baldin_kv_red_matematika_dlia_gumanitariev

(cos x) = –sin x;

Дополним таблицу производных производными от гиперболических и обратных гиперболических функций, которые не являются основными элементарными функциями, но часто используются в различных приложениях [2, 22].

К гиперболическим функциям относятся гиперболические синус (shx), косинус (chx) и тангенс (thx), которые находятся по формулам:

Все эти функции определены на множестве действительных чисел (R) и связаны между собой следующими соотношениями:

ch2x - sh2x = 1; ch2x = ch2x + sh2x; sh2x = 2shx chx;

Функции, обратные shx, chx, thx, являются обратными гиперболическими функциями и обозначаются Arсhx (арксинус гиперболический), Arshx (арккосинус гиперболический), Arthx (арктангенс гиперболический):

111

Производные гиперболических и обратных гиперболических функций находятся по формулам:

Правиладифференцирования

1. Производная алгебраической суммы функций:

(f1 (x) ± f2 (x) ± … ± fn (x)) = f1 (x) ± f2 (x) ± … ± fn (x); 2. Производная произведения функций:

(f1 (x) · f2 (x)) = f1 (x) · f2 (x) + f1 (x) · f2 (x).

Исходя из этого правила для трех функций, получим,

(f1(x) · f2(x) · f (x)) = (f1(x) · f2(x)) · f (x) + f1(x) · f2(x) · f (x) = f1 (x) · f2(x) · f (x) + f2 (x) · f1(x) · f (x) + f (x) · f1(x) · f2(x);

. Производная частного двух функций:

4. Производная сложной функции. Сформулируем теорему.

Теорема 4.3. Производная сложной функции равна производной заданной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной, т. е. если y = f(u), a u = w(x) и y = f(w(x)), то согласно данной теореме:

112

Аналогично выводится формула при любом числе промежуточных аргументов, т. е. производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

Например, найдем производную функции y = cos2 4x.

y = 2cos 4x · (–sin 4x) · 4 = –8cos 4x · sin 4x = –4sin 8x;

5. Производная обратной функции находится по формуле

или

т. е. производные от взаимно обратных функций обратны по величине. В качестве примера найдем производную функции

Примерынахожденияпроизводных

Пример 4.1.

Прежде чем найти производную от заданной функции перейдем к другому основанию и найдем производную исходной функции по правилу производной частного.

11

Пример 4.2.

y = xsin x.

Данная функция называется сложной показательной функцией. Чтобы найти производную от такой функции прологарифмируем ее левую и правую части, а затем продифференцируем полученные выражения, помня, что у есть функция от х [2]

Дадим понятие о дифференциале функции.

Если задана непрерывная функция y = f(x), имеющая про-

изводную , то:

где (x) — бесконечно малая величина при Dx → 0. Далее получаем:

Dx = f (x) · Dx + (x) · Dx.

Дифференциалом (от латинского слова differentia — разность) функции называется главная часть приращения этой функции, линейная относительно приращения аргумента х, т. е.

dy = f (x) · Dx.

Геометрический смысл дифференциала виден из рис. 4. . Дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке

М(х,у) при данных значениях х, Dх [16, 22]. Рассмотрим функцию у = х.

Для нее получим, что dy = Dx, а так как у можно заменить на х по условию, то имеем dx = Dx.

Следовательно, дифференциал функции равен dy = y dx. Отсюда следует формула:

Дадим понятие о производной второго порядка. Предположим, что нам задана функция y = f(x) имеющая производную y = f (x).

114

Касательная

Рис. 4.3

Эта производная также является функцией и если она дифференцируема, то от нее можно взять производную. Она будет называться производной второго порядка:

Например, найдем вторую производную функции.

Пример 4.3.

y = x2 + sin x.

y = 6x + sin2 x · cos x.

y0 = 6 + (2sin x · cos2 x - sin x).

С помощью первой и второй производных можно исследовать функцию на экстремум (max, min), находить точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости функции.

4.2.некоторыесведенияофункцияхмногихпеременных. Понятиеочастнойпроизводной

Ранее были рассмотрены функции, которые зависели от одного независимого аргумента. Но в реальной действительнос-

115

ти чаще приходится иметь дело с функциями, которые зависят от двух, трех и большего числа независимых аргументов.

Например, площадь прямоугольника со сторонами а и b будет функцией двух независимых аргументов. Функция эта имеет вид Sпр = a · b, где a и b могут быть любыми действительными положительными числами, так как и стороны прямоугольника, и его площадь не могут быть отрицательными величинами.

Положение какого-либо объекта на поверхности планеты определяется тремя координатами: широтой, долготой и высотой, т. е. является функцией трех независимых аргументов.

Положение космического аппарата (КА), движущегося по невозмущенной эллиптической орбите вокруг Земли, есть функция шести аргументов (трех координат (x, y, z) и трех составляющих скорости ). Эта функциональная зависимость имеет следующий вид:

В гуманитарных науках, например в юриспруденции и экономике, жестко детерминированные функциональные связи встречаются нечасто. Там используются многофакторные статистические взаимосвязи вида:

Z = f(x1, x2, …, xn) + Df(Dx1, Dx2, …, Dxn) + (y1, y2, …, ym).

где x1, x2, …, xn — учтенные признаки, под влиянием которых меняется функция Z,

Dx1, Dx2, …, Dxn — ошибки учтенных признаков,

y1, y2, …, ym — неучтенные признаки, которые могут влиять на функцию Z.

Сначала рассмотрим функцию двух независимых аргументов х и у. Переменная величина Z называется функцией переменных величин х и у на множестве D, если каждой точке этого множества соответствует одно определенное значение величины Z [2, , 6, 20].

Множество D называется областью определения функции Z. Обычно она представляет собой часть плоскости х0у, ограниченной одной или несколькими линиями. Тот факт, что Z есть функция независимых аргументов х и у записывают так:

116

Z = f(x, y).

Функция двух аргументов может задаваться следующими способами:

1)аналитическим, т. е. приводится формула, при помощи которой по заданным значениям аргументов х и у находят значения функции Z. Например,

2)табличным, т. е. для некоторого количества пар аргументов (х, у) приводятся значения функции (Z).

) графическим.

Графиком функции двух независимых аргументов в системе прямоугольных координат называется множество точек, абсциссы и ординаты которых являются значениями х и у, а аппликаты — соответствующими

значениями Z. Графиком функции двух непрерывных аргументов обычно служит поверхность.

Например, графиком функции Z = x2 + y2 является параболоид вращения (рис. 4.4).

Теперь дадим определение

функции n независимых аргументов x1, x2, …, xn.

Переменная величина W называется функцией переменных величин x1, x2, …, xn, если каждой

117

рассматриваемой совокупности этих величин соответствует одно определенное значение W.

Тот факт, что W есть функция аргументов x1, x2, …, xn, записывают так:

W = f (x1, x2, …, xn).

Геометрическая иллюстрация функций от n независимых аргументов теряет наглядность при n > 2.

При исследовании поверхностей 2-го порядка часто применяют метод сечений, который заключается в том, что определение вида поверхности по ее уравнению производится путем изучения кривых, образованных при пересечении этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям.

Дадим определение предела функции двух независимых аргументов.

Число b называется пределом функции Z = f (x, y) при x → x0 и y → y0, если для всех значений х и у, достаточно мало отличающихся от x0 и y0, соответствующие значения функции f (x, y) как угодно мало отличаются от числа b [6, 22].

Тот факт, что b есть предел функции Z = f (x, y) при x →x0 и y → y0 записывают так:

Теперь введем понятия частных производных по независимым аргументам.

Рассмотрим функцию двух независимых аргументов х и у

Z = f (x, y).

Предположим, что y = const и рассмотрим f (x, y) как функцию одного независимого аргумента х.

Если эта функция дифференцируема, то существует предел

Нижний индекс (х) указывает на то, что производная берется по аргументу х.

118

Частной производной по х от функции Z = f (x, y) называется функция переменных величин х и у, которая получается при дифференцировании f (x, y) по х в предположении, что y = const.

Она обозначается так:

Аргумент у считается постоянным только в процессе дифференцирования. После нахождения частной производной

функция будет зависеть от двух аргументов х и у.

Аналогично определим частную производную по у от функции Z = f (x, y) при x = const. Как предел

Она обозначается так: . При нахождении

частных производных используются формулы и правила дифференцирования функции одного независимого аргумента. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 4.4.

Z = 5x · cos y.

Пример 4.5.

Z = 6x4 · tg y + 5x · ln y,

Аналогично можно определить частные производные от любого числа независимых аргументов.

Например, имеем функцию n независимых переменных

119

W = f (x1, x2, …, xn)

Определим частную производную по аргументу x1

Аналогично определим частную производную по аргументу x2

и так далее.

Пример 4.6.

W = 2x1 · cos x2 · ln x ;

Дифференцированиесложныхфункций

Пусть имеем функцию двух независимых аргументов Z = f (u, v), причем аргументы являются функциями независимых переменных х и у, т. е. u = w(x, y); v = c(x, y), следовательно

Z = f [w(x, y), c(x, y)].

В этом случае частные производные функции Z по аргументам х и у будут вычисляться по формулам [2, 22].

Пример 4.7.

Z = e xy · sin (5x + y).

120