► Дифракция рентгеновских лучей на кристалле. Длина волны рентгеновских лучей сравнима с расстоянием между атомами кристаллической решетки, которая для падающих лучей представляет собой пространственную дифракционную решетку. Условие дифракционных максимумов состоит в одновременном выполнении трех уравнений (16) для трех взаимно перпендикулярных кристаллических осей (условия Лауэ):
где α, β, γ — углы с осями, связанные условием
Эти три уравнения нельзя одновременно удовлетворить при произвольно выбранном направлении падающего луча и заданной длине волны. Это значит, что при облучении кристалла монохроматическими, но рассеянными рентгеновскими лучами (т.е. имеющими всевозможные направления) возникают дифракционные максимумы во вполне определенных направлениях. Анализ получающихся лауэограмм позволяет получать информацию о строении кристалла. Дифракционные максимумы отсутствуют, если λ/2 превышает все периоды решетки; для видимого света кристалл можно считать однородной средой.
Отражение рентгеновских лучей от поверхности кристалла можно также рассматривать как интерференцию лучей, отраженных от системы последовательных атомных плоскостей в кристалле. По аналогии с интерференцией в тонких пленках (см. разд. 5.2), разность хода между лучами, отраженными от соседних плоскостей, равна d sinθ, где θ — угол между падающим лучом и атомной плоскостью (не с нормалью!), а d межплоскостное расстояние. (Отметим, что показатель преломления рентгеновских лучей мало отличается от единицы, (см. разд. 5.5.) Отражение наблюдается только в направлениях дифракционных максимумов, удовлетворяющих условию Вульфа — Брегга:
где m =1,2,… – порядок дифракционного максимума.
5.4. Поляризация света. Формулы Френеля
► Поляризованный и естественный свет. Плоская волна называется линейнополяризованной или плоскополяризованной, если колебания вектора Е происходят в одной плоскости, перпендикулярной фронту волны (ее называют плоскостью поляризации волны). Монохроматическая плоская волна либо линейно поляризована, либо поляризована по эллипсу или по кругу (см. разд. 4.5). Эллиптически поляризованная волна представляет собой сумму двух взаимно перпендикулярных плоских волн, между колебаниями которых имеется разность фаз. Естественный свет, испущенный нагретыми телами, является неполяризованным, поскольку направление колебаний вектора Е в каждой точке быстро и хаотически меняется. Смесь естественного и поляризованного света называется частично поляризованным светом.
Поляризатором называется устройство, на выходе из которого свет линейно поляризован в определенной плоскости, называемой плоскостью пропускания поляризатора. Причина в том, что поляризатор полностью поглощает свет, поляризованный перпендикулярно плоскости пропускания. Если естественный свет пропустить через поляризатор, то он станет линейно поляризованным, а его интенсивность уменьшится в два раза (если нет поглощения в плоскости пропускания поляризатора). Если линейно поляризованный свет интенсивностью I0 пропустить через поляризатор, плоскость пропускания которого составляет угол α с плоскостью колебаний световой волны, то интенсивность прошедшей волны будет составлять
(закон Малюса). Объясняется это тем, что линейно поляризованный свет с амплитудой E0 представляет собой сумму двух линейно поляризованных воли: волна, поляризованная в плоскости пропускания (ее амплитуда равна E0 cos α), пройдет через поляризатор без изменений, а вторая волна будет поглощена.
► Отражение и преломление волн. Формулы Френеля. Интенсивность и поляризация отраженной и преломленной волн зависят от того, как поляризована падающая волна. Запишем граничные условия на поверхности раздела двух сред:
Здесь нижние индексы т, п обозначают тангенциальную и нормальную компоненты, а верхние; индексы i, r, d соответствуют падающей, отраженной и преломленной волнам. Кроме того, необходимо учитывать соотношения между электрическим и магнитным полями в плоской электромагнитной волне (см. раздел 4.5). Для плоской монохроматической волны
соотношения для волновых векторов (рис. 87) имеют вид:
или
где . Получаем закон отражения β = α и закон преломления
Особого внимания заслуживает случай, когда свет падает из оптически более плотной среды ( n1 > n2 )под углом α, большим предельного угла αпр полного отражения (sinαпр = n1 / n2). В этом случае и оказывается мнимым: ,
где . Это означает, что амплитуда прошедшей волны экспоненциально затухает на расстоянии , а амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей.
Амплитуды прошедшей и отраженной волн зависят от поляризации падающей волны. Приведем результат для отраженных волн:
(формулы Френеля). Здесь первая формула относится к волне, поляризованной в плоскости падения (ее удобно выводить из граничных условий для Е), а вторая к волне, поляризованной в перпендикулярной плоскости (ее удобнее выводить из граничных условий для Н). Видно, что при угле падения, удовлетворяющем условию α + ψ = π / 2, волна, поляризованная в плоскости падения, отражаться не будет. Так как в этом случае , то угол падения, при котором отраженная волна будет линейно поляризованной перпендикулярно плоскости падения (угол Брюстера), удовлетворяет соотношению:
.
Качественное объяснение состоит в том, что в этом случае направление колебаний диполей (указаны на рисунке), возбужденных во второй среде волной, поляризованной в плоскости падения, оказывается параллельным направлению отраженной волны (отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны). Но осциллятор не излучает волну в направлении своих колебаний (см. разд. 4.5).
В случае нормального падения различие между поляризациями пропадает:
Видно, что при отражении от оптически более плотной среды( ) фаза колебаний сменяется на противоположную (точнее, к фазе; добавляется 7т). Впрочем, это свойство видно и непосредственно из формул Френеля: при а > ф происходит изменение знака колебаний.
Отношение потока отраженной энергии к потоку энергии падающей называется коэффициентом отражения. При нормальном падении он равен
|
|
(17) |
Коэффициент пропускания равен D = 1 — R (закон сохранения энергии).
О тметим, что если коэффициент отражения равен отношению объемных плотностей энергии отраженной и падающей волн: , то при расчете коэффициента пропускания надо учесть как различие в скоростях волн в разных средах, так и (для падения под утлом) изменение поперечной площади за счет преломления: (рис. 88). В итоге
(Поток энергии равен произведению объемной плотности энергии на скорость волны и на площадь поперечного сечения.)
Коэффициенты R и D зависят только от относительного показателя преломления двух сред. Коэффициент отражения обычно невелик; например, при получим R = 0,04.
Пример. Просветление оптики. Коэффициент отражения стекол в оптических приборах невелик (несколько процентов). Тем не менее важной задачей является уменьшение отражения для определенных длин волн. Для этого на поверхность наносят прозрачную пленку с показателем преломления (п — показатель преломления стекла) и толщиной . Оптическая разность хода между лучами, отраженными от поверхностей пленки, равна λ /2 (изменение фазы при отражении учитывать не надо, так как оно происходит у каждого из лучей), а коэффициенты отражения на этих поверхностях будут близки друг к другу (см. формулу (17)). В результате произойдет почти полное гашение отраженного света.
► Оптически анизотропные среды. В случае сред, обладающих анизотропией, векторы и в общем случае уже не параллельны друг другу. Линейная связь между ними носит тензорный характер, т.е. каждая из компонент вектора выражается в виде линейной комбинации всех трех компонент вектора . Существуют три взаимно перпендикулярные оси, называемые диэлектрическими осями кристалла, для которых . Значения , называются главными диэлектрическими проницаемостями кристалла. Мы рассмотрим только случай одноосных кристаллов, у которых две из трех равны друг другу ( ). Выделенная ось ( ) называется оптической осью кристалла.
П ри распространении в одноосном кристалле плоской волны вводят главное сечение кристалла — плоскость, проходящую через оптическую ось и вектор нормали к фронту волны. Оказывается, что распространение линейно поляризованной световой волны зависит от направления ее поляризации. Волна, поляризованная перпендикулярно главному сечению, называется обыкновенной. Скорость распространения такой волны не зависит от направления; колебания векторов и направлены одинаково; направление распространения энергии (т.е. вектора Пойнтинга ) перпендикулярно фронту волны. Волна, поляризованная параллельно главному сечению, называется необыкновенной. Скорость ее распространения зависит от угла между и оптической осью (при угле π / 2 между ними она равна ). Колебания векторов Е и D происходят в разных направлениях, вектор Пойнтинга не перпендикулярен к фронту волны (нормаль к фронту волны параллельна ). Разница между обыкновенным и необыкновенным лучами исчезает только при распространении света параллельно оптической оси.
При падении света на поверхность кристалла он разделяется на обыкновенный и необыкновенный лучи, линейно поляризованные перпендикулярно друг другу и имеющие разные показатели преломления (явление двулучепреломления). Закону преломления (см. разд. 5.1) подчиняется направление распространения фронта необыкновенной волны, сам же луч может выйти из плоскости падения. Даже при нормальном падении луча на кристалл, вырезанный под углом к оптической оси, происходит пространственное разделение лучей (рис. 89). Положения фронтов указаны черточками, положение оптической оси — стрелкой. Необыкновенный луч поляризован в плоскости чертежа, обыкновенный — перпендикулярно ей.
Для получения и анализа поляризованного света используют поляризованные призмы (николи), разрезанные под углом к распространению лучей таким образом, что обыкновенный луч испытывает на плоскости разреза полное отражение и уходит в сторону, а необыкновенный луч проходит прямо. Другой способ получения поляризованного света основан на различии в поглощении обыкновенного и необыкновенною лучей в некоторых веществах. При пропускании света через дихроичиую пластину (пластинку турмалина, поляроид) обыкновенный луч поглощается, и наружу выходит линейно поляризованный необыкновенный луч.
Для анализа, характера поляризации света изучают зависимость интенсивности от ориентации николя. Если интенсивность не меняется, то свет либо естественный, либо поляризован по кругу. Чтобы различить эти случаи, используют пластинку в четверть волны, или компенсатор. Толщина пластинки d подобрана так, чтобы разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами равнялась λ / 4. Сдвиг фаз между взаимно перпендикулярными колебаниями станет равным либо нулю, либо π, и круговая поляризация превратится в линейную.
► Вращение плоскости поляризации. При распространении в некоторых веществах (их называют оптически активными) линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. Угол поворота пропорционален толщине пластины: , где α - вращение на единицу длины. В зависимости от направления поворота различают право- и левовращающие вещества. Пример - пластинка кварца, вырезанная перпендикулярно оптической оси (кварц бывает как лево-, так и правовращающим). В растворах оптически активного вещества в неактивном растворителе α пропорционально концентрации. Молекулы активных веществ обладают асимметрией по отношению к правому и левому вращению по чипу спирали. Явление вращения плоскости поляризации можно охарактеризовать как круговое двойное лучепреломление. Волны, поляризованные по кругу в разные стороны, распространяются с разными скоростями, т.е. разность фаз между ними меняется. Сумма двух таких колебаний представляет собой линейное колебание, направление которого зависит от разности фаз.
►Искусственная анизотропия. При помещении многих изотропных тел в однородное электрическое ноле: у них возникает одноосная анизотропия с оптической осью, ориентированной параллельно напряженности поля (электрооптический эффект Керра). Разность фаз между обыкновенным и необыкновенным лучами при распространении света перпендикулярно пропорциональна квадрату напряженности:
,
где l — толщина слоя вещества, а В называется постоянной Керра. Искусственная анизотропия возникает в тех случаях, когда поляризуемость молекул вещества зависит от их ориентации по отношению к полю. Аналогичный эффект возникает при помещении некоторых веществ в магнитное поле (эффект Коттона — Мутона). Он описывается соотношением .
При помещении неактивных веществ в сильное магнитное поле может возникнуть оптическая активность для света, распространяющегося параллельно вектору В (магнитное вращение плоскости поляризации). Угол поворота на единицу длины в этом случае (для диа- и парамагнетиков) пропорционально величине магнитной индукции: , где называется постоянной Верде.