22

ЗАДАНИЕ 1.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

Основные понятия и определения.

1. Множества.

- множество , состоящее из элементов ;

- множество , состоящее из элементов , удовлетворяющих условию ;

 - пустое множество. Любое множество содержит  в качестве подмножества;

- принадлежит множеству ;

- не принадлежит множеству ;

- является подмножеством , т. е. любой элемент множества принадлежит множеству ;

- не является подмножеством , т. е. существует по крайней мере один элемент множества , не принадлежащий множеству ;

- множества и равны (совпадают). Множества и равны т. и т. тогда, когда одновременно справедливы условия: и ();

- универсальное множество, содержащее все рассматриваемые множества.

2. Операции над множествами.

 - объединение множеств и .

Свойства:

- коммутативность;

- идемпотентность;

- ассоциативность;

,

 - пересечение множеств и .

Свойства:

- коммутативность;

- идемпотентность;

- ассоциативность;

- дистрибутивность;

,

 - разность множеств и .

Свойства:

,  ;

;

;

.

- дополнение множества до универсального множества .

Свойства:

;

;

.

- симметрическая разность множеств и .

Свойства:

;

Законы двойственности (законы де Моргана):

;

- декартово (прямое) произведение множеств и , в частности, .

Свойства:

;

.

Пусть имеется последовательность множеств . Тогда для любого существуют множества и . Тогда множества и называются соответственно верхней и нижней границей последовательности . Если , то последовательность называется сходящейся, а множество - пределом последовательности и обозначают .

3. Отношения и отображения.

Бинарным отношением между элементами множеств и называется любое подмножество . Если , то - бинарное отношение на . Если , то

Бинарное отношение на множестве называется:

Рефлексивным, если

;

Симметричным, если

;

Транзитивным, если

Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на множестве называется отношением эквивалентности на множестве .

Классом эквивалентности (смежным классом) элемента по называется множество

множество классов эквивалентности элементов множества по называется фактор - множеством по . Обозначается .

Говорят, что задано отображение множества в множество , если каждому элементу поставлен определённый элемент

Обозначения:

Множество или называется областью определения отображения .

Если , то называется образом подмножества А при отображении . При , множество называется множеством значений отображения .

Если , то множество называется прообразом множества В.

Отображение называется:

Инъективным (инъекция, отображение в ), если для любых ;

Сюръективным (сюръекция, отображение на ), если ;

Биективным (биекция), если является инъекцией и биекцией.

Обратное отображение для биекции определяется следующим образом: если , то . В частности:

;

.

Композицией (произведением) отображений называется отображение . В частности:

;

.

4. Мощность множества.

Множества и называются эквивалентными (равномощными) (запись , , ), если существует биекция на В.

Мощностью множества (обозначение , или ) называется класс всех множеств, эквивалентных А.

Свойства:

- рефлексивность;

- симметричность;

- транзитивность.

Множество называется конечным, если существует такое , что .

Множество называется счётным, если , где - множество всех натуральных чисел, .

Множество называется несчётным если бесконечно, но не счётно.

Множество называется континуальным, если , где - множество всех действительных чисел,

Мощности множеств называются кардинальными числами.