4 |
x |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
Рис. 5.11
кв. ед.
Пример 5.30.
Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x2 – 6x + 8; y = 0
Построим схематический чертеж искомой фигуры (см.
рис. 5.12)
|
y |
|
|
x2 |
|
6x 8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
4 |
x |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.12
Кривая y = x2 – 6x + 8 есть парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее характерные точки.
y = 2x – 6; y = 0;
179
2x – 6 = 0;
x = , y = -1 (min); x2 – 6x + 8 = 0;
D = 6 – 4·1·8 = 4;
(пределы интегрирования).
Теперь находим искомую площадь (знак модуля ставится, так как фигура находится под осью 0х).
кв. ед.
Пример 5.31.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 6, x + y – 7 = 0.
Построим схематический чертеж (см. 5.1 ) и найдем пределы интегрирования:
(пределы интегрирования) Теперь находим искомую площадь
= 5 – 17,5 – 6ln6 = (17,5 – 6ln6) кв. ед.
180