Решеные задания / ЛАБ №3

ЗАДАЧА №1

Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?

РЕШЕНИЕ

Введем полную группу гипотез:

H1 = (Стрелок принадлежал первой группе),

H 2 = (Стрелок принадлежал второй группе),

H3 = (Стрелок принадлежал третьей группе).

По классическому определению вероятности:

12 2 ( 1) 30 5 P H = = , 8 4 ( 2) 30 15 P H = = , 10 1 ( 3) 30 3 P H = = .

Введем событие A = (Стрелок попал в мишень). Выпишем условные вероятности:

P (A|H1) = 0, 6;

P (A|H2) = 0, 5;

P (A|H3) = 0, 7.

Найдем сначала вероятность события A по формуле полной вероятности:

P (A) = P (A|H1) * P (H1) + P (A|H2) * P (H2) + P (A|H2) * P (H2);

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что стрелок принадлежал i -ой группе, если он попал в цель, по формуле Байеса.

Таким образом, вероятнее всего стрелок принадлежал первой группе.

ОТВЕТ

первой группе.

ЗАДАЧА №2

В первой и в третьей группах одинаковое число студентов, а во второй – в 1,5 раза меньше, чем в первой. Количество отличников составляет 9% в первой, 4% во второй и 6% в третьей группе. а) Найти вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник. б) Случайно вызванный студент оказался отличником. Найти вероятность того, что студент учится в третьей группе.

РЕШЕНИЕ

Введем полную группу гипотез

H1 = {Студент из первой группы},

H2 = {Студент из второй группы},

H3 = {Студент из третьей группы}.

По классическому определению вероятности, учитывая пропорции поставки приборов, можно найти вероятности:

Введем событие A = {Случайной вызванный студент – отличник}. Выпишем условные вероятности:

P (A|H1) =0, 09;

P (A|H2) =0, 04;

P (A|H3) =0, 06.

Сначала найдем вероятность события A по формуле полной вероятности:

.

Найдем апостериорную вероятность того, что студент учится в третьей группе, если он оказался отличником, по формуле Байеса.

ОТВЕТ:

а) Вероятность того, что случайно вызванный студент - отличник P (A) = 0,06625;

б) Вероятность того, что случайно вызванный студент – отличник и учиться в третьей группе

P (H3|A) =0, 3396.

ЗАДАЧА №3

Проводится модернизация выпуска приборной и программной части информационных систем длительное время, находящихся в эксплуатации. На первом этапе выпускается 10% модернизированных информационных систем. Установлено, что вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0,90. Находящиеся в эксплуатации системы характеризуются вероятностью безотказной работы равной 0,8. Информационная система испытывалась в течение времени t и работала безотказно. Определить вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам.

РЕШЕНИЕ

Возможны две гипотезы.

H₁ – Информационная система является модернизированной.

H₂ – Информационная система не является модернизированной.

Вероятности гипотез до опыта:

P (H₁) = 0,1; P (H₂) = 0,9.

Из опыта установлено событие А – информационная система испытывалась в течении времени t и работал безотказно. Условные вероятности этого события при гипотезах H₁ и H₂ равны:

P(A|H₁)= 0,90 и P(A|H₂)=0,8.

По формуле Бейеса находим вероятность гипотезы H₁ после опыта:

P (H₁) = 0,1·0,90/(0,1·0,90+0,8·0,9)=0,111.

ОТВЕТ

вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам равна 0,111.

ЗАДАЧА №4

Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам со следующим увеличением их количества в процентах: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.

ЗАДАЧА №5

Определить, как изменяется вероятность того, что информационная система относится к модернизированным системам, если выпускается 40% от общего объема систем, а вероятность безотказной работы модернизированных систем за время t равна 0, 91; 0,93; 0,95; 0,97; 0,99 Полученные результаты свести в таблицу и отразить графически.