Министерство науки и образования Российской Федерации

ФГБОУ ВО Ивановский государственный химико-технологический университет

Кафедра высшей и прикладной математики

Лабораторная работа

По дисциплине: «Численные методы»

Вариант №18

Выполнил: ст. гр. 2/61 АТП и П Д.А. Князев

Проверил: доц. С.В. Кулакова

Иваново 2017

ЗАДАЧА № 1

Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.

А = В =

Краткая теоретическая часть

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций и в некоторых случаях приводит к более быстрой сходимости.

Метод заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного хi (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х1, х2,…, хi-1

Рассмотрим систему: i=1,n

Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)

б) <1 (коэффициенты по столбцам)

в) <1 (все коэффициенты)

тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

к=1,2…

Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

1. система имеет единственное решение (С₁,... С_n);

2. последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

3. для приближенного равенства верны оценки (x₁^(k),…x_n^(k))(C_1,…C_n),

а’) если выполняется условие а), то

,

б’) если выполняется условие б), то

,

в’) если выполняется условие в), то

.

Формула погрешности

Решение:

Найти решение системы методом Зейделя с точностью 0,0001.

А = В =

Представим систему в матричной форме АХ=В

Проверим условие сходимости.

Максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1. Данное условие выполняется.

Выразим из СЛАУ х_n:

Х₁ = -2,1417 – 0,1024х₂ + 0,1496х₃

Х₂ = 0,5399 + 0,0376х₁ – 0,3662х₃

Х₃ = 0,5088 – 0,5673х₁ + 0,4152х₂

Последовательно вычисляем:

При k=1

Х₁¹ = -2,1417 – 0,5399*(-0,1024) – 0,5088*0,1496 = -2,1625

Х₂¹ = 0,5399 – 0,0376*(-2,1625) – 0,5088*(-0,3662) = 0,8189

Х₃¹ = 0,5088 – (-0,5673) *(-2,1625) – 0,4152*0,8189 = -1,0580

Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:

При k=2

Х₁² = -2,1417 – (-0,1024) * 0,8189 –0,1496 * (-1,0580) = -1,8996

Х₂² = 0,5399 – 0,0376*(-1,8996) – (-0,3662) * (-1,0580) = 0,2239

Х₃² = 0,5088 – (-0,5673) *(-1,8996) – 0,4152*0,2239 = -0,6618

Проверим эмпирическое условие окончания итерационного процесса:

Так как они все больше заданного числа 0,0001, продолжаем итерации до тех пор, пока значения не будут меньше 0,0001.

для подсчета погрешности решим систему уравнений методом Крамера

А = В =

Вычислим определитель: (метод треугольников)

; ;

Подставив х₁, х₂, х₃ в систему уравнений, получим:

Высчитываем погрешность:

Ответ: Х^*=

Задание №2:

Для функции, заданной таблично, построить полиномы Ньютона и Лагранжа. Вычислить y(х^* ), y(х^** ). Определить погрешность. Х^* =Х₀ +0,05. Х^** =Х₅ - 0,15.

i	0	1	2	3	4	5
x	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5
y	3,150	3,171	3,181	3,179	3,165	3,140